Theorem toptopon 22882

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
toptopon	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		istopon 22877	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
3	1, 2	mpbiran2 711	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐽 ∈ Top)
4	3	bicomi 224	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4850  ‘cfv 6498  Topctop 22858  TopOnctopon 22875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-topon 22876

This theorem is referenced by:  toptopon2  22883  eltpsi  22909  restuni  23127  stoig  23128  restlp  23148  restperf  23149  perfopn  23150  iscn2  23203  iscnp2  23204  cncnpi  23243  cncnp2  23246  cnnei  23247  cnrest  23250  cnpresti  23253  cnprest  23254  cnprest2  23255  paste  23259  t1sep2  23334  sshauslem  23337  1stcelcls  23426  kgenuni  23504  iskgen3  23514  txuni  23557  ptuniconst  23563  txcnmpt  23589  txcn  23591  txindis  23599  ptrescn  23604  txcmpb  23609  xkoptsub  23619  xkofvcn  23649  imasnopn  23655  imasncld  23656  imasncls  23657  qtopcmplem  23672  qtopkgen  23675  hmeof1o  23729  hmeores  23736  hmphindis  23762  cmphaushmeo  23765  txhmeo  23768  ptunhmeo  23773  hausflim  23946  flfneii  23957  hausflf  23962  flimfnfcls  23993  flfcntr  24008  cnextfun  24029  cnextfvval  24030  cnextf  24031  cnextcn  24032  cnextfres1  24033  retopon  24728  evth  24926  evth2  24927  qtophaus  33980  rrhre  34165  pconnconn  35413  connpconn  35417  pconnpi1  35419  sconnpi1  35421  txsconnlem  35422  txsconn  35423  cvmsf1o  35454  cvmliftmolem1  35463  cvmliftlem8  35474  cvmlift2lem9a  35485  cvmlift2lem9  35493  cvmlift2lem11  35495  cvmlift2lem12  35496  cvmliftphtlem  35499  cvmlift3lem6  35506  cvmlift3lem8  35508  cvmlift3lem9  35509  cnres2  38084  cnresima  38085  hausgraph  43633  ntrf2  44551  fcnre  45456