Theorem o1dm 15533

Description: An eventually bounded function's domain is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
o1dm	⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem o1dm

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elo1 15529	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))
2	1	simplbi 499	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3		cnex 11144	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
4		reex 11154	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
5	3, 4	elpm2 8845	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
6	5	simprbi 500	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
7	2, 6	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  ∀wral 3070  ∃wrex 3080   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5094  dom cdm 5640  ⟶wf 6506  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385   ↑_pm cpm 8797  ℂcc 11061  ℝcr 11062  +∞cpnf 11203   ≤ cle 11207  [,)cico 13341  abscabs 15237  𝑂(1)co1 15489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5095  df-opab 5157  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-fv 6518  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-pm 8799  df-o1 15493

This theorem is referenced by:  o1bdd  15534  lo1o1  15535  o1lo1  15540  o1lo12  15541  o1co  15589  o1of2  15616  o1rlimmul  15622  o1add2  15627  o1mul2  15628  o1sub2  15629  o1dif  15633  o1cxp  27009