MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1cxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1cxp 25479
Description: An eventually bounded function taken to a nonnegative power is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1cxp.1 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
o1cxp.2 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
o1cxp.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
o1cxp.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
o1cxp (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem o1cxp
Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1cxp.4 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
2 o1f 14874 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
4 o1cxp.3 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
54ralrimiva 3179 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
6 dmmptg 6089 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
87feq2d 6493 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ))
93, 8mpbid 233 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
10 o1bdd 14876 . . 3 (((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚))
111, 9, 10syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚))
12 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
13 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
1413fvmpt2 6771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝐵𝑉) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
1512, 4, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
1615oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = (𝐵𝑐𝐶))
17 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵𝑐𝐶) ∈ V
18 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))
1918fvmpt2 6771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐵𝑐𝐶) ∈ V) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥) = (𝐵𝑐𝐶))
2012, 17, 19sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥) = (𝐵𝑐𝐶))
2116, 20eqtr4d 2856 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥))
2221ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥))
23 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧(((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥)
24 nffvmpt1 6674 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)
25 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑐
26 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐶
2724, 25, 26nfov 7175 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)
28 nffvmpt1 6674 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)
2927, 28nfeq 2988 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)
30 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))
3130oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶))
32 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧))
3331, 32eqeq12d 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → ((((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)))
3423, 29, 33cbvralw 3439 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴 (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥) ↔ ∀𝑧𝐴 (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧))
3522, 34sylib 219 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧))
3635r19.21bi 3205 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧))
3736ad2ant2r 743 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧))
3837fveq2d 6667 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘(((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)) = (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)))
399ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℂ)
4039ad2ant2r 743 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℂ)
41 o1cxp.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4241ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝐶 ∈ ℂ)
43 o1cxp.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
4443ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
45 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑚 ∈ ℝ)
46 0re 10631 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
47 ifcl 4507 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
4845, 46, 47sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
4948adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
5040abscld 14784 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ∈ ℝ)
5145adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
52 simprr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)
53 max2 12568 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
5446, 45, 53sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
5554adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
5650, 51, 49, 52, 55letrd 10785 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
5740, 42, 44, 49, 56abscxpbnd 25261 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘(((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))
5838, 57eqbrtrrd 5081 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))
5958expr 457 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧𝐴) → ((abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚 → (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))))
6059imim2d 57 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))))
6160ralimdva 3174 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))))
624, 1o1mptrcl 14967 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6341adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
6462, 63cxpcld 25218 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝑐𝐶) ∈ ℂ)
6564fmpttd 6871 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ)
6665adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ)
67 o1dm 14875 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
681, 67syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
697, 68eqsstrrd 4003 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
7069adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
71 simprl 767 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
72 max1 12566 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
7346, 45, 72sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
7441adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
7574recld 14541 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
7648, 73, 75recxpcld 25233 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) ∈ ℝ)
7774abscld 14784 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
78 pire 24971 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
79 remulcl 10610 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘𝐶) · π) ∈ ℝ)
8077, 78, 79sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((abs‘𝐶) · π) ∈ ℝ)
8180reefcld 15429 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (exp‘((abs‘𝐶) · π)) ∈ ℝ)
8276, 81remulcld 10659 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ)
83 elo12r 14873 . . . . . 6 ((((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))
84833expia 1113 . . . . 5 ((((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ)) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
8566, 70, 71, 82, 84syl22anc 834 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
8661, 85syld 47 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
8786rexlimdvva 3291 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
8811, 87mpd 15 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  wss 3933  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525   · cmul 10530  cle 10664  cre 14444  abscabs 14581  𝑂(1)co1 14831  expce 15403  πcpi 15408  𝑐ccxp 25066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-o1 14835  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067  df-cxp 25068
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator