o1rlimmul - Metamath Proof Explorer

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Theorem o1rlimmul 15542

Description: The product of an eventually bounded function and a function of limit zero has limit zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
o1rlimmul	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → (𝐹 ∘_f · 𝐺) ⇝_𝑟 0)

Proof of Theorem o1rlimmul Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1f 15452	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3	2	ffnd 6663	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
4		rlimf 15424	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ⇝_𝑟 0 → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
6	5	ffnd 6663	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → 𝐺 Fn dom 𝐺)
7		o1dm 15453	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
9		reex 11117	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
10		ssexg 5268	. . . 4 ⊢ ((dom 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
11	8, 9, 10	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → dom 𝐹 ∈ V)
12		rlimss 15425	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ⇝_𝑟 0 → dom 𝐺 ⊆ ℝ)
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → dom 𝐺 ⊆ ℝ)
14		ssexg 5268	. . . 4 ⊢ ((dom 𝐺 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → dom 𝐺 ∈ V)
15	13, 9, 14	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → dom 𝐺 ∈ V)
16		eqid 2736	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
17		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
18		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
19	3, 6, 11, 15, 16, 17, 18	offval 7631	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → (𝐹 ∘_f · 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
20		o1bdd 15454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚))
21	1, 20	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚))
22	21	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚))
23		fvexd 6849	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) ∈ V)
24	23	ralrimiva 3128	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝐺‘𝑥) ∈ V)
25		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
26		recn 11116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → 𝑚 ∈ ℂ)
27	26	ad2antll 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
28	27	abscld 15362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (abs‘𝑚) ∈ ℝ)
29	27	absge0d 15370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (abs‘𝑚))
30	28, 29	ge0p1rpd 12979	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ⁺)
31	25, 30	rpdivcld 12966	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ⁺)
32	5	feqmptd 6902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → 𝐺 = (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)))
33		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → 𝐺 ⇝_𝑟 0)
34	32, 33	eqbrtrrd 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ⇝_𝑟 0)
35	34	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ⇝_𝑟 0)
36	24, 31, 35	rlimi 15436	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
37		inss1 4189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
38		ssralv 4002	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚)))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚))
40		inss2 4190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
41		ssralv 4002	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
43	39, 42	anim12i 613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
44		r19.26 3096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) ↔ (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
45	43, 44	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
46		anim12 808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ((𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
47	46	ralimi 3073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
48	45, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
49		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑎 ∈ ℝ)
50		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑏 ∈ ℝ)
51	37, 8	sstrid 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
52	51	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
53		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
54	52, 53	sseldd 3934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ ℝ)
55		maxle 13106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 ↔ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥)))
56	49, 50, 54, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 ↔ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥)))
57	56	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥)))
58	5	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
59	40	sseli 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
60	59	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
61	58, 60	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
62	61	subid1d 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝐺‘𝑥) − 0) = (𝐺‘𝑥))
63	62	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) = (abs‘(𝐺‘𝑥)))
64	63	breq1d 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ↔ (abs‘(𝐺‘𝑥)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
65	61	abscld 15362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ)
66	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ⁺)
67	66	rpred 12949	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ)
68		ltle 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((abs‘(𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺‘𝑥)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
69	65, 67, 68	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘(𝐺‘𝑥)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
70	64, 69	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
71	70	anim2d 612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
72	2	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
73	37	sseli 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
74	73	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
75	72, 74	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
76	75	abscld 15362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
77	75	absge0d 15370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
78	76, 77	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
79		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 ∈ ℝ)
80	61	absge0d 15370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑥)))
81	65, 80	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘(𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑥))))
82		lemul12a 11999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ (((abs‘(𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑥))) ∧ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) · (abs‘(𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
83	78, 79, 81, 67, 82	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) · (abs‘(𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
84	75, 61	absmuld 15380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) = ((abs‘(𝐹‘𝑥)) · (abs‘(𝐺‘𝑥))))
85	84	breq1d 5108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑥)) · (abs‘(𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
86	79	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 ∈ ℂ)
87	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
88	87	rpcnd 12951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑦 ∈ ℂ)
89	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ⁺)
90	89	rpcnd 12951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℂ)
91	89	rpne0d 12954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ≠ 0)
92	86, 88, 90, 91	divassd 11952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝑚 · 𝑦) / ((abs‘𝑚) + 1)) = (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
93		peano2re 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((abs‘𝑚) ∈ ℝ → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
94	28, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
95	94	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
96	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘𝑚) ∈ ℝ)
97	79	leabsd 15338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 ≤ (abs‘𝑚))
98	96	ltp1d 12072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘𝑚) < ((abs‘𝑚) + 1))
99	79, 96, 95, 97, 98	lelttrd 11291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 < ((abs‘𝑚) + 1))
100	79, 95, 87, 99	ltmul1dd 13004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · 𝑦) < (((abs‘𝑚) + 1) · 𝑦))
101	87	rpred 12949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑦 ∈ ℝ)
102	79, 101	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · 𝑦) ∈ ℝ)
103	102, 101, 89	ltdivmuld 13000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((𝑚 · 𝑦) / ((abs‘𝑚) + 1)) < 𝑦 ↔ (𝑚 · 𝑦) < (((abs‘𝑚) + 1) · 𝑦)))
104	100, 103	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝑚 · 𝑦) / ((abs‘𝑚) + 1)) < 𝑦)
105	92, 104	eqbrtrrd 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) < 𝑦)
106	75, 61	mulcld 11152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
107	106	abscld 15362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ)
108	79, 67	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∈ ℝ)
109		lelttr 11223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∧ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
110	107, 108, 101, 109	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∧ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
111	105, 110	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
112	85, 111	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹‘𝑥)) · (abs‘(𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
113	71, 83, 112	3syld 60	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
114	57, 113	imim12d 81	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
115	114	anassrs 467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
116	115	ralimdva 3148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
117		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
118		simplrl 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
119	117, 118	ifcld 4526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
120	116, 119	jctild 525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))))
121		breq1 5101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥))
122	121	rspceaimv 3582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
123	48, 120, 122	syl56 36	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
124	123	expcomd 416	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))))
125	124	rexlimdva 3137	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))))
126	36, 125	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
127	126	rexlimdvva 3193	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
128	22, 127	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
129	128	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
130		ffvelcdm 7026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
131	2, 73, 130	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
132		ffvelcdm 7026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
133	5, 59, 132	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
134	131, 133	mulcld 11152	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
135	134	ralrimiva 3128	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
136	135, 51	rlim0 15431	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ⇝_𝑟 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
137	129, 136	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ⇝_𝑟 0)
138	19, 137	eqbrtrd 5120	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → (𝐹 ∘_f · 𝐺) ⇝_𝑟 0)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∈ wcel 2113 ∀wral 3051 ∃wrex 3060 Vcvv 3440 ∩ cin 3900 ⊆ wss 3901 ifcif 4479 class class class wbr 5098 ↦ cmpt 5179 dom cdm 5624 ⟶wf 6488 ‘cfv 6492 (class class class)co 7358 ∘_f cof 7620 ℂcc 11024 ℝcr 11025 0cc0 11026 1c1 11027 + caddc 11029 · cmul 11031 < clt 11166 ≤ cle 11167 − cmin 11364 / cdiv 11794 ℝ⁺crp 12905 abscabs 15157 ⇝_𝑟 crli 15408 𝑂(1)co1 15409

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2184 ax-ext 2708 ax-rep 5224 ax-sep 5241 ax-nul 5251 ax-pow 5310 ax-pr 5377 ax-un 7680 ax-cnex 11082 ax-resscn 11083 ax-1cn 11084 ax-icn 11085 ax-addcl 11086 ax-addrcl 11087 ax-mulcl 11088 ax-mulrcl 11089 ax-mulcom 11090 ax-addass 11091 ax-mulass 11092 ax-distr 11093 ax-i2m1 11094 ax-1ne0 11095 ax-1rid 11096 ax-rnegex 11097 ax-rrecex 11098 ax-cnre 11099 ax-pre-lttri 11100 ax-pre-lttrn 11101 ax-pre-ltadd 11102 ax-pre-mulgt0 11103 ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3350 df-reu 3351 df-rab 3400 df-v 3442 df-sbc 3741 df-csb 3850 df-dif 3904 df-un 3906 df-in 3908 df-ss 3918 df-pss 3921 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4581 df-pr 4583 df-op 4587 df-uni 4864 df-iun 4948 df-br 5099 df-opab 5161 df-mpt 5180 df-tr 5206 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-of 7622 df-om 7809 df-2nd 7934 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-er 8635 df-pm 8766 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-sup 9345 df-pnf 11168 df-mnf 11169 df-xr 11170 df-ltxr 11171 df-le 11172 df-sub 11366 df-neg 11367 df-div 11795 df-nn 12146 df-2 12208 df-3 12209 df-n0 12402 df-z 12489 df-uz 12752 df-rp 12906 df-ico 13267 df-seq 13925 df-exp 13985 df-cj 15022 df-re 15023 df-im 15024 df-sqrt 15158 df-abs 15159 df-rlim 15412 df-o1 15413

This theorem is referenced by: chtppilimlem2 27441 chpchtlim 27446

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