Theorem o1res 15516

Description: The restriction of an eventually bounded function is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
o1res	⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ 𝑂(1))

Proof of Theorem o1res

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resco 6209	. . 3 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (abs ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
2		o1f 15485	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3		lo1o1 15488	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))
5	4	ibi 267	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1))
6		lo1res 15515	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) → ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) ∈ ≤𝑂(1))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) ∈ ≤𝑂(1))
8	1, 7	eqeltrrid 2842	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (abs ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ ≤𝑂(1))
9		fresin 6704	. . 3 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℂ)
10		lo1o1 15488	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℂ → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ ≤𝑂(1)))
11	2, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ ≤𝑂(1)))
12	8, 11	mpbird 257	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889  dom cdm 5625   ↾ cres 5627   ∘ ccom 5629  ⟶wf 6489  ℂcc 11030  abscabs 15190  𝑂(1)co1 15442  ≤𝑂(1)clo1 15443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-ico 13298  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-o1 15446  df-lo1 15447

This theorem is referenced by:  o1res2  15519  o1resb  15522