Theorem toptopon 22900

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
toptopon	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		istopon 22895	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
3	1, 2	mpbiran2 716	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐽 ∈ Top)
4	3	bicomi 225	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∪ cuni 4838  ‘cfv 6485  Topctop 22876  TopOnctopon 22893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fv 6493  df-topon 22894

This theorem is referenced by:  toptopon2  22901  eltpsi  22927  restuni  23145  stoig  23146  restlp  23166  restperf  23167  perfopn  23168  iscn2  23221  iscnp2  23222  cncnpi  23261  cncnp2  23264  cnnei  23265  cnrest  23268  cnpresti  23271  cnprest  23272  cnprest2  23273  paste  23277  t1sep2  23352  sshauslem  23355  1stcelcls  23444  kgenuni  23522  iskgen3  23532  txuni  23575  ptuniconst  23581  txcnmpt  23607  txcn  23609  txindis  23617  ptrescn  23622  txcmpb  23627  xkoptsub  23637  xkofvcn  23667  imasnopn  23673  imasncld  23674  imasncls  23675  qtopcmplem  23690  qtopkgen  23693  hmeof1o  23747  hmeores  23754  hmphindis  23780  cmphaushmeo  23783  txhmeo  23786  ptunhmeo  23791  hausflim  23964  flfneii  23975  hausflf  23980  flimfnfcls  24011  flfcntr  24026  cnextfun  24047  cnextfvval  24048  cnextf  24049  cnextcn  24050  cnextfres1  24051  retopon  24746  evth  24944  evth2  24945  qtophaus  34020  rrhre  34205  pconnconn  35459  connpconn  35463  pconnpi1  35465  sconnpi1  35467  txsconnlem  35468  txsconn  35469  cvmsf1o  35500  cvmliftmolem1  35509  cvmliftlem8  35520  cvmlift2lem9a  35531  cvmlift2lem9  35539  cvmlift2lem11  35541  cvmlift2lem12  35542  cvmliftphtlem  35545  cvmlift3lem6  35552  cvmlift3lem8  35554  cvmlift3lem9  35555  cnres2  38130  cnresima  38131  hausgraph  43650  ntrf2  44568  fcnre  45473