Theorem toptopon 22873

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
toptopon	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		istopon 22868	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
3	1, 2	mpbiran2 711	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐽 ∈ Top)
4	3	bicomi 224	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6500  Topctop 22849  TopOnctopon 22866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-topon 22867

This theorem is referenced by:  toptopon2  22874  eltpsi  22900  restuni  23118  stoig  23119  restlp  23139  restperf  23140  perfopn  23141  iscn2  23194  iscnp2  23195  cncnpi  23234  cncnp2  23237  cnnei  23238  cnrest  23241  cnpresti  23244  cnprest  23245  cnprest2  23246  paste  23250  t1sep2  23325  sshauslem  23328  1stcelcls  23417  kgenuni  23495  iskgen3  23505  txuni  23548  ptuniconst  23554  txcnmpt  23580  txcn  23582  txindis  23590  ptrescn  23595  txcmpb  23600  xkoptsub  23610  xkofvcn  23640  imasnopn  23646  imasncld  23647  imasncls  23648  qtopcmplem  23663  qtopkgen  23666  hmeof1o  23720  hmeores  23727  hmphindis  23753  cmphaushmeo  23756  txhmeo  23759  ptunhmeo  23764  hausflim  23937  flfneii  23948  hausflf  23953  flimfnfcls  23984  flfcntr  23999  cnextfun  24020  cnextfvval  24021  cnextf  24022  cnextcn  24023  cnextfres1  24024  retopon  24719  evth  24926  evth2  24927  qtophaus  34014  rrhre  34199  pconnconn  35447  connpconn  35451  pconnpi1  35453  sconnpi1  35455  txsconnlem  35456  txsconn  35457  cvmsf1o  35488  cvmliftmolem1  35497  cvmliftlem8  35508  cvmlift2lem9a  35519  cvmlift2lem9  35527  cvmlift2lem11  35529  cvmlift2lem12  35530  cvmliftphtlem  35533  cvmlift3lem6  35540  cvmlift3lem8  35542  cvmlift3lem9  35543  cnres2  38014  cnresima  38015  hausgraph  43562  ntrf2  44480  fcnre  45385