Theorem o1cxp 26124

Description: An eventually bounded function taken to a nonnegative power is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1cxp.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
o1cxp.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
o1cxp.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
o1cxp.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))

Assertion

Ref	Expression
o1cxp	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem o1cxp

Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1cxp.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))
2		o1f 15238	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
4		o1cxp.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	4	ralrimiva 3103	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
6		dmmptg 6145	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
8	7	feq2d 6586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ))
9	3, 8	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
10		o1bdd 15240	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚))
11	1, 9, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚))
12		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
13		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
14	13	fvmpt2 6886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
15	12, 4, 14	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
16	15	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶))
17		ovex 7308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ V
18		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))
19	18	fvmpt2 6886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) = (𝐵↑𝑐𝐶))
20	12, 17, 19	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) = (𝐵↑𝑐𝐶))
21	16, 20	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥))
22	21	ralrimiva 3103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥))
23		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥)
24		nffvmpt1 6785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)
25		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥↑𝑐
26		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
27	24, 25, 26	nfov 7305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)
28		nffvmpt1 6785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)
29	27, 28	nfeq 2920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)
30		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧))
31	30	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶))
32		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
33	31, 32	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)))
34	23, 29, 33	cbvralw 3373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
35	22, 34	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
36	35	r19.21bi 3134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
37	36	ad2ant2r 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
38	37	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)) = (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)))
39	9	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) ∈ ℂ)
40	39	ad2ant2r 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) ∈ ℂ)
41		o1cxp.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
42	41	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝐶 ∈ ℂ)
43		o1cxp.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
44	43	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
45		simprr 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑚 ∈ ℝ)
46		0re 10977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
47		ifcl 4504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
48	45, 46, 47	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
49	48	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
50	40	abscld 15148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ∈ ℝ)
51	45	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
52		simprr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)
53		max2 12921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
54	46, 45, 53	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
56	50, 51, 49, 52, 55	letrd 11132	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
57	40, 42, 44, 49, 56	abscxpbnd 25906	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))
58	38, 57	eqbrtrrd 5098	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))
59	58	expr 457	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))))
60	59	imim2d 57	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))))
61	60	ralimdva 3108	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))))
62	4, 1	o1mptrcl 15332	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
63	41	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
64	62, 63	cxpcld 25863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
65	64	fmpttd 6989	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ)
66	65	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ)
67		o1dm 15239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
68	1, 67	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
69	7, 68	eqsstrrd 3960	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
70	69	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
71		simprl 768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
72		max1 12919	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
73	46, 45, 72	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
74	41	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
75	74	recld 14905	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
76	48, 73, 75	recxpcld 25878	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) ∈ ℝ)
77	74	abscld 15148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
78		pire 25615	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
79		remulcl 10956	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘𝐶) · π) ∈ ℝ)
80	77, 78, 79	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((abs‘𝐶) · π) ∈ ℝ)
81	80	reefcld 15797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (exp‘((abs‘𝐶) · π)) ∈ ℝ)
82	76, 81	remulcld 11005	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ)
83		elo12r 15237	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))
84	83	3expia 1120	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
85	66, 70, 71, 82, 84	syl22anc 836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
86	61, 85	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
87	86	rexlimdvva 3223	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
88	11, 87	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ifcif 4459   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5589  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871   · cmul 10876   ≤ cle 11010  ℜcre 14808  abscabs 14945  𝑂(1)co1 15195  expce 15771  πcpi 15776  ↑_𝑐ccxp 25711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-o1 15199  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-cxp 25713

This theorem is referenced by: (None)