Theorem nvscom 31164

Description: Commutative law for the scalar product of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvscl.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvscl.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvscom	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑆𝐶)) = (𝐵𝑆(𝐴𝑆𝐶)))

Proof of Theorem nvscom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcom 11257	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
2	1	oveq1d 7423	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)𝑆𝐶) = ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶))
3	2	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 · 𝐵)𝑆𝐶) = ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶))
4	3	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 · 𝐵)𝑆𝐶) = ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶))
5		nvscl.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		nvscl.4	. . 3 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7	5, 6	nvsass 31163	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 · 𝐵)𝑆𝐶) = (𝐴𝑆(𝐵𝑆𝐶)))
8		3ancoma 1115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
9	5, 6	nvsass 31163	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶) = (𝐵𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
10	8, 9	sylan2b 606	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶) = (𝐵𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
11	4, 7, 10	3eqtr3d 2803	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑆𝐶)) = (𝐵𝑆(𝐴𝑆𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11169   · cmul 11176  NrmCVeccnv 31119  BaseSetcba 31121   ·_𝑠OLD cns 31122

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-mulcom 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-vc 31094  df-nv 31127  df-va 31130  df-ba 31131  df-sm 31132  df-0v 31133  df-nmcv 31135

This theorem is used by:  nvmdi  31183