MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvscom Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nvscom 30149
Description: Commutative law for the scalar product of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvscl.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvscl.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvscom ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑆(𝐡𝑆𝐢)) = (𝐡𝑆(𝐴𝑆𝐢)))
Proof of Theorem nvscom
StepHypRef Expression
1 mulcom 11198 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) = (𝐡 Β· 𝐴))
21oveq1d 7426 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡)𝑆𝐢) = ((𝐡 Β· 𝐴)𝑆𝐢))
323adant3 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡)𝑆𝐢) = ((𝐡 Β· 𝐴)𝑆𝐢))
43adantl 480 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡)𝑆𝐢) = ((𝐡 Β· 𝐴)𝑆𝐢))
5 nvscl.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
6 nvscl.4 . . 3 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
75, 6nvsass 30148 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡)𝑆𝐢) = (𝐴𝑆(𝐡𝑆𝐢)))
8 3ancoma 1096 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ↔ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋))
95, 6nvsass 30148 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐡 Β· 𝐴)𝑆𝐢) = (𝐡𝑆(𝐴𝑆𝐢)))
108, 9sylan2b 592 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐡 Β· 𝐴)𝑆𝐢) = (𝐡𝑆(𝐴𝑆𝐢)))
114, 7, 103eqtr3d 2778 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑆(𝐡𝑆𝐢)) = (𝐡𝑆(𝐴𝑆𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110   Β· cmul 11117  NrmCVeccnv 30104  BaseSetcba 30106   ·𝑠OLD cns 30107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-mulcom 11176
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-nmcv 30120
This theorem is referenced by:  nvmdi  30168
  Copyright terms: Public domain W3C validator