Theorem o1dm 15619

Description: An eventually bounded function's domain is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
o1dm	⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem o1dm

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elo1 15615	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))
2	1	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3		cnex 11208	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
4		reex 11218	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
5	3, 4	elpm2 8884	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
6	5	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
7	2, 6	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_pm cpm 8830  ℂcc 11125  ℝcr 11126  +∞cpnf 11267   ≤ cle 11271  [,)cico 13402  abscabs 15323  𝑂(1)co1 15575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-pm 8832  df-o1 15579

This theorem is used by:  o1bdd  15620  lo1o1  15621  o1lo1  15626  o1lo12  15627  o1co  15675  o1of2  15702  o1rlimmul  15708  o1add2  15713  o1mul2  15714  o1sub2  15715  o1dif  15719  o1cxp  27212