MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1res Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1res 14499
Description: The restriction of an eventually bounded function is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
o1res (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑂(1))

Proof of Theorem o1res
StepHypRef Expression
1 resco 5783 . . 3 ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (abs ∘ (𝐹𝐴))
2 o1f 14468 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3 lo1o1 14471 . . . . . 6 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))
54ibi 256 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1))
6 lo1res 14498 . . . 4 ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) → ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) ∈ ≤𝑂(1))
75, 6syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) ∈ ≤𝑂(1))
81, 7syl5eqelr 2855 . 2 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (abs ∘ (𝐹𝐴)) ∈ ≤𝑂(1))
9 fresin 6213 . . 3 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹𝐴):(dom 𝐹𝐴)⟶ℂ)
10 lo1o1 14471 . . 3 ((𝐹𝐴):(dom 𝐹𝐴)⟶ℂ → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ (𝐹𝐴)) ∈ ≤𝑂(1)))
112, 9, 103syl 18 . 2 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ (𝐹𝐴)) ∈ ≤𝑂(1)))
128, 11mpbird 247 1 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 2145  cin 3722  dom cdm 5249  cres 5251  ccom 5253  wf 6027  cc 10136  abscabs 14182  𝑂(1)co1 14425  ≤𝑂(1)clo1 14426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-o1 14429  df-lo1 14430
This theorem is referenced by:  o1res2  14502  o1resb  14505
  Copyright terms: Public domain W3C validator