o1rlimmul - Metamath Proof Explorer

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Theorem o1rlimmul 15696

Description: The product of an eventually bounded function and a function of limit zero has limit zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
o1rlimmul	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → (𝐹 ∘_f · 𝐺) ⇝_𝑟 0)

Proof of Theorem o1rlimmul Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1f 15606	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3	2	ffnd 6713	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
4		rlimf 15578	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ⇝_𝑟 0 → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
5	4	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
6	5	ffnd 6713	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → 𝐺 Fn dom 𝐺)
7		o1dm 15607	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
9		reex 11209	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
10		ssexg 5295	. . . 4 ⊢ ((dom 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
11	8, 9, 10	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → dom 𝐹 ∈ V)
12		rlimss 15579	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ⇝_𝑟 0 → dom 𝐺 ⊆ ℝ)
13	12	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → dom 𝐺 ⊆ ℝ)
14		ssexg 5295	. . . 4 ⊢ ((dom 𝐺 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → dom 𝐺 ∈ V)
15	13, 9, 14	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → dom 𝐺 ∈ V)
16		eqid 2766	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
17		eqidd 2767	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
18		eqidd 2767	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
19	3, 6, 11, 15, 16, 17, 18	offval 7696	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → (𝐹 ∘_f · 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
20		o1bdd 15608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚))
21	1, 20	mpdan 700	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚))
22	21	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚))
23		fvexd 6903	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) ∈ V)
24	23	ralrimiva 3160	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝐺‘𝑥) ∈ V)
25		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
26		recn 11208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → 𝑚 ∈ ℂ)
27	26	ad2antll 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
28	27	abscld 15516	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (abs‘𝑚) ∈ ℝ)
29	27	absge0d 15524	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (abs‘𝑚))
30	28, 29	ge0p1rpd 13108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ⁺)
31	25, 30	rpdivcld 13095	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ⁺)
32	5	feqmptd 6956	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → 𝐺 = (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)))
33		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → 𝐺 ⇝_𝑟 0)
34	32, 33	eqbrtrrd 5140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ⇝_𝑟 0)
35	34	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ⇝_𝑟 0)
36	24, 31, 35	rlimi 15590	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
37		inss1 4192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
38		ssralv 4009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚)))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚))
40		inss2 4193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
41		ssralv 4009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
43	39, 42	anim12i 625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
44		r19.26 3128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) ↔ (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
45	43, 44	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
46		anim12 821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ((𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
47	46	ralimi 3105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
48	45, 47	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
49		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑎 ∈ ℝ)
50		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑏 ∈ ℝ)
51	37, 8	sstrid 3951	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
52	51	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
53		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
54	52, 53	sseldd 3941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ ℝ)
55		maxle 13235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 ↔ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥)))
56	49, 50, 54, 55	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 ↔ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥)))
57	56	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥)))
58	5	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
59	40	sseli 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
60	59	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
61	58, 60	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
62	61	subid1d 11576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝐺‘𝑥) − 0) = (𝐺‘𝑥))
63	62	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) = (abs‘(𝐺‘𝑥)))
64	63	breq1d 5124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ↔ (abs‘(𝐺‘𝑥)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
65	61	abscld 15516	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ)
66	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ⁺)
67	66	rpred 13078	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ)
68		ltle 11316	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((abs‘(𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺‘𝑥)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
69	65, 67, 68	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘(𝐺‘𝑥)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
70	64, 69	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
71	70	anim2d 624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
72	2	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
73	37	sseli 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
74	73	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
75	72, 74	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
76	75	abscld 15516	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
77	75	absge0d 15524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
78	76, 77	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
79		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 ∈ ℝ)
80	61	absge0d 15524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑥)))
81	65, 80	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘(𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑥))))
82		lemul12a 12091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ (((abs‘(𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑥))) ∧ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) · (abs‘(𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
83	78, 79, 81, 67, 82	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) · (abs‘(𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
84	75, 61	absmuld 15534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) = ((abs‘(𝐹‘𝑥)) · (abs‘(𝐺‘𝑥))))
85	84	breq1d 5124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑥)) · (abs‘(𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
86	79	recnd 11255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 ∈ ℂ)
87	25	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
88	87	rpcnd 13080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑦 ∈ ℂ)
89	30	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ⁺)
90	89	rpcnd 13080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℂ)
91	89	rpne0d 13083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ≠ 0)
92	86, 88, 90, 91	divassd 12044	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝑚 · 𝑦) / ((abs‘𝑚) + 1)) = (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
93		peano2re 11401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((abs‘𝑚) ∈ ℝ → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
94	28, 93	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
95	94	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
96	28	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘𝑚) ∈ ℝ)
97	79	leabsd 15492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 ≤ (abs‘𝑚))
98	96	ltp1d 12163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘𝑚) < ((abs‘𝑚) + 1))
99	79, 96, 95, 97, 98	lelttrd 11386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 < ((abs‘𝑚) + 1))
100	79, 95, 87, 99	ltmul1dd 13133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · 𝑦) < (((abs‘𝑚) + 1) · 𝑦))
101	87	rpred 13078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑦 ∈ ℝ)
102	79, 101	remulcld 11257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · 𝑦) ∈ ℝ)
103	102, 101, 89	ltdivmuld 13129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((𝑚 · 𝑦) / ((abs‘𝑚) + 1)) < 𝑦 ↔ (𝑚 · 𝑦) < (((abs‘𝑚) + 1) · 𝑦)))
104	100, 103	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝑚 · 𝑦) / ((abs‘𝑚) + 1)) < 𝑦)
105	92, 104	eqbrtrrd 5140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) < 𝑦)
106	75, 61	mulcld 11247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
107	106	abscld 15516	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ)
108	79, 67	remulcld 11257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∈ ℝ)
109		lelttr 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∧ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
110	107, 108, 101, 109	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∧ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
111	105, 110	mpan2d 707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
112	85, 111	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹‘𝑥)) · (abs‘(𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
113	71, 83, 112	3syld 61	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
114	57, 113	imim12d 82	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
115	114	anassrs 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
116	115	ralimdva 3180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
117		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
118		simplrl 789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
119	117, 118	ifcld 4539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
120	116, 119	jctild 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))))
121		breq1 5117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥))
122	121	rspceaimv 3590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
123	48, 120, 122	syl56 37	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
124	123	expcomd 422	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))))
125	124	rexlimdva 3169	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))))
126	36, 125	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
127	126	rexlimdvva 3225	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
128	22, 127	mpd 16	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
129	128	ralrimiva 3160	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
130		ffvelcdm 7083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
131	2, 73, 130	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
132		ffvelcdm 7083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
133	5, 59, 132	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
134	131, 133	mulcld 11247	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
135	134	ralrimiva 3160	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
136	135, 51	rlim0 15585	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ⇝_𝑟 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
137	129, 136	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ⇝_𝑟 0)
138	19, 137	eqbrtrd 5138	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → (𝐹 ∘_f · 𝐺) ⇝_𝑟 0)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∈ wcel 2146 ∀wral 3082 ∃wrex 3092 Vcvv 3458 ∩ cin 3907 ⊆ wss 3908 ifcif 4492 class class class wbr 5114 ↦ cmpt 5197 dom cdm 5666 ⟶wf 6539 ‘cfv 6543 (class class class)co 7423 ∘_f cof 7685 ℂcc 11116 ℝcr 11117 0cc0 11118 1c1 11119 + caddc 11121 · cmul 11123 < clt 11261 ≤ cle 11262 − cmin 11459 / cdiv 11889 ℝ⁺crp 13034 abscabs 15311 ⇝_𝑟 crli 15562 𝑂(1)co1 15563

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2738 ax-rep 5243 ax-sep 5262 ax-nul 5274 ax-pow 5341 ax-pr 5409 ax-un 7745 ax-cnex 11174 ax-resscn 11175 ax-1cn 11176 ax-icn 11177 ax-addcl 11178 ax-addrcl 11179 ax-mulcl 11180 ax-mulrcl 11181 ax-mulcom 11182 ax-addass 11183 ax-mulass 11184 ax-distr 11185 ax-i2m1 11186 ax-1ne0 11187 ax-1rid 11188 ax-rnegex 11189 ax-rrecex 11190 ax-cnre 11191 ax-pre-lttri 11192 ax-pre-lttrn 11193 ax-pre-ltadd 11194 ax-pre-mulgt0 11195 ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2570 df-eu 2600 df-clab 2745 df-cleq 2758 df-clel 2841 df-nfc 2915 df-ne 2962 df-nel 3068 df-ral 3083 df-rex 3093 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3420 df-v 3460 df-sbc 3748 df-csb 3857 df-dif 3911 df-un 3913 df-in 3915 df-ss 3925 df-pss 3928 df-nul 4290 df-if 4493 df-pw 4569 df-sn 4595 df-pr 4597 df-op 4601 df-uni 4878 df-iun 4963 df-br 5115 df-opab 5179 df-mpt 5198 df-tr 5224 df-id 5561 df-eprel 5566 df-po 5574 df-so 5575 df-fr 5619 df-we 5621 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6309 df-ord 6370 df-on 6371 df-lim 6372 df-suc 6373 df-iota 6499 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7380 df-ov 7426 df-oprab 7427 df-mpo 7428 df-of 7687 df-om 7872 df-2nd 7996 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8703 df-pm 8836 df-en 8953 df-dom 8954 df-sdom 8955 df-sup 9412 df-pnf 11263 df-mnf 11264 df-xr 11265 df-ltxr 11266 df-le 11267 df-sub 11461 df-neg 11462 df-div 11890 df-nn 12252 df-2 12321 df-3 12322 df-n0 12523 df-z 12610 df-uz 12881 df-rp 13035 df-ico 13396 df-seq 14058 df-exp 14118 df-cj 15176 df-re 15177 df-im 15178 df-sqrt 15312 df-abs 15313 df-rlim 15566 df-o1 15567

This theorem is used by: chtppilimlem2 27675 chpchtlim 27680

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