Theorem o1f 15562

Description: An eventually bounded function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
o1f	⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)

Proof of Theorem o1f

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elo1 15559	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))
2	1	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3		cnex 11234	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
4		reex 11244	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
5	3, 4	elpm2 8913	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
6	5	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
7	2, 6	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_pm cpm 8866  ℂcc 11151  ℝcr 11152  +∞cpnf 11290   ≤ cle 11294  [,)cico 13386  abscabs 15270  𝑂(1)co1 15519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-pm 8868  df-o1 15523

This theorem is referenced by:  o1res  15593  o1of2  15646  o1rlimmul  15652  o1mptrcl  15656  o1fsum  15846  o1cxp  27033  dchrisum0  27579