Theorem toptopon 23290

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
toptopon	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		istopon 23285	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
3	1, 2	mpbiran2 723	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐽 ∈ Top)
4	3	bicomi 227	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∪ cuni 4872  ‘cfv 6566  Topctop 23266  TopOnctopon 23283

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-topon 23284

This theorem is used by:  toptopon2  23291  eltpsi  23317  restuni  23535  stoig  23536  restlp  23556  restperf  23557  perfopn  23558  iscn2  23611  iscnp2  23612  cncnpi  23651  cncnp2  23654  cnnei  23655  cnrest  23658  cnpresti  23661  cnprest  23662  cnprest2  23663  paste  23667  t1sep2  23742  sshauslem  23745  1stcelcls  23835  kgenuni  23913  iskgen3  23923  txuni  23966  ptuniconst  23972  txcnmpt  23998  txcn  24000  txindis  24008  ptrescn  24013  txcmpb  24018  xkoptsub  24028  xkofvcn  24058  imasnopn  24064  imasncld  24065  imasncls  24066  qtopcmplem  24081  qtopkgen  24084  hmeof1o  24138  hmeores  24145  hmphindis  24171  cmphaushmeo  24174  txhmeo  24177  ptunhmeo  24182  hausflim  24355  flfneii  24366  hausflf  24371  flimfnfcls  24402  flfcntr  24417  cnextfun  24438  cnextfvval  24439  cnextf  24440  cnextcn  24441  cnextfres1  24442  retopon  25137  evth  25335  evth2  25336  qtophaus  34579  rrhre  34764  pconnconn  36204  connpconn  36208  pconnpi1  36210  sconnpi1  36212  txsconnlem  36213  txsconn  36214  cvmsf1o  36245  cvmliftmolem1  36254  cvmliftlem8  36265  cvmlift2lem9a  36276  cvmlift2lem9  36284  cvmlift2lem11  36286  cvmlift2lem12  36287  cvmliftphtlem  36290  cvmlift3lem6  36297  cvmlift3lem8  36299  cvmlift3lem9  36300  cnres2  38963  cnresima  38964  hausgraph  44468  ntrf2  45385  fcnre  46316