Theorem o1res 14966

Description: The restriction of an eventually bounded function is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
o1res	⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ 𝑂(1))

Proof of Theorem o1res

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resco 6081	. . 3 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) = (abs ∘ (𝐹 ↾ 𝐴))
2		o1f 14935	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3		lo1o1 14938	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1)))
5	4	ibi 270	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1))
6		lo1res 14965	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) ∈ ≤𝑂(1) → ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) ∈ ≤𝑂(1))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐴) ∈ ≤𝑂(1))
8	1, 7	eqeltrrid 2858	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (abs ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ ≤𝑂(1))
9		fresin 6533	. . 3 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℂ)
10		lo1o1 14938	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℂ → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ ≤𝑂(1)))
11	2, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ ≤𝑂(1)))
12	8, 11	mpbird 260	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2112   ∩ cin 3858  dom cdm 5525   ↾ cres 5527   ∘ ccom 5529  ⟶wf 6332  ℂcc 10574  abscabs 14642  𝑂(1)co1 14892  ≤𝑂(1)clo1 14893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653  ax-pre-sup 10654

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-pm 8420  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-sup 8940  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-div 11337  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-n0 11936  df-z 12022  df-uz 12284  df-rp 12432  df-ico 12786  df-seq 13420  df-exp 13481  df-cj 14507  df-re 14508  df-im 14509  df-sqrt 14643  df-abs 14644  df-o1 14896  df-lo1 14897

This theorem is referenced by:  o1res2  14969  o1resb  14972