Theorem toptopon 22419

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
toptopon	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		istopon 22414	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
3	1, 2	mpbiran2 709	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐽 ∈ Top)
4	3	bicomi 223	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∪ cuni 4909  ‘cfv 6544  Topctop 22395  TopOnctopon 22412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-topon 22413

This theorem is referenced by:  toptopon2  22420  eltpsi  22447  restuni  22666  stoig  22667  restlp  22687  restperf  22688  perfopn  22689  iscn2  22742  iscnp2  22743  cncnpi  22782  cncnp2  22785  cnnei  22786  cnrest  22789  cnpresti  22792  cnprest  22793  cnprest2  22794  paste  22798  t1sep2  22873  sshauslem  22876  1stcelcls  22965  kgenuni  23043  iskgen3  23053  txuni  23096  ptuniconst  23102  txcnmpt  23128  txcn  23130  txindis  23138  ptrescn  23143  txcmpb  23148  xkoptsub  23158  xkofvcn  23188  imasnopn  23194  imasncld  23195  imasncls  23196  qtopcmplem  23211  qtopkgen  23214  hmeof1o  23268  hmeores  23275  hmphindis  23301  cmphaushmeo  23304  txhmeo  23307  ptunhmeo  23312  hausflim  23485  flfneii  23496  hausflf  23501  flimfnfcls  23532  flfcntr  23547  cnextfun  23568  cnextfvval  23569  cnextf  23570  cnextcn  23571  cnextfres1  23572  retopon  24280  evth  24475  evth2  24476  qtophaus  32816  rrhre  33001  pconnconn  34222  connpconn  34226  pconnpi1  34228  sconnpi1  34230  txsconnlem  34231  txsconn  34232  cvxsconn  34234  cvmsf1o  34263  cvmliftmolem1  34272  cvmliftlem8  34283  cvmlift2lem9a  34294  cvmlift2lem9  34302  cvmlift2lem11  34304  cvmlift2lem12  34305  cvmliftphtlem  34308  cvmlift3lem6  34315  cvmlift3lem8  34317  cvmlift3lem9  34318  cnres2  36631  cnresima  36632  hausgraph  41954  ntrf2  42875  fcnre  43709