MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvmdi 30667
Description: Distributive law for scalar product over subtraction. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmdi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmdi.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
nvmdi.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvmdi ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑀𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)))

Proof of Theorem nvmdi
StepHypRef Expression
1 simpr1 1195 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simpr2 1196 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐵𝑋)
3 neg1cn 12380 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
4 nvmdi.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 nvmdi.4 . . . . . . . 8 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
64, 5nvscl 30645 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
73, 6mp3an2 1451 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶𝑋) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
873ad2antr3 1191 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
91, 2, 83jca 1129 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋))
10 eqid 2737 . . . . 5 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
114, 10, 5nvdi 30649 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐶))))
129, 11syldan 591 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐶))))
134, 5nvscom 30648 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(-1𝑆𝐶)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
143, 13mp3anr2 1461 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(-1𝑆𝐶)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
15143adantr2 1171 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(-1𝑆𝐶)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
1615oveq2d 7447 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
1712, 16eqtrd 2777 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
18 nvmdi.3 . . . . 5 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
194, 10, 5, 18nvmval 30661 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵𝑀𝐶) = (𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶)))
20193adant3r1 1183 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵𝑀𝐶) = (𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶)))
2120oveq2d 7447 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑀𝐶)) = (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶))))
22 simpl 482 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
234, 5nvscl 30645 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
24233adant3r3 1185 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
254, 5nvscl 30645 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋) → (𝐴𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
26253adant3r2 1184 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
274, 10, 5, 18nvmval 30661 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
2822, 24, 26, 27syl3anc 1373 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
2917, 21, 283eqtr4d 2787 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑀𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  1c1 11156  -cneg 11493  NrmCVeccnv 30603   +𝑣 cpv 30604  BaseSetcba 30605   ·𝑠OLD cns 30606  𝑣 cnsb 30608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619
This theorem is referenced by:  smcnlem  30716  minvecolem2  30894
  Copyright terms: Public domain W3C validator