Theorem toptopon 23124

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
toptopon	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		istopon 23119	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
3	1, 2	mpbiran2 723	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐽 ∈ Top)
4	3	bicomi 227	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∪ cuni 4874  ‘cfv 6540  Topctop 23100  TopOnctopon 23117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-topon 23118

This theorem is used by:  toptopon2  23125  eltpsi  23151  restuni  23369  stoig  23370  restlp  23390  restperf  23391  perfopn  23392  iscn2  23445  iscnp2  23446  cncnpi  23485  cncnp2  23488  cnnei  23489  cnrest  23492  cnpresti  23495  cnprest  23496  cnprest2  23497  paste  23501  t1sep2  23576  sshauslem  23579  1stcelcls  23669  kgenuni  23747  iskgen3  23757  txuni  23800  ptuniconst  23806  txcnmpt  23832  txcn  23834  txindis  23842  ptrescn  23847  txcmpb  23852  xkoptsub  23862  xkofvcn  23892  imasnopn  23898  imasncld  23899  imasncls  23900  qtopcmplem  23915  qtopkgen  23918  hmeof1o  23972  hmeores  23979  hmphindis  24005  cmphaushmeo  24008  txhmeo  24011  ptunhmeo  24016  hausflim  24189  flfneii  24200  hausflf  24205  flimfnfcls  24236  flfcntr  24251  cnextfun  24272  cnextfvval  24273  cnextf  24274  cnextcn  24275  cnextfres1  24276  retopon  24971  evth  25169  evth2  25170  qtophaus  34290  rrhre  34475  pconnconn  35760  connpconn  35764  pconnpi1  35766  sconnpi1  35768  txsconnlem  35769  txsconn  35770  cvmsf1o  35801  cvmliftmolem1  35810  cvmliftlem8  35821  cvmlift2lem9a  35832  cvmlift2lem9  35840  cvmlift2lem11  35842  cvmlift2lem12  35843  cvmliftphtlem  35846  cvmlift3lem6  35853  cvmlift3lem8  35855  cvmlift3lem9  35856  cnres2  38472  cnresima  38473  hausgraph  43990  ntrf2  44908  fcnre  45803