Theorem nvmdi 29653

Description: Distributive law for scalar product over subtraction. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvmdi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmdi.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
nvmdi.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvmdi	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑀𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)))

Proof of Theorem nvmdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1194	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simpr2 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
3		neg1cn 12276	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		nvmdi.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		nvmdi.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
6	4, 5	nvscl 29631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
7	3, 6	mp3an2 1449	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
8	7	3ad2antr3 1190	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
9	1, 2, 8	3jca 1128	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋))
10		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
11	4, 10, 5	nvdi 29635	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣 ‘𝑈)(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐶))))
12	9, 11	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣 ‘𝑈)(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐶))))
13	4, 5	nvscom 29634	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(-1𝑆𝐶)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
14	3, 13	mp3anr2 1459	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(-1𝑆𝐶)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
15	14	3adantr2 1170	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(-1𝑆𝐶)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
16	15	oveq2d 7378	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
17	12, 16	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣 ‘𝑈)(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
18		nvmdi.3	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
19	4, 10, 5, 18	nvmval 29647	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑀𝐶) = (𝐵( +𝑣 ‘𝑈)(-1𝑆𝐶)))
20	19	3adant3r1 1182	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑀𝐶) = (𝐵( +𝑣 ‘𝑈)(-1𝑆𝐶)))
21	20	oveq2d 7378	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑀𝐶)) = (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣 ‘𝑈)(-1𝑆𝐶))))
22		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
23	4, 5	nvscl 29631	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
24	23	3adant3r3 1184	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
25	4, 5	nvscl 29631	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
26	25	3adant3r2 1183	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
27	4, 10, 5, 18	nvmval 29647	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
28	22, 24, 26, 27	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
29	17, 21, 28	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑀𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  ℂcc 11058  1c1 11061  -cneg 11395  NrmCVeccnv 29589   +_𝑣 cpv 29590  BaseSetcba 29591   ·_𝑠OLD cns 29592   −_𝑣 cnsb 29594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-ltxr 11203  df-sub 11396  df-neg 11397  df-grpo 29498  df-gid 29499  df-ginv 29500  df-gdiv 29501  df-ablo 29550  df-vc 29564  df-nv 29597  df-va 29600  df-ba 29601  df-sm 29602  df-0v 29603  df-vs 29604  df-nmcv 29605

This theorem is referenced by:  smcnlem  29702  minvecolem2  29880