Theorem o1f 15575

Description: An eventually bounded function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
o1f	⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)

Proof of Theorem o1f

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elo1 15572	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))
2	1	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3		cnex 11265	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
4		reex 11275	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
5	3, 4	elpm2 8932	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
6	5	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
7	2, 6	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_pm cpm 8885  ℂcc 11182  ℝcr 11183  +∞cpnf 11321   ≤ cle 11325  [,)cico 13409  abscabs 15283  𝑂(1)co1 15532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-pm 8887  df-o1 15536

This theorem is referenced by:  o1res  15606  o1of2  15659  o1rlimmul  15665  o1mptrcl  15669  o1fsum  15861  o1cxp  27036  dchrisum0  27582