Theorem toptopon 23235

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
toptopon	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		istopon 23230	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
3	1, 2	mpbiran2 723	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐽 ∈ Top)
4	3	bicomi 227	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∪ cuni 4866  ‘cfv 6538  Topctop 23211  TopOnctopon 23228

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-topon 23229

This theorem is used by:  toptopon2  23236  eltpsi  23262  restuni  23480  stoig  23481  restlp  23501  restperf  23502  perfopn  23503  iscn2  23556  iscnp2  23557  cncnpi  23596  cncnp2  23599  cnnei  23600  cnrest  23603  cnpresti  23606  cnprest  23607  cnprest2  23608  paste  23612  t1sep2  23687  sshauslem  23690  1stcelcls  23780  kgenuni  23858  iskgen3  23868  txuni  23911  ptuniconst  23917  txcnmpt  23943  txcn  23945  txindis  23953  ptrescn  23958  txcmpb  23963  xkoptsub  23973  xkofvcn  24003  imasnopn  24009  imasncld  24010  imasncls  24011  qtopcmplem  24026  qtopkgen  24029  hmeof1o  24083  hmeores  24090  hmphindis  24116  cmphaushmeo  24119  txhmeo  24122  ptunhmeo  24127  hausflim  24300  flfneii  24311  hausflf  24316  flimfnfcls  24347  flfcntr  24362  cnextfun  24383  cnextfvval  24384  cnextf  24385  cnextcn  24386  cnextfres1  24387  retopon  25082  evth  25280  evth2  25281  qtophaus  34510  rrhre  34695  pconnconn  36038  connpconn  36042  pconnpi1  36044  sconnpi1  36046  txsconnlem  36047  txsconn  36048  cvmsf1o  36079  cvmliftmolem1  36088  cvmliftlem8  36099  cvmlift2lem9a  36110  cvmlift2lem9  36118  cvmlift2lem11  36120  cvmlift2lem12  36121  cvmliftphtlem  36124  cvmlift3lem6  36131  cvmlift3lem8  36133  cvmlift3lem9  36134  cnres2  38740  cnresima  38741  hausgraph  44249  ntrf2  45166  fcnre  46084