MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  toptopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem toptopon 22289
Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
toptopon.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
toptopon (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))

Proof of Theorem toptopon
StepHypRef Expression
1 toptopon.1 . . 3 𝑋 = βˆͺ 𝐽
2 istopon 22284 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐽))
31, 2mpbiran2 709 . 2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ↔ 𝐽 ∈ Top)
43bicomi 223 1 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆͺ cuni 4869  β€˜cfv 6500  Topctop 22265  TopOnctopon 22282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-topon 22283
This theorem is referenced by:  toptopon2  22290  eltpsi  22317  restuni  22536  stoig  22537  restlp  22557  restperf  22558  perfopn  22559  iscn2  22612  iscnp2  22613  cncnpi  22652  cncnp2  22655  cnnei  22656  cnrest  22659  cnpresti  22662  cnprest  22663  cnprest2  22664  paste  22668  t1sep2  22743  sshauslem  22746  1stcelcls  22835  kgenuni  22913  iskgen3  22923  txuni  22966  ptuniconst  22972  txcnmpt  22998  txcn  23000  txindis  23008  ptrescn  23013  txcmpb  23018  xkoptsub  23028  xkofvcn  23058  imasnopn  23064  imasncld  23065  imasncls  23066  qtopcmplem  23081  qtopkgen  23084  hmeof1o  23138  hmeores  23145  hmphindis  23171  cmphaushmeo  23174  txhmeo  23177  ptunhmeo  23182  hausflim  23355  flfneii  23366  hausflf  23371  flimfnfcls  23402  flfcntr  23417  cnextfun  23438  cnextfvval  23439  cnextf  23440  cnextcn  23441  cnextfres1  23442  retopon  24150  evth  24345  evth2  24346  qtophaus  32481  rrhre  32666  pconnconn  33889  connpconn  33893  pconnpi1  33895  sconnpi1  33897  txsconnlem  33898  txsconn  33899  cvxsconn  33901  cvmsf1o  33930  cvmliftmolem1  33939  cvmliftlem8  33950  cvmlift2lem9a  33961  cvmlift2lem9  33969  cvmlift2lem11  33971  cvmlift2lem12  33972  cvmliftphtlem  33975  cvmlift3lem6  33982  cvmlift3lem8  33984  cvmlift3lem9  33985  cnres2  36272  cnresima  36273  hausgraph  41586  ntrf2  42488  fcnre  43322
  Copyright terms: Public domain W3C validator