MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1dm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1dm 14878
Description: An eventually bounded function's domain is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
o1dm (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem o1dm
Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elo1 14874 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑚))
21simplbi 501 . 2 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3 cnex 10605 . . . 4 ℂ ∈ V
4 reex 10615 . . . 4 ℝ ∈ V
53, 4elpm2 8423 . . 3 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
65simprbi 500 . 2 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
72, 6syl 17 1 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  wral 3132  wrex 3133  cin 3917  wss 3918   class class class wbr 5049  dom cdm 5538  wf 6334  cfv 6338  (class class class)co 7140  pm cpm 8392  cc 10522  cr 10523  +∞cpnf 10659  cle 10663  [,)cico 12728  abscabs 14584  𝑂(1)co1 14834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4822  df-br 5050  df-opab 5112  df-id 5443  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-fv 6346  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-pm 8394  df-o1 14838
This theorem is referenced by:  o1bdd  14879  lo1o1  14880  o1lo1  14885  o1lo12  14886  o1co  14934  o1of2  14960  o1rlimmul  14966  o1add2  14971  o1mul2  14972  o1sub2  14973  o1dif  14977  o1cxp  25551
  Copyright terms: Public domain W3C validator