MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1f 15565
Description: An eventually bounded function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
o1f (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)

Proof of Theorem o1f
Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elo1 15562 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑚))
21simplbi 497 . 2 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3 cnex 11236 . . . 4 ℂ ∈ V
4 reex 11246 . . . 4 ℝ ∈ V
53, 4elpm2 8914 . . 3 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
65simplbi 497 . 2 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
72, 6syl 17 1 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  pm cpm 8867  cc 11153  cr 11154  +∞cpnf 11292  cle 11296  [,)cico 13389  abscabs 15273  𝑂(1)co1 15522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-pm 8869  df-o1 15526
This theorem is referenced by:  o1res  15596  o1of2  15649  o1rlimmul  15655  o1mptrcl  15659  o1fsum  15849  o1cxp  27018  dchrisum0  27564
  Copyright terms: Public domain W3C validator