Theorem toptopon 22861

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
toptopon	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		istopon 22856	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
3	1, 2	mpbiran2 710	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐽 ∈ Top)
4	3	bicomi 224	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∪ cuni 4863  ‘cfv 6492  Topctop 22837  TopOnctopon 22854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-topon 22855

This theorem is referenced by:  toptopon2  22862  eltpsi  22888  restuni  23106  stoig  23107  restlp  23127  restperf  23128  perfopn  23129  iscn2  23182  iscnp2  23183  cncnpi  23222  cncnp2  23225  cnnei  23226  cnrest  23229  cnpresti  23232  cnprest  23233  cnprest2  23234  paste  23238  t1sep2  23313  sshauslem  23316  1stcelcls  23405  kgenuni  23483  iskgen3  23493  txuni  23536  ptuniconst  23542  txcnmpt  23568  txcn  23570  txindis  23578  ptrescn  23583  txcmpb  23588  xkoptsub  23598  xkofvcn  23628  imasnopn  23634  imasncld  23635  imasncls  23636  qtopcmplem  23651  qtopkgen  23654  hmeof1o  23708  hmeores  23715  hmphindis  23741  cmphaushmeo  23744  txhmeo  23747  ptunhmeo  23752  hausflim  23925  flfneii  23936  hausflf  23941  flimfnfcls  23972  flfcntr  23987  cnextfun  24008  cnextfvval  24009  cnextf  24010  cnextcn  24011  cnextfres1  24012  retopon  24707  evth  24914  evth2  24915  qtophaus  33993  rrhre  34178  pconnconn  35425  connpconn  35429  pconnpi1  35431  sconnpi1  35433  txsconnlem  35434  txsconn  35435  cvmsf1o  35466  cvmliftmolem1  35475  cvmliftlem8  35486  cvmlift2lem9a  35497  cvmlift2lem9  35505  cvmlift2lem11  35507  cvmlift2lem12  35508  cvmliftphtlem  35511  cvmlift3lem6  35518  cvmlift3lem8  35520  cvmlift3lem9  35521  cnres2  37964  cnresima  37965  hausgraph  43447  ntrf2  44365  fcnre  45270