Theorem o1dm 15726

Description: An eventually bounded function's domain is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
o1dm	⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem o1dm

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elo1 15722	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))
2	1	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3		cnex 11308	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
4		reex 11318	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
5	3, 4	elpm2 8930	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
6	5	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
7	2, 6	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ↑_pm cpm 8876  ℂcc 11225  ℝcr 11226  +∞cpnf 11367   ≤ cle 11371  [,)cico 13505  abscabs 15430  𝑂(1)co1 15682

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-pm 8878  df-o1 15686

This theorem is used by:  o1bdd  15727  lo1o1  15728  o1lo1  15733  o1lo12  15734  o1co  15782  o1of2  15809  o1rlimmul  15815  o1add2  15820  o1mul2  15821  o1sub2  15822  o1dif  15826  o1cxp  27332