Theorem toptopon 22878

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
toptopon	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		istopon 22873	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
3	1, 2	mpbiran2 711	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐽 ∈ Top)
4	3	bicomi 224	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6502  Topctop 22854  TopOnctopon 22871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fv 6510  df-topon 22872

This theorem is referenced by:  toptopon2  22879  eltpsi  22905  restuni  23123  stoig  23124  restlp  23144  restperf  23145  perfopn  23146  iscn2  23199  iscnp2  23200  cncnpi  23239  cncnp2  23242  cnnei  23243  cnrest  23246  cnpresti  23249  cnprest  23250  cnprest2  23251  paste  23255  t1sep2  23330  sshauslem  23333  1stcelcls  23422  kgenuni  23500  iskgen3  23510  txuni  23553  ptuniconst  23559  txcnmpt  23585  txcn  23587  txindis  23595  ptrescn  23600  txcmpb  23605  xkoptsub  23615  xkofvcn  23645  imasnopn  23651  imasncld  23652  imasncls  23653  qtopcmplem  23668  qtopkgen  23671  hmeof1o  23725  hmeores  23732  hmphindis  23758  cmphaushmeo  23761  txhmeo  23764  ptunhmeo  23769  hausflim  23942  flfneii  23953  hausflf  23958  flimfnfcls  23989  flfcntr  24004  cnextfun  24025  cnextfvval  24026  cnextf  24027  cnextcn  24028  cnextfres1  24029  retopon  24724  evth  24931  evth2  24932  qtophaus  34020  rrhre  34205  pconnconn  35453  connpconn  35457  pconnpi1  35459  sconnpi1  35461  txsconnlem  35462  txsconn  35463  cvmsf1o  35494  cvmliftmolem1  35503  cvmliftlem8  35514  cvmlift2lem9a  35525  cvmlift2lem9  35533  cvmlift2lem11  35535  cvmlift2lem12  35536  cvmliftphtlem  35539  cvmlift3lem6  35546  cvmlift3lem8  35548  cvmlift3lem9  35549  cnres2  38043  cnresima  38044  hausgraph  43591  ntrf2  44509  fcnre  45414