Theorem o1cxp 27307

Description: An eventually bounded function taken to a nonnegative power is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1cxp.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
o1cxp.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
o1cxp.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
o1cxp.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))

Assertion

Ref	Expression
o1cxp	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem o1cxp

Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1cxp.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))
2		o1f 15701	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
4		o1cxp.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	4	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
6		dmmptg 6243	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
8	7	feq2d 6693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ))
9	3, 8	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
10		o1bdd 15703	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚))
11	1, 9, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚))
12		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
13		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
14	13	fvmpt2 7005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
15	12, 4, 14	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
16	15	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶))
17		ovex 7453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ V
18		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))
19	18	fvmpt2 7005	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) = (𝐵↑𝑐𝐶))
20	12, 17, 19	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) = (𝐵↑𝑐𝐶))
21	16, 20	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥))
22	21	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥))
23		nfv 1946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥)
24		nffvmpt1 6896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)
25		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥↑𝑐
26		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
27	24, 25, 26	nfov 7450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)
28		nffvmpt1 6896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)
29	27, 28	nfeq 2935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)
30		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧))
31	30	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶))
32		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
33	31, 32	eqeq12d 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)))
34	23, 29, 33	cbvralw 3304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
35	22, 34	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
36	35	r19.21bi 3254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
37	36	ad2ant2r 760	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
38	37	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)) = (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)))
39	9	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) ∈ ℂ)
40	39	ad2ant2r 760	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) ∈ ℂ)
41		o1cxp.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
42	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝐶 ∈ ℂ)
43		o1cxp.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
44	43	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
45		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑚 ∈ ℝ)
46		0re 11313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
47		ifcl 4527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
48	45, 46, 47	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
49	48	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
50	40	abscld 15611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ∈ ℝ)
51	45	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
52		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)
53		max2 13320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
54	46, 45, 53	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
55	54	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
56	50, 51, 49, 52, 55	letrd 11470	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
57	40, 42, 44, 49, 56	abscxpbnd 27086	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))
58	38, 57	eqbrtrrd 5128	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))
59	58	expr 462	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))))
60	59	imim2d 58	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))))
61	60	ralimdva 3174	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))))
62	4, 1	o1mptrcl 15795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
63	41	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
64	62, 63	cxpcld 27041	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
65	64	fmpttd 7115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ)
66	65	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ)
67		o1dm 15702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
68	1, 67	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
69	7, 68	eqsstrrd 3943	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
70	69	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
71		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
72		max1 13318	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
73	46, 45, 72	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
74	41	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
75	74	recld 15366	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
76	48, 73, 75	recxpcld 27056	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) ∈ ℝ)
77	74	abscld 15611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
78		pire 26788	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
79		remulcl 11288	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘𝐶) · π) ∈ ℝ)
80	77, 78, 79	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((abs‘𝐶) · π) ∈ ℝ)
81	80	reefcld 16259	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (exp‘((abs‘𝐶) · π)) ∈ ℝ)
82	76, 81	remulcld 11342	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ)
83		elo12r 15700	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))
84	83	3expia 1139	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
85	66, 70, 71, 82, 84	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
86	61, 85	syld 48	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
87	86	rexlimdvva 3219	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
88	11, 87	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203   · cmul 11208   ≤ cle 11347  ℜcre 15269  abscabs 15406  𝑂(1)co1 15658  expce 16232  πcpi 16237  ↑_𝑐ccxp 26888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-o1 15662  df-sum 15859  df-ef 16238  df-sin 16240  df-cos 16241  df-pi 16243  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-fbas 21680  df-fg 21681  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-lp 23459  df-perf 23460  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-haus 23638  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-fil 24170  df-fm 24262  df-flim 24263  df-flf 24264  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-cncf 25204  df-limc 26191  df-dv 26192  df-log 26889  df-cxp 26890

This theorem is used by: (None)