Theorem o1cxp 26324

Description: An eventually bounded function taken to a nonnegative power is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1cxp.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
o1cxp.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
o1cxp.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
o1cxp.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))

Assertion

Ref	Expression
o1cxp	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem o1cxp

Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1cxp.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))
2		o1f 15411	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
4		o1cxp.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	4	ralrimiva 3143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
6		dmmptg 6194	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
8	7	feq2d 6654	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ))
9	3, 8	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
10		o1bdd 15413	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚))
11	1, 9, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚))
12		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
13		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
14	13	fvmpt2 6959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
15	12, 4, 14	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
16	15	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶))
17		ovex 7390	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ V
18		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))
19	18	fvmpt2 6959	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) = (𝐵↑𝑐𝐶))
20	12, 17, 19	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) = (𝐵↑𝑐𝐶))
21	16, 20	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥))
22	21	ralrimiva 3143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥))
23		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥)
24		nffvmpt1 6853	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)
25		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥↑𝑐
26		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
27	24, 25, 26	nfov 7387	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)
28		nffvmpt1 6853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)
29	27, 28	nfeq 2920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)
30		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧))
31	30	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶))
32		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
33	31, 32	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)))
34	23, 29, 33	cbvralw 3289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
35	22, 34	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
36	35	r19.21bi 3234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
37	36	ad2ant2r 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
38	37	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)) = (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)))
39	9	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) ∈ ℂ)
40	39	ad2ant2r 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) ∈ ℂ)
41		o1cxp.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
42	41	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝐶 ∈ ℂ)
43		o1cxp.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
44	43	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
45		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑚 ∈ ℝ)
46		0re 11157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
47		ifcl 4531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
48	45, 46, 47	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
49	48	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
50	40	abscld 15321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ∈ ℝ)
51	45	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
52		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)
53		max2 13106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
54	46, 45, 53	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
56	50, 51, 49, 52, 55	letrd 11312	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
57	40, 42, 44, 49, 56	abscxpbnd 26106	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))
58	38, 57	eqbrtrrd 5129	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))
59	58	expr 457	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))))
60	59	imim2d 57	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))))
61	60	ralimdva 3164	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))))
62	4, 1	o1mptrcl 15505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
63	41	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
64	62, 63	cxpcld 26063	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
65	64	fmpttd 7063	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ)
66	65	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ)
67		o1dm 15412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
68	1, 67	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
69	7, 68	eqsstrrd 3983	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
70	69	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
71		simprl 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
72		max1 13104	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
73	46, 45, 72	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
74	41	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
75	74	recld 15079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
76	48, 73, 75	recxpcld 26078	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) ∈ ℝ)
77	74	abscld 15321	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
78		pire 25815	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
79		remulcl 11136	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘𝐶) · π) ∈ ℝ)
80	77, 78, 79	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((abs‘𝐶) · π) ∈ ℝ)
81	80	reefcld 15970	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (exp‘((abs‘𝐶) · π)) ∈ ℝ)
82	76, 81	remulcld 11185	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ)
83		elo12r 15410	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))
84	83	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
85	66, 70, 71, 82, 84	syl22anc 837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
86	61, 85	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
87	86	rexlimdvva 3205	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
88	11, 87	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051   · cmul 11056   ≤ cle 11190  ℜcre 14982  abscabs 15119  𝑂(1)co1 15368  expce 15944  πcpi 15949  ↑_𝑐ccxp 25911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-o1 15372  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913

This theorem is referenced by: (None)