Theorem nvmdi 28911

Description: Distributive law for scalar product over subtraction. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvmdi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmdi.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
nvmdi.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvmdi	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑀𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)))

Proof of Theorem nvmdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1192	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simpr2 1193	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
3		neg1cn 12017	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		nvmdi.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		nvmdi.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
6	4, 5	nvscl 28889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
7	3, 6	mp3an2 1447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
8	7	3ad2antr3 1188	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
9	1, 2, 8	3jca 1126	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋))
10		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
11	4, 10, 5	nvdi 28893	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣 ‘𝑈)(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐶))))
12	9, 11	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣 ‘𝑈)(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐶))))
13	4, 5	nvscom 28892	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(-1𝑆𝐶)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
14	3, 13	mp3anr2 1457	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(-1𝑆𝐶)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
15	14	3adantr2 1168	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(-1𝑆𝐶)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
16	15	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
17	12, 16	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣 ‘𝑈)(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
18		nvmdi.3	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
19	4, 10, 5, 18	nvmval 28905	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑀𝐶) = (𝐵( +𝑣 ‘𝑈)(-1𝑆𝐶)))
20	19	3adant3r1 1180	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑀𝐶) = (𝐵( +𝑣 ‘𝑈)(-1𝑆𝐶)))
21	20	oveq2d 7271	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑀𝐶)) = (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣 ‘𝑈)(-1𝑆𝐶))))
22		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
23	4, 5	nvscl 28889	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
24	23	3adant3r3 1182	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
25	4, 5	nvscl 28889	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
26	25	3adant3r2 1181	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
27	4, 10, 5, 18	nvmval 28905	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
28	22, 24, 26, 27	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
29	17, 21, 28	3eqtr4d 2788	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑀𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  1c1 10803  -cneg 11136  NrmCVeccnv 28847   +_𝑣 cpv 28848  BaseSetcba 28849   ·_𝑠OLD cns 28850   −_𝑣 cnsb 28852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863

This theorem is referenced by:  smcnlem  28960  minvecolem2  29138