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Theorem o1rlimmul 15508
Description: The product of an eventually bounded function and a function of limit zero has limit zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
o1rlimmul ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) β‡π‘Ÿ 0)

Proof of Theorem o1rlimmul
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 π‘Ž 𝑏 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1f 15418 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑂(1) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
21adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
32ffnd 6674 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ 𝐹 Fn dom 𝐹)
4 rlimf 15390 . . . . 5 (𝐺 β‡π‘Ÿ 0 β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
54adantl 483 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
65ffnd 6674 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ 𝐺 Fn dom 𝐺)
7 o1dm 15419 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑂(1) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
87adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
9 reex 11149 . . . 4 ℝ ∈ V
10 ssexg 5285 . . . 4 ((dom 𝐹 βŠ† ℝ ∧ ℝ ∈ V) β†’ dom 𝐹 ∈ V)
118, 9, 10sylancl 587 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ dom 𝐹 ∈ V)
12 rlimss 15391 . . . . 5 (𝐺 β‡π‘Ÿ 0 β†’ dom 𝐺 βŠ† ℝ)
1312adantl 483 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ dom 𝐺 βŠ† ℝ)
14 ssexg 5285 . . . 4 ((dom 𝐺 βŠ† ℝ ∧ ℝ ∈ V) β†’ dom 𝐺 ∈ V)
1513, 9, 14sylancl 587 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ dom 𝐺 ∈ V)
16 eqid 2737 . . 3 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
17 eqidd 2738 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
18 eqidd 2738 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
193, 6, 11, 15, 16, 17, 18offval 7631 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
20 o1bdd 15420 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š))
211, 20mpdan 686 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑂(1) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š))
2221ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š))
23 fvexd 6862 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ V)
2423ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(πΊβ€˜π‘₯) ∈ V)
25 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
26 recn 11148 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ ℝ β†’ π‘š ∈ β„‚)
2726ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ π‘š ∈ β„‚)
2827abscld 15328 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ (absβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
2927absge0d 15336 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘š))
3028, 29ge0p1rpd 12994 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ ((absβ€˜π‘š) + 1) ∈ ℝ+)
3125, 30rpdivcld 12981 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)) ∈ ℝ+)
325feqmptd 6915 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
33 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0)
3432, 33eqbrtrrd 5134 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) β‡π‘Ÿ 0)
3534ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) β‡π‘Ÿ 0)
3624, 31, 35rlimi 15402 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))))
37 inss1 4193 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐹
38 ssralv 4015 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐹 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š)))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š))
40 inss2 4194 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐺
41 ssralv 4015 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐺 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))))
4339, 42anim12i 614 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))))
44 r19.26 3115 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ∧ (𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))))
4543, 44sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ∧ (𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))))
46 anim12 808 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ∧ (𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))) β†’ ((π‘Ž ≀ π‘₯ ∧ 𝑏 ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))))
4746ralimi 3087 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ∧ (𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((π‘Ž ≀ π‘₯ ∧ 𝑏 ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))))
4845, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((π‘Ž ≀ π‘₯ ∧ 𝑏 ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))))
49 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
50 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
5137, 8sstrid 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† ℝ)
5251ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† ℝ)
53 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
5452, 53sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
55 maxle 13117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ π‘₯ ↔ (π‘Ž ≀ π‘₯ ∧ 𝑏 ≀ π‘₯)))
5649, 50, 54, 55syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ π‘₯ ↔ (π‘Ž ≀ π‘₯ ∧ 𝑏 ≀ π‘₯)))
5756biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ π‘₯ β†’ (π‘Ž ≀ π‘₯ ∧ 𝑏 ≀ π‘₯)))
585ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
5940sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐺)
6059ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐺)
6158, 60ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
6261subid1d 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0) = (πΊβ€˜π‘₯))
6362fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
6463breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)) ↔ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))))
6561abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
6631adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)) ∈ ℝ+)
6766rpred 12964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)) ∈ ℝ)
68 ltle 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)) ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))))
6965, 67, 68syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))))
7064, 69sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))))
7170anim2d 613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))))
722ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
7337sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
7473ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
7572, 74ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
7675abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
7775absge0d 15336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
7876, 77jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
79 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ π‘š ∈ ℝ)
8061absge0d 15336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
8165, 80jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
82 lemul12a 12020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ (((absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ∧ (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)) ∈ ℝ)) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))))
8378, 79, 81, 67, 82syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))))
8475, 61absmuld 15346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) = ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
8584breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))))
8679recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
8725adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
8887rpcnd 12966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
8930adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((absβ€˜π‘š) + 1) ∈ ℝ+)
9089rpcnd 12966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((absβ€˜π‘š) + 1) ∈ β„‚)
9189rpne0d 12969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((absβ€˜π‘š) + 1) β‰  0)
9286, 88, 90, 91divassd 11973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((π‘š Β· 𝑦) / ((absβ€˜π‘š) + 1)) = (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))))
93 peano2re 11335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((absβ€˜π‘š) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜π‘š) + 1) ∈ ℝ)
9428, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ ((absβ€˜π‘š) + 1) ∈ ℝ)
9594adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((absβ€˜π‘š) + 1) ∈ ℝ)
9628adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (absβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
9779leabsd 15306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ π‘š ≀ (absβ€˜π‘š))
9896ltp1d 12092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (absβ€˜π‘š) < ((absβ€˜π‘š) + 1))
9979, 96, 95, 97, 98lelttrd 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ π‘š < ((absβ€˜π‘š) + 1))
10079, 95, 87, 99ltmul1dd 13019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (π‘š Β· 𝑦) < (((absβ€˜π‘š) + 1) Β· 𝑦))
10187rpred 12964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
10279, 101remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (π‘š Β· 𝑦) ∈ ℝ)
103102, 101, 89ltdivmuld 13015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (((π‘š Β· 𝑦) / ((absβ€˜π‘š) + 1)) < 𝑦 ↔ (π‘š Β· 𝑦) < (((absβ€˜π‘š) + 1) Β· 𝑦)))
104100, 103mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((π‘š Β· 𝑦) / ((absβ€˜π‘š) + 1)) < 𝑦)
10592, 104eqbrtrrd 5134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) < 𝑦)
10675, 61mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
107106abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
10879, 67remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) ∈ ℝ)
109 lelttr 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ ∧ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) ∧ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
110107, 108, 101, 109syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) ∧ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
111105, 110mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
11285, 111sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
11371, 83, 1123syld 60 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
11457, 113imim12d 81 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (((π‘Ž ≀ π‘₯ ∧ 𝑏 ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
115114anassrs 469 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (((π‘Ž ≀ π‘₯ ∧ 𝑏 ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
116115ralimdva 3165 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((π‘Ž ≀ π‘₯ ∧ 𝑏 ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
117 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
118 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
119117, 118ifcld 4537 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ∈ ℝ)
120116, 119jctild 527 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((π‘Ž ≀ π‘₯ ∧ 𝑏 ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))))
121 breq1 5113 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) β†’ (𝑧 ≀ π‘₯ ↔ if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ π‘₯))
122121rspceaimv 3588 . . . . . . . . . 10 ((if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
12348, 120, 122syl56 36 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
124123expcomd 418 . . . . . . . 8 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))))
125124rexlimdva 3153 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))))
12636, 125mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
127126rexlimdvva 3206 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
12822, 127mpd 15 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
129128ralrimiva 3144 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
130 ffvelcdm 7037 . . . . . . 7 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1312, 73, 130syl2an 597 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
132 ffvelcdm 7037 . . . . . . 7 ((𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1335, 59, 132syl2an 597 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
134131, 133mulcld 11182 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
135134ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
136135, 51rlim0 15397 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 0 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
137129, 136mpbird 257 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 0)
13819, 137eqbrtrd 5132 1 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) β‡π‘Ÿ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„+crp 12922  abscabs 15126   β‡π‘Ÿ crli 15374  π‘‚(1)co1 15375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-rlim 15378  df-o1 15379
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