Theorem toptopon 22832

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
toptopon	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		istopon 22827	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
3	1, 2	mpbiran2 710	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐽 ∈ Top)
4	3	bicomi 224	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∪ cuni 4856  ‘cfv 6481  Topctop 22808  TopOnctopon 22825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-topon 22826

This theorem is referenced by:  toptopon2  22833  eltpsi  22859  restuni  23077  stoig  23078  restlp  23098  restperf  23099  perfopn  23100  iscn2  23153  iscnp2  23154  cncnpi  23193  cncnp2  23196  cnnei  23197  cnrest  23200  cnpresti  23203  cnprest  23204  cnprest2  23205  paste  23209  t1sep2  23284  sshauslem  23287  1stcelcls  23376  kgenuni  23454  iskgen3  23464  txuni  23507  ptuniconst  23513  txcnmpt  23539  txcn  23541  txindis  23549  ptrescn  23554  txcmpb  23559  xkoptsub  23569  xkofvcn  23599  imasnopn  23605  imasncld  23606  imasncls  23607  qtopcmplem  23622  qtopkgen  23625  hmeof1o  23679  hmeores  23686  hmphindis  23712  cmphaushmeo  23715  txhmeo  23718  ptunhmeo  23723  hausflim  23896  flfneii  23907  hausflf  23912  flimfnfcls  23943  flfcntr  23958  cnextfun  23979  cnextfvval  23980  cnextf  23981  cnextcn  23982  cnextfres1  23983  retopon  24678  evth  24885  evth2  24886  qtophaus  33849  rrhre  34034  pconnconn  35275  connpconn  35279  pconnpi1  35281  sconnpi1  35283  txsconnlem  35284  txsconn  35285  cvmsf1o  35316  cvmliftmolem1  35325  cvmliftlem8  35336  cvmlift2lem9a  35347  cvmlift2lem9  35355  cvmlift2lem11  35357  cvmlift2lem12  35358  cvmliftphtlem  35361  cvmlift3lem6  35368  cvmlift3lem8  35370  cvmlift3lem9  35371  cnres2  37811  cnresima  37812  hausgraph  43246  ntrf2  44165  fcnre  45070