Theorem nvscom 28409

Description: Commutative law for the scalar product of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvscl.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvscl.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvscom	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑆𝐶)) = (𝐵𝑆(𝐴𝑆𝐶)))

Proof of Theorem nvscom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcom 10626	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
2	1	oveq1d 7174	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)𝑆𝐶) = ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶))
3	2	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 · 𝐵)𝑆𝐶) = ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶))
4	3	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 · 𝐵)𝑆𝐶) = ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶))
5		nvscl.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		nvscl.4	. . 3 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7	5, 6	nvsass 28408	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 · 𝐵)𝑆𝐶) = (𝐴𝑆(𝐵𝑆𝐶)))
8		3ancoma 1094	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
9	5, 6	nvsass 28408	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶) = (𝐵𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
10	8, 9	sylan2b 595	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶) = (𝐵𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
11	4, 7, 10	3eqtr3d 2867	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑆𝐶)) = (𝐵𝑆(𝐴𝑆𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℂcc 10538   · cmul 10545  NrmCVeccnv 28364  BaseSetcba 28366   ·_𝑠OLD cns 28367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-mulcom 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-vc 28339  df-nv 28372  df-va 28375  df-ba 28376  df-sm 28377  df-0v 28378  df-nmcv 28380

This theorem is referenced by:  nvmdi  28428