Theorem toptopon 22811

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
toptopon	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		istopon 22806	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
3	1, 2	mpbiran2 710	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐽 ∈ Top)
4	3	bicomi 224	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4874  ‘cfv 6514  Topctop 22787  TopOnctopon 22804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-topon 22805

This theorem is referenced by:  toptopon2  22812  eltpsi  22838  restuni  23056  stoig  23057  restlp  23077  restperf  23078  perfopn  23079  iscn2  23132  iscnp2  23133  cncnpi  23172  cncnp2  23175  cnnei  23176  cnrest  23179  cnpresti  23182  cnprest  23183  cnprest2  23184  paste  23188  t1sep2  23263  sshauslem  23266  1stcelcls  23355  kgenuni  23433  iskgen3  23443  txuni  23486  ptuniconst  23492  txcnmpt  23518  txcn  23520  txindis  23528  ptrescn  23533  txcmpb  23538  xkoptsub  23548  xkofvcn  23578  imasnopn  23584  imasncld  23585  imasncls  23586  qtopcmplem  23601  qtopkgen  23604  hmeof1o  23658  hmeores  23665  hmphindis  23691  cmphaushmeo  23694  txhmeo  23697  ptunhmeo  23702  hausflim  23875  flfneii  23886  hausflf  23891  flimfnfcls  23922  flfcntr  23937  cnextfun  23958  cnextfvval  23959  cnextf  23960  cnextcn  23961  cnextfres1  23962  retopon  24658  evth  24865  evth2  24866  qtophaus  33833  rrhre  34018  pconnconn  35225  connpconn  35229  pconnpi1  35231  sconnpi1  35233  txsconnlem  35234  txsconn  35235  cvmsf1o  35266  cvmliftmolem1  35275  cvmliftlem8  35286  cvmlift2lem9a  35297  cvmlift2lem9  35305  cvmlift2lem11  35307  cvmlift2lem12  35308  cvmliftphtlem  35311  cvmlift3lem6  35318  cvmlift3lem8  35320  cvmlift3lem9  35321  cnres2  37764  cnresima  37765  hausgraph  43201  ntrf2  44120  fcnre  45026