Theorem toptopon 22804

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
toptopon	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		istopon 22799	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
3	1, 2	mpbiran2 710	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐽 ∈ Top)
4	3	bicomi 224	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4871  ‘cfv 6511  Topctop 22780  TopOnctopon 22797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-topon 22798

This theorem is referenced by:  toptopon2  22805  eltpsi  22831  restuni  23049  stoig  23050  restlp  23070  restperf  23071  perfopn  23072  iscn2  23125  iscnp2  23126  cncnpi  23165  cncnp2  23168  cnnei  23169  cnrest  23172  cnpresti  23175  cnprest  23176  cnprest2  23177  paste  23181  t1sep2  23256  sshauslem  23259  1stcelcls  23348  kgenuni  23426  iskgen3  23436  txuni  23479  ptuniconst  23485  txcnmpt  23511  txcn  23513  txindis  23521  ptrescn  23526  txcmpb  23531  xkoptsub  23541  xkofvcn  23571  imasnopn  23577  imasncld  23578  imasncls  23579  qtopcmplem  23594  qtopkgen  23597  hmeof1o  23651  hmeores  23658  hmphindis  23684  cmphaushmeo  23687  txhmeo  23690  ptunhmeo  23695  hausflim  23868  flfneii  23879  hausflf  23884  flimfnfcls  23915  flfcntr  23930  cnextfun  23951  cnextfvval  23952  cnextf  23953  cnextcn  23954  cnextfres1  23955  retopon  24651  evth  24858  evth2  24859  qtophaus  33826  rrhre  34011  pconnconn  35218  connpconn  35222  pconnpi1  35224  sconnpi1  35226  txsconnlem  35227  txsconn  35228  cvmsf1o  35259  cvmliftmolem1  35268  cvmliftlem8  35279  cvmlift2lem9a  35290  cvmlift2lem9  35298  cvmlift2lem11  35300  cvmlift2lem12  35301  cvmliftphtlem  35304  cvmlift3lem6  35311  cvmlift3lem8  35313  cvmlift3lem9  35314  cnres2  37757  cnresima  37758  hausgraph  43194  ntrf2  44113  fcnre  45019