Theorem toptopon 22977

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
toptopon	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		istopon 22972	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
3	1, 2	mpbiran2 720	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐽 ∈ Top)
4	3	bicomi 226	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6521  Topctop 22953  TopOnctopon 22970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-topon 22971

This theorem is referenced by:  toptopon2  22978  eltpsi  23004  restuni  23222  stoig  23223  restlp  23243  restperf  23244  perfopn  23245  iscn2  23298  iscnp2  23299  cncnpi  23338  cncnp2  23341  cnnei  23342  cnrest  23345  cnpresti  23348  cnprest  23349  cnprest2  23350  paste  23354  t1sep2  23429  sshauslem  23432  1stcelcls  23521  kgenuni  23599  iskgen3  23609  txuni  23652  ptuniconst  23658  txcnmpt  23684  txcn  23686  txindis  23694  ptrescn  23699  txcmpb  23704  xkoptsub  23714  xkofvcn  23744  imasnopn  23750  imasncld  23751  imasncls  23752  qtopcmplem  23767  qtopkgen  23770  hmeof1o  23824  hmeores  23831  hmphindis  23857  cmphaushmeo  23860  txhmeo  23863  ptunhmeo  23868  hausflim  24041  flfneii  24052  hausflf  24057  flimfnfcls  24088  flfcntr  24103  cnextfun  24124  cnextfvval  24125  cnextf  24126  cnextcn  24127  cnextfres1  24128  retopon  24823  evth  25021  evth2  25022  qtophaus  34133  rrhre  34318  pconnconn  35581  connpconn  35585  pconnpi1  35587  sconnpi1  35589  txsconnlem  35590  txsconn  35591  cvmsf1o  35622  cvmliftmolem1  35631  cvmliftlem8  35642  cvmlift2lem9a  35653  cvmlift2lem9  35661  cvmlift2lem11  35663  cvmlift2lem12  35664  cvmliftphtlem  35667  cvmlift3lem6  35674  cvmlift3lem8  35676  cvmlift3lem9  35677  cnres2  38262  cnresima  38263  hausgraph  43782  ntrf2  44700  fcnre  45605