MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmdi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nvmdi 30168
Description: Distributive law for scalar product over subtraction. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmdi.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvmdi.3 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
nvmdi.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvmdi ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑆(𝐡𝑀𝐢)) = ((𝐴𝑆𝐡)𝑀(𝐴𝑆𝐢)))
Proof of Theorem nvmdi
StepHypRef Expression
1 simpr1 1192 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2 simpr2 1193 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
3 neg1cn 12330 . . . . . . 7 -1 ∈ β„‚
4 nvmdi.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
5 nvmdi.4 . . . . . . . 8 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
64, 5nvscl 30146 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐢) ∈ 𝑋)
73, 6mp3an2 1447 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐢) ∈ 𝑋)
873ad2antr3 1188 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (-1𝑆𝐢) ∈ 𝑋)
91, 2, 83jca 1126 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐢) ∈ 𝑋))
10 eqid 2730 . . . . 5 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
114, 10, 5nvdi 30150 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐢) ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑆(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1𝑆𝐢))) = ((𝐴𝑆𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐢))))
129, 11syldan 589 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑆(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1𝑆𝐢))) = ((𝐴𝑆𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐢))))
134, 5nvscom 30149 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑆(-1𝑆𝐢)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐢)))
143, 13mp3anr2 1457 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑆(-1𝑆𝐢)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐢)))
15143adantr2 1168 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑆(-1𝑆𝐢)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐢)))
1615oveq2d 7427 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑆𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐢))) = ((𝐴𝑆𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐢))))
1712, 16eqtrd 2770 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑆(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1𝑆𝐢))) = ((𝐴𝑆𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐢))))
18 nvmdi.3 . . . . 5 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
194, 10, 5, 18nvmval 30162 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑀𝐢) = (𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1𝑆𝐢)))
20193adant3r1 1180 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝑀𝐢) = (𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1𝑆𝐢)))
2120oveq2d 7427 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑆(𝐡𝑀𝐢)) = (𝐴𝑆(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1𝑆𝐢))))
22 simpl 481 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
234, 5nvscl 30146 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
24233adant3r3 1182 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
254, 5nvscl 30146 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑆𝐢) ∈ 𝑋)
26253adant3r2 1181 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑆𝐢) ∈ 𝑋)
274, 10, 5, 18nvmval 30162 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑆𝐡) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝑆𝐢) ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝑆𝐡)𝑀(𝐴𝑆𝐢)) = ((𝐴𝑆𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐢))))
2822, 24, 26, 27syl3anc 1369 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑆𝐡)𝑀(𝐴𝑆𝐢)) = ((𝐴𝑆𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐢))))
2917, 21, 283eqtr4d 2780 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑆(𝐡𝑀𝐢)) = ((𝐴𝑆𝐡)𝑀(𝐴𝑆𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  1c1 11113  -cneg 11449  NrmCVeccnv 30104   +𝑣 cpv 30105  BaseSetcba 30106   ·𝑠OLD cns 30107   βˆ’π‘£ cnsb 30109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-gdiv 30016  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-vs 30119  df-nmcv 30120
This theorem is referenced by:  smcnlem  30217  minvecolem2  30395
  Copyright terms: Public domain W3C validator