Theorem nvscom 31231

Description: Commutative law for the scalar product of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvscl.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvscl.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvscom	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑆𝐶)) = (𝐵𝑆(𝐴𝑆𝐶)))

Proof of Theorem nvscom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcom 11286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
2	1	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)𝑆𝐶) = ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶))
3	2	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 · 𝐵)𝑆𝐶) = ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶))
4	3	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 · 𝐵)𝑆𝐶) = ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶))
5		nvscl.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		nvscl.4	. . 3 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7	5, 6	nvsass 31230	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 · 𝐵)𝑆𝐶) = (𝐴𝑆(𝐵𝑆𝐶)))
8		3ancoma 1115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
9	5, 6	nvsass 31230	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶) = (𝐵𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
10	8, 9	sylan2b 606	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵 · 𝐴)𝑆𝐶) = (𝐵𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
11	4, 7, 10	3eqtr3d 2803	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑆𝐶)) = (𝐵𝑆(𝐴𝑆𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198   · cmul 11205  NrmCVeccnv 31186  BaseSetcba 31188   ·_𝑠OLD cns 31189

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-mulcom 11264

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-vc 31161  df-nv 31194  df-va 31197  df-ba 31198  df-sm 31199  df-0v 31200  df-nmcv 31202

This theorem is used by:  nvmdi  31250