Theorem nvscom 30719

Description: Commutative law for the scalar product of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvscl.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvscl.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvscom	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑆𝐶)) = (𝐵𝑆(𝐴𝑆𝐶)))

Proof of Theorem nvscom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcom 11119	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
2	1	oveq1d 7377	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)𝑆𝐶) = ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶))
3	2	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 · 𝐵)𝑆𝐶) = ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶))
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 · 𝐵)𝑆𝐶) = ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶))
5		nvscl.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		nvscl.4	. . 3 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7	5, 6	nvsass 30718	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 · 𝐵)𝑆𝐶) = (𝐴𝑆(𝐵𝑆𝐶)))
8		3ancoma 1098	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
9	5, 6	nvsass 30718	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶) = (𝐵𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
10	8, 9	sylan2b 595	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶) = (𝐵𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
11	4, 7, 10	3eqtr3d 2780	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑆𝐶)) = (𝐵𝑆(𝐴𝑆𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℂcc 11031   · cmul 11038  NrmCVeccnv 30674  BaseSetcba 30676   ·_𝑠OLD cns 30677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-mulcom 11097

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-vc 30649  df-nv 30682  df-va 30685  df-ba 30686  df-sm 30687  df-0v 30688  df-nmcv 30690

This theorem is referenced by:  nvmdi  30738