MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1dm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1dm 14875
Description: An eventually bounded function's domain is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
o1dm (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem o1dm
Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elo1 14871 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑚))
21simplbi 498 . 2 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3 cnex 10606 . . . 4 ℂ ∈ V
4 reex 10616 . . . 4 ℝ ∈ V
53, 4elpm2 8427 . . 3 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
65simprbi 497 . 2 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
72, 6syl 17 1 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  cin 3932  wss 3933   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  pm cpm 8396  cc 10523  cr 10524  +∞cpnf 10660  cle 10664  [,)cico 12728  abscabs 14581  𝑂(1)co1 14831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-pm 8398  df-o1 14835
This theorem is referenced by:  o1bdd  14876  lo1o1  14877  o1lo1  14882  o1lo12  14883  o1co  14931  o1of2  14957  o1rlimmul  14963  o1add2  14968  o1mul2  14969  o1sub2  14970  o1dif  14974  o1cxp  25479
  Copyright terms: Public domain W3C validator