MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1f 14876
Description: An eventually bounded function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
o1f (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)

Proof of Theorem o1f
Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elo1 14873 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑚))
21simplbi 498 . 2 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3 cnex 10607 . . . 4 ℂ ∈ V
4 reex 10617 . . . 4 ℝ ∈ V
53, 4elpm2 8428 . . 3 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
65simplbi 498 . 2 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
72, 6syl 17 1 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144  cin 3939  wss 3940   class class class wbr 5063  dom cdm 5554  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  pm cpm 8397  cc 10524  cr 10525  +∞cpnf 10661  cle 10665  [,)cico 12730  abscabs 14583  𝑂(1)co1 14833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-fv 6360  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-pm 8399  df-o1 14837
This theorem is referenced by:  o1res  14907  o1of2  14959  o1rlimmul  14965  o1mptrcl  14969  o1fsum  15158  o1cxp  25466  dchrisum0  26010
  Copyright terms: Public domain W3C validator