Theorem o1res 15511

Description: The restriction of an eventually bounded function is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
o1res	⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ 𝑂(1))

Proof of Theorem o1res

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resco 6249	. . 3 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (abs ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
2		o1f 15480	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3		lo1o1 15483	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))
5	4	ibi 267	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1))
6		lo1res 15510	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) → ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) ∈ ≤𝑂(1))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) ∈ ≤𝑂(1))
8	1, 7	eqeltrrid 2837	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (abs ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ ≤𝑂(1))
9		fresin 6760	. . 3 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℂ)
10		lo1o1 15483	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℂ → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ ≤𝑂(1)))
11	2, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ ≤𝑂(1)))
12	8, 11	mpbird 257	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3947  dom cdm 5676   ↾ cres 5678   ∘ ccom 5680  ⟶wf 6539  ℂcc 11114  abscabs 15188  𝑂(1)co1 15437  ≤𝑂(1)clo1 15438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-ico 13337  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-o1 15441  df-lo1 15442

This theorem is referenced by:  o1res2  15514  o1resb  15517