MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1dm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1dm 15474
Description: An eventually bounded function's domain is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
o1dm (𝐹 ∈ 𝑂(1) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)

Proof of Theorem o1dm
Dummy variables π‘₯ π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elo1 15470 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘š))
21simplbi 499 . 2 (𝐹 ∈ 𝑂(1) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
3 cnex 11191 . . . 4 β„‚ ∈ V
4 reex 11201 . . . 4 ℝ ∈ V
53, 4elpm2 8868 . . 3 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† ℝ))
65simprbi 498 . 2 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
72, 6syl 17 1 (𝐹 ∈ 𝑂(1) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑pm cpm 8821  β„‚cc 11108  β„cr 11109  +∞cpnf 11245   ≀ cle 11249  [,)cico 13326  abscabs 15181  π‘‚(1)co1 15430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-pm 8823  df-o1 15434
This theorem is referenced by:  o1bdd  15475  lo1o1  15476  o1lo1  15481  o1lo12  15482  o1co  15530  o1of2  15557  o1rlimmul  15563  o1add2  15568  o1mul2  15569  o1sub2  15570  o1dif  15574  o1cxp  26479
  Copyright terms: Public domain W3C validator