Theorem toptopon 22418

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
toptopon	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		istopon 22413	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
3	1, 2	mpbiran2 708	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐽 ∈ Top)
4	3	bicomi 223	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∪ cuni 4908  ‘cfv 6543  Topctop 22394  TopOnctopon 22411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-topon 22412

This theorem is referenced by:  toptopon2  22419  eltpsi  22446  restuni  22665  stoig  22666  restlp  22686  restperf  22687  perfopn  22688  iscn2  22741  iscnp2  22742  cncnpi  22781  cncnp2  22784  cnnei  22785  cnrest  22788  cnpresti  22791  cnprest  22792  cnprest2  22793  paste  22797  t1sep2  22872  sshauslem  22875  1stcelcls  22964  kgenuni  23042  iskgen3  23052  txuni  23095  ptuniconst  23101  txcnmpt  23127  txcn  23129  txindis  23137  ptrescn  23142  txcmpb  23147  xkoptsub  23157  xkofvcn  23187  imasnopn  23193  imasncld  23194  imasncls  23195  qtopcmplem  23210  qtopkgen  23213  hmeof1o  23267  hmeores  23274  hmphindis  23300  cmphaushmeo  23303  txhmeo  23306  ptunhmeo  23311  hausflim  23484  flfneii  23495  hausflf  23500  flimfnfcls  23531  flfcntr  23546  cnextfun  23567  cnextfvval  23568  cnextf  23569  cnextcn  23570  cnextfres1  23571  retopon  24279  evth  24474  evth2  24475  qtophaus  32811  rrhre  32996  pconnconn  34217  connpconn  34221  pconnpi1  34223  sconnpi1  34225  txsconnlem  34226  txsconn  34227  cvxsconn  34229  cvmsf1o  34258  cvmliftmolem1  34267  cvmliftlem8  34278  cvmlift2lem9a  34289  cvmlift2lem9  34297  cvmlift2lem11  34299  cvmlift2lem12  34300  cvmliftphtlem  34303  cvmlift3lem6  34310  cvmlift3lem8  34312  cvmlift3lem9  34313  cnres2  36626  cnresima  36627  hausgraph  41944  ntrf2  42865  fcnre  43699