Theorem o1cxp 27284

Description: An eventually bounded function taken to a nonnegative power is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1cxp.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
o1cxp.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
o1cxp.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
o1cxp.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))

Assertion

Ref	Expression
o1cxp	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem o1cxp

Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1cxp.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))
2		o1f 15676	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
4		o1cxp.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	4	ralrimiva 3155	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
6		dmmptg 6236	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
8	7	feq2d 6685	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ))
9	3, 8	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
10		o1bdd 15678	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚))
11	1, 9, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚))
12		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
13		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
14	13	fvmpt2 6997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
15	12, 4, 14	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
16	15	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶))
17		ovex 7445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ V
18		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))
19	18	fvmpt2 6997	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) = (𝐵↑𝑐𝐶))
20	12, 17, 19	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) = (𝐵↑𝑐𝐶))
21	16, 20	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥))
22	21	ralrimiva 3155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥))
23		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥)
24		nffvmpt1 6888	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)
25		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥↑𝑐
26		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
27	24, 25, 26	nfov 7442	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)
28		nffvmpt1 6888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)
29	27, 28	nfeq 2936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)
30		fveq2 6877	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧))
31	30	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶))
32		fveq2 6877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
33	31, 32	eqeq12d 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)))
34	23, 29, 33	cbvralw 3305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
35	22, 34	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
36	35	r19.21bi 3255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
37	36	ad2ant2r 760	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
38	37	fveq2d 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)) = (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)))
39	9	ffvelcdmda 7076	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) ∈ ℂ)
40	39	ad2ant2r 760	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) ∈ ℂ)
41		o1cxp.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
42	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝐶 ∈ ℂ)
43		o1cxp.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
44	43	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
45		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑚 ∈ ℝ)
46		0re 11291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
47		ifcl 4528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
48	45, 46, 47	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
49	48	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
50	40	abscld 15586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ∈ ℝ)
51	45	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
52		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)
53		max2 13298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
54	46, 45, 53	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
55	54	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
56	50, 51, 49, 52, 55	letrd 11448	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
57	40, 42, 44, 49, 56	abscxpbnd 27063	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))
58	38, 57	eqbrtrrd 5129	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))
59	58	expr 462	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))))
60	59	imim2d 58	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))))
61	60	ralimdva 3175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))))
62	4, 1	o1mptrcl 15770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
63	41	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
64	62, 63	cxpcld 27018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
65	64	fmpttd 7107	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ)
66	65	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ)
67		o1dm 15677	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
68	1, 67	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
69	7, 68	eqsstrrd 3966	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
70	69	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
71		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
72		max1 13296	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
73	46, 45, 72	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
74	41	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
75	74	recld 15341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
76	48, 73, 75	recxpcld 27033	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) ∈ ℝ)
77	74	abscld 15586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
78		pire 26765	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
79		remulcl 11266	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘𝐶) · π) ∈ ℝ)
80	77, 78, 79	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((abs‘𝐶) · π) ∈ ℝ)
81	80	reefcld 16234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (exp‘((abs‘𝐶) · π)) ∈ ℝ)
82	76, 81	remulcld 11320	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ)
83		elo12r 15675	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))
84	83	3expia 1139	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
85	66, 70, 71, 82, 84	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
86	61, 85	syld 48	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
87	86	rexlimdvva 3220	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
88	11, 87	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181   · cmul 11186   ≤ cle 11325  ℜcre 15244  abscabs 15381  𝑂(1)co1 15633  expce 16207  πcpi 16212  ↑_𝑐ccxp 26865

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-shft 15200  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-o1 15637  df-sum 15834  df-ef 16213  df-sin 16215  df-cos 16216  df-pi 16218  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-lp 23434  df-perf 23435  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-haus 23613  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cncf 25179  df-limc 26166  df-dv 26167  df-log 26866  df-cxp 26867

This theorem is used by: (None)