Theorem toptopon 23042

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
toptopon	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		istopon 23037	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
3	1, 2	mpbiran2 722	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐽 ∈ Top)
4	3	bicomi 227	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∪ cuni 4876  ‘cfv 6537  Topctop 23018  TopOnctopon 23035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-topon 23036

This theorem is referenced by:  toptopon2  23043  eltpsi  23069  restuni  23287  stoig  23288  restlp  23308  restperf  23309  perfopn  23310  iscn2  23363  iscnp2  23364  cncnpi  23403  cncnp2  23406  cnnei  23407  cnrest  23410  cnpresti  23413  cnprest  23414  cnprest2  23415  paste  23419  t1sep2  23494  sshauslem  23497  1stcelcls  23586  kgenuni  23664  iskgen3  23674  txuni  23717  ptuniconst  23723  txcnmpt  23749  txcn  23751  txindis  23759  ptrescn  23764  txcmpb  23769  xkoptsub  23779  xkofvcn  23809  imasnopn  23815  imasncld  23816  imasncls  23817  qtopcmplem  23832  qtopkgen  23835  hmeof1o  23889  hmeores  23896  hmphindis  23922  cmphaushmeo  23925  txhmeo  23928  ptunhmeo  23933  hausflim  24106  flfneii  24117  hausflf  24122  flimfnfcls  24153  flfcntr  24168  cnextfun  24189  cnextfvval  24190  cnextf  24191  cnextcn  24192  cnextfres1  24193  retopon  24888  evth  25086  evth2  25087  qtophaus  34170  rrhre  34355  pconnconn  35621  connpconn  35625  pconnpi1  35627  sconnpi1  35629  txsconnlem  35630  txsconn  35631  cvmsf1o  35662  cvmliftmolem1  35671  cvmliftlem8  35682  cvmlift2lem9a  35693  cvmlift2lem9  35701  cvmlift2lem11  35703  cvmlift2lem12  35704  cvmliftphtlem  35707  cvmlift3lem6  35714  cvmlift3lem8  35716  cvmlift3lem9  35717  cnres2  38301  cnresima  38302  hausgraph  43823  ntrf2  44741  fcnre  45636