MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvmdi 28217
Description: Distributive law for scalar product over subtraction. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmdi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmdi.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
nvmdi.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvmdi ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑀𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)))

Proof of Theorem nvmdi
StepHypRef Expression
1 simpr1 1175 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simpr2 1176 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐵𝑋)
3 neg1cn 11559 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
4 nvmdi.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 nvmdi.4 . . . . . . . 8 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
64, 5nvscl 28195 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
73, 6mp3an2 1429 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶𝑋) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
873ad2antr3 1171 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
91, 2, 83jca 1109 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋))
10 eqid 2771 . . . . 5 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
114, 10, 5nvdi 28199 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐶))))
129, 11syldan 583 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐶))))
134, 5nvscom 28198 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(-1𝑆𝐶)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
143, 13mp3anr2 1439 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(-1𝑆𝐶)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
15143adantr2 1151 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(-1𝑆𝐶)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
1615oveq2d 6990 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
1712, 16eqtrd 2807 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
18 nvmdi.3 . . . . 5 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
194, 10, 5, 18nvmval 28211 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵𝑀𝐶) = (𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶)))
20193adant3r1 1163 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵𝑀𝐶) = (𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶)))
2120oveq2d 6990 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑀𝐶)) = (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶))))
22 simpl 475 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
234, 5nvscl 28195 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
24233adant3r3 1165 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
254, 5nvscl 28195 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋) → (𝐴𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
26253adant3r2 1164 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
274, 10, 5, 18nvmval 28211 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
2822, 24, 26, 27syl3anc 1352 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
2917, 21, 283eqtr4d 2817 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑀𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  cfv 6185  (class class class)co 6974  cc 10331  1c1 10334  -cneg 10669  NrmCVeccnv 28153   +𝑣 cpv 28154  BaseSetcba 28155   ·𝑠OLD cns 28156  𝑣 cnsb 28158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-ltxr 10477  df-sub 10670  df-neg 10671  df-grpo 28062  df-gid 28063  df-ginv 28064  df-gdiv 28065  df-ablo 28114  df-vc 28128  df-nv 28161  df-va 28164  df-ba 28165  df-sm 28166  df-0v 28167  df-vs 28168  df-nmcv 28169
This theorem is referenced by:  smcnlem  28266  minvecolem2  28445
  Copyright terms: Public domain W3C validator