Theorem o1res 15511

Description: The restriction of an eventually bounded function is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
o1res	⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ 𝑂(1))

Proof of Theorem o1res

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resco 6206	. . 3 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (abs ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
2		o1f 15480	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3		lo1o1 15483	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))
5	4	ibi 267	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1))
6		lo1res 15510	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) → ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) ∈ ≤𝑂(1))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) ∈ ≤𝑂(1))
8	1, 7	eqeltrrid 2842	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (abs ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ ≤𝑂(1))
9		fresin 6701	. . 3 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℂ)
10		lo1o1 15483	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℂ → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ ≤𝑂(1)))
11	2, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ ≤𝑂(1)))
12	8, 11	mpbird 257	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889  dom cdm 5622   ↾ cres 5624   ∘ ccom 5626  ⟶wf 6486  ℂcc 11025  abscabs 15185  𝑂(1)co1 15437  ≤𝑂(1)clo1 15438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-ico 13293  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-o1 15441  df-lo1 15442

This theorem is referenced by:  o1res2  15514  o1resb  15517