Theorem nvscom 30661

Description: Commutative law for the scalar product of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvscl.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvscl.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvscom	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑆𝐶)) = (𝐵𝑆(𝐴𝑆𝐶)))

Proof of Theorem nvscom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcom 11270	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
2	1	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)𝑆𝐶) = ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶))
3	2	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 · 𝐵)𝑆𝐶) = ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶))
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 · 𝐵)𝑆𝐶) = ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶))
5		nvscl.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		nvscl.4	. . 3 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7	5, 6	nvsass 30660	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 · 𝐵)𝑆𝐶) = (𝐴𝑆(𝐵𝑆𝐶)))
8		3ancoma 1098	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
9	5, 6	nvsass 30660	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶) = (𝐵𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
10	8, 9	sylan2b 593	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶) = (𝐵𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
11	4, 7, 10	3eqtr3d 2788	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑆𝐶)) = (𝐵𝑆(𝐴𝑆𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   · cmul 11189  NrmCVeccnv 30616  BaseSetcba 30618   ·_𝑠OLD cns 30619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-mulcom 11248

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-vc 30591  df-nv 30624  df-va 30627  df-ba 30628  df-sm 30629  df-0v 30630  df-nmcv 30632

This theorem is referenced by:  nvmdi  30680