Theorem toptopon 22944

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
toptopon	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		istopon 22939	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
3	1, 2	mpbiran2 709	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐽 ∈ Top)
4	3	bicomi 224	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∪ cuni 4931  ‘cfv 6573  Topctop 22920  TopOnctopon 22937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-topon 22938

This theorem is referenced by:  toptopon2  22945  eltpsi  22972  restuni  23191  stoig  23192  restlp  23212  restperf  23213  perfopn  23214  iscn2  23267  iscnp2  23268  cncnpi  23307  cncnp2  23310  cnnei  23311  cnrest  23314  cnpresti  23317  cnprest  23318  cnprest2  23319  paste  23323  t1sep2  23398  sshauslem  23401  1stcelcls  23490  kgenuni  23568  iskgen3  23578  txuni  23621  ptuniconst  23627  txcnmpt  23653  txcn  23655  txindis  23663  ptrescn  23668  txcmpb  23673  xkoptsub  23683  xkofvcn  23713  imasnopn  23719  imasncld  23720  imasncls  23721  qtopcmplem  23736  qtopkgen  23739  hmeof1o  23793  hmeores  23800  hmphindis  23826  cmphaushmeo  23829  txhmeo  23832  ptunhmeo  23837  hausflim  24010  flfneii  24021  hausflf  24026  flimfnfcls  24057  flfcntr  24072  cnextfun  24093  cnextfvval  24094  cnextf  24095  cnextcn  24096  cnextfres1  24097  retopon  24805  evth  25010  evth2  25011  qtophaus  33782  rrhre  33967  pconnconn  35199  connpconn  35203  pconnpi1  35205  sconnpi1  35207  txsconnlem  35208  txsconn  35209  cvmsf1o  35240  cvmliftmolem1  35249  cvmliftlem8  35260  cvmlift2lem9a  35271  cvmlift2lem9  35279  cvmlift2lem11  35281  cvmlift2lem12  35282  cvmliftphtlem  35285  cvmlift3lem6  35292  cvmlift3lem8  35294  cvmlift3lem9  35295  cnres2  37723  cnresima  37724  hausgraph  43166  ntrf2  44086  fcnre  44925