Theorem toptopon 21522

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
toptopon	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		istopon 21517	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
3	1, 2	mpbiran2 709	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐽 ∈ Top)
4	3	bicomi 227	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∪ cuni 4800  ‘cfv 6324  Topctop 21498  TopOnctopon 21515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-topon 21516

This theorem is referenced by:  toptopon2  21523  eltpsi  21549  restuni  21767  stoig  21768  restlp  21788  restperf  21789  perfopn  21790  iscn2  21843  iscnp2  21844  cncnpi  21883  cncnp2  21886  cnnei  21887  cnrest  21890  cnpresti  21893  cnprest  21894  cnprest2  21895  paste  21899  t1sep2  21974  sshauslem  21977  1stcelcls  22066  kgenuni  22144  iskgen3  22154  txuni  22197  ptuniconst  22203  txcnmpt  22229  txcn  22231  txindis  22239  ptrescn  22244  txcmpb  22249  xkoptsub  22259  xkofvcn  22289  imasnopn  22295  imasncld  22296  imasncls  22297  qtopcmplem  22312  qtopkgen  22315  hmeof1o  22369  hmeores  22376  hmphindis  22402  cmphaushmeo  22405  txhmeo  22408  ptunhmeo  22413  hausflim  22586  flfneii  22597  hausflf  22602  flimfnfcls  22633  flfcntr  22648  cnextfun  22669  cnextfvval  22670  cnextf  22671  cnextcn  22672  cnextfres1  22673  retopon  23369  evth  23564  evth2  23565  qtophaus  31189  rrhre  31372  pconnconn  32591  connpconn  32595  pconnpi1  32597  sconnpi1  32599  txsconnlem  32600  txsconn  32601  cvxsconn  32603  cvmsf1o  32632  cvmliftmolem1  32641  cvmliftlem8  32652  cvmlift2lem9a  32663  cvmlift2lem9  32671  cvmlift2lem11  32673  cvmlift2lem12  32674  cvmliftphtlem  32677  cvmlift3lem6  32684  cvmlift3lem8  32686  cvmlift3lem9  32687  cnres2  35201  cnresima  35202  hausgraph  40156  ntrf2  40827  fcnre  41654