Theorem toptopon 22859

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
toptopon	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		istopon 22854	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
3	1, 2	mpbiran2 710	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐽 ∈ Top)
4	3	bicomi 224	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∪ cuni 4861  ‘cfv 6490  Topctop 22835  TopOnctopon 22852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498  df-topon 22853

This theorem is referenced by:  toptopon2  22860  eltpsi  22886  restuni  23104  stoig  23105  restlp  23125  restperf  23126  perfopn  23127  iscn2  23180  iscnp2  23181  cncnpi  23220  cncnp2  23223  cnnei  23224  cnrest  23227  cnpresti  23230  cnprest  23231  cnprest2  23232  paste  23236  t1sep2  23311  sshauslem  23314  1stcelcls  23403  kgenuni  23481  iskgen3  23491  txuni  23534  ptuniconst  23540  txcnmpt  23566  txcn  23568  txindis  23576  ptrescn  23581  txcmpb  23586  xkoptsub  23596  xkofvcn  23626  imasnopn  23632  imasncld  23633  imasncls  23634  qtopcmplem  23649  qtopkgen  23652  hmeof1o  23706  hmeores  23713  hmphindis  23739  cmphaushmeo  23742  txhmeo  23745  ptunhmeo  23750  hausflim  23923  flfneii  23934  hausflf  23939  flimfnfcls  23970  flfcntr  23985  cnextfun  24006  cnextfvval  24007  cnextf  24008  cnextcn  24009  cnextfres1  24010  retopon  24705  evth  24912  evth2  24913  qtophaus  33942  rrhre  34127  pconnconn  35374  connpconn  35378  pconnpi1  35380  sconnpi1  35382  txsconnlem  35383  txsconn  35384  cvmsf1o  35415  cvmliftmolem1  35424  cvmliftlem8  35435  cvmlift2lem9a  35446  cvmlift2lem9  35454  cvmlift2lem11  35456  cvmlift2lem12  35457  cvmliftphtlem  35460  cvmlift3lem6  35467  cvmlift3lem8  35469  cvmlift3lem9  35470  cnres2  37903  cnresima  37904  hausgraph  43389  ntrf2  44307  fcnre  45212