Theorem o1dm 15476

Description: An eventually bounded function's domain is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
o1dm	⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem o1dm

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elo1 15472	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))
2	1	simplbi 498	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3		cnex 11193	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
4		reex 11203	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
5	3, 4	elpm2 8870	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
6	5	simprbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
7	2, 6	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑_pm cpm 8823  ℂcc 11110  ℝcr 11111  +∞cpnf 11247   ≤ cle 11251  [,)cico 13328  abscabs 15183  𝑂(1)co1 15432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-pm 8825  df-o1 15436

This theorem is referenced by:  o1bdd  15477  lo1o1  15478  o1lo1  15483  o1lo12  15484  o1co  15532  o1of2  15559  o1rlimmul  15565  o1add2  15570  o1mul2  15571  o1sub2  15572  o1dif  15576  o1cxp  26486