o1rlimmul - Metamath Proof Explorer

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Theorem o1rlimmul 14975

Description: The product of an eventually bounded function and a function of limit zero has limit zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
o1rlimmul	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → (𝐹 ∘_f · 𝐺) ⇝_𝑟 0)

Proof of Theorem o1rlimmul Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1f 14886	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2	1	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3	2	ffnd 6515	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
4		rlimf 14858	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ⇝_𝑟 0 → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
5	4	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
6	5	ffnd 6515	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → 𝐺 Fn dom 𝐺)
7		o1dm 14887	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
8	7	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
9		reex 10628	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
10		ssexg 5227	. . . 4 ⊢ ((dom 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
11	8, 9, 10	sylancl 588	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → dom 𝐹 ∈ V)
12		rlimss 14859	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ⇝_𝑟 0 → dom 𝐺 ⊆ ℝ)
13	12	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → dom 𝐺 ⊆ ℝ)
14		ssexg 5227	. . . 4 ⊢ ((dom 𝐺 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → dom 𝐺 ∈ V)
15	13, 9, 14	sylancl 588	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → dom 𝐺 ∈ V)
16		eqid 2821	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
17		eqidd 2822	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
18		eqidd 2822	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
19	3, 6, 11, 15, 16, 17, 18	offval 7416	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → (𝐹 ∘_f · 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
20		o1bdd 14888	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚))
21	1, 20	mpdan 685	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚))
22	21	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚))
23		fvexd 6685	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) ∈ V)
24	23	ralrimiva 3182	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝐺‘𝑥) ∈ V)
25		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
26		recn 10627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → 𝑚 ∈ ℂ)
27	26	ad2antll 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
28	27	abscld 14796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (abs‘𝑚) ∈ ℝ)
29	27	absge0d 14804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (abs‘𝑚))
30	28, 29	ge0p1rpd 12462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ⁺)
31	25, 30	rpdivcld 12449	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ⁺)
32	5	feqmptd 6733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → 𝐺 = (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)))
33		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → 𝐺 ⇝_𝑟 0)
34	32, 33	eqbrtrrd 5090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ⇝_𝑟 0)
35	34	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ⇝_𝑟 0)
36	24, 31, 35	rlimi 14870	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
37		inss1 4205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
38		ssralv 4033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚)))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚))
40		inss2 4206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
41		ssralv 4033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
43	39, 42	anim12i 614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
44		r19.26 3170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) ↔ (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
45	43, 44	sylibr 236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
46		anim12 807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ((𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
47	46	ralimi 3160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
48	45, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
49		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑎 ∈ ℝ)
50		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑏 ∈ ℝ)
51	37, 8	sstrid 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
52	51	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
53		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
54	52, 53	sseldd 3968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ ℝ)
55		maxle 12585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 ↔ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥)))
56	49, 50, 54, 55	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 ↔ (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥)))
57	56	biimpd 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥)))
58	5	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
59	40	sseli 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
60	59	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
61	58, 60	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
62	61	subid1d 10986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝐺‘𝑥) − 0) = (𝐺‘𝑥))
63	62	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) = (abs‘(𝐺‘𝑥)))
64	63	breq1d 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ↔ (abs‘(𝐺‘𝑥)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
65	61	abscld 14796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ)
66	31	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ⁺)
67	66	rpred 12432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ)
68		ltle 10729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((abs‘(𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺‘𝑥)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
69	65, 67, 68	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘(𝐺‘𝑥)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
70	64, 69	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) → (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
71	70	anim2d 613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
72	2	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
73	37	sseli 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
74	73	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
75	72, 74	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
76	75	abscld 14796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
77	75	absge0d 14804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
78	76, 77	jca 514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
79		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 ∈ ℝ)
80	61	absge0d 14804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑥)))
81	65, 80	jca 514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘(𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑥))))
82		lemul12a 11498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ (((abs‘(𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑥))) ∧ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) · (abs‘(𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
83	78, 79, 81, 67, 82	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) · (abs‘(𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
84	75, 61	absmuld 14814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) = ((abs‘(𝐹‘𝑥)) · (abs‘(𝐺‘𝑥))))
85	84	breq1d 5076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑥)) · (abs‘(𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
86	79	recnd 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 ∈ ℂ)
87	25	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
88	87	rpcnd 12434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑦 ∈ ℂ)
89	30	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ⁺)
90	89	rpcnd 12434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℂ)
91	89	rpne0d 12437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ≠ 0)
92	86, 88, 90, 91	divassd 11451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝑚 · 𝑦) / ((abs‘𝑚) + 1)) = (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
93		peano2re 10813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((abs‘𝑚) ∈ ℝ → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
94	28, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
95	94	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
96	28	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘𝑚) ∈ ℝ)
97	79	leabsd 14774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 ≤ (abs‘𝑚))
98	96	ltp1d 11570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘𝑚) < ((abs‘𝑚) + 1))
99	79, 96, 95, 97, 98	lelttrd 10798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 < ((abs‘𝑚) + 1))
100	79, 95, 87, 99	ltmul1dd 12487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · 𝑦) < (((abs‘𝑚) + 1) · 𝑦))
101	87	rpred 12432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑦 ∈ ℝ)
102	79, 101	remulcld 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · 𝑦) ∈ ℝ)
103	102, 101, 89	ltdivmuld 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((𝑚 · 𝑦) / ((abs‘𝑚) + 1)) < 𝑦 ↔ (𝑚 · 𝑦) < (((abs‘𝑚) + 1) · 𝑦)))
104	100, 103	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝑚 · 𝑦) / ((abs‘𝑚) + 1)) < 𝑦)
105	92, 104	eqbrtrrd 5090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) < 𝑦)
106	75, 61	mulcld 10661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
107	106	abscld 14796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ)
108	79, 67	remulcld 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∈ ℝ)
109		lelttr 10731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∧ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
110	107, 108, 101, 109	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∧ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
111	105, 110	mpan2d 692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
112	85, 111	sylbird 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹‘𝑥)) · (abs‘(𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
113	71, 83, 112	3syld 60	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
114	57, 113	imim12d 81	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
115	114	anassrs 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
116	115	ralimdva 3177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
117		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
118		simplrl 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
119	117, 118	ifcld 4512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
120	116, 119	jctild 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))))
121		breq1 5069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥))
122	121	rspceaimv 3628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
123	48, 120, 122	syl56 36	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
124	123	expcomd 419	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))))
125	124	rexlimdva 3284	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐺‘𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))))
126	36, 125	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
127	126	rexlimdvva 3294	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
128	22, 127	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
129	128	ralrimiva 3182	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦))
130		ffvelrn 6849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
131	2, 73, 130	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
132		ffvelrn 6849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
133	5, 59, 132	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
134	131, 133	mulcld 10661	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
135	134	ralrimiva 3182	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
136	135, 51	rlim0 14865	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ⇝_𝑟 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) < 𝑦)))
137	129, 136	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ⇝_𝑟 0)
138	19, 137	eqbrtrd 5088	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ⇝_𝑟 0) → (𝐹 ∘_f · 𝐺) ⇝_𝑟 0)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∈ wcel 2114 ∀wral 3138 ∃wrex 3139 Vcvv 3494 ∩ cin 3935 ⊆ wss 3936 ifcif 4467 class class class wbr 5066 ↦ cmpt 5146 dom cdm 5555 ⟶wf 6351 ‘cfv 6355 (class class class)co 7156 ∘_f cof 7407 ℂcc 10535 ℝcr 10536 0cc0 10537 1c1 10538 + caddc 10540 · cmul 10542 < clt 10675 ≤ cle 10676 − cmin 10870 / cdiv 11297 ℝ⁺crp 12390 abscabs 14593 ⇝_𝑟 crli 14842 𝑂(1)co1 14843

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2793 ax-rep 5190 ax-sep 5203 ax-nul 5210 ax-pow 5266 ax-pr 5330 ax-un 7461 ax-cnex 10593 ax-resscn 10594 ax-1cn 10595 ax-icn 10596 ax-addcl 10597 ax-addrcl 10598 ax-mulcl 10599 ax-mulrcl 10600 ax-mulcom 10601 ax-addass 10602 ax-mulass 10603 ax-distr 10604 ax-i2m1 10605 ax-1ne0 10606 ax-1rid 10607 ax-rnegex 10608 ax-rrecex 10609 ax-cnre 10610 ax-pre-lttri 10611 ax-pre-lttrn 10612 ax-pre-ltadd 10613 ax-pre-mulgt0 10614 ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rmo 3146 df-rab 3147 df-v 3496 df-sbc 3773 df-csb 3884 df-dif 3939 df-un 3941 df-in 3943 df-ss 3952 df-pss 3954 df-nul 4292 df-if 4468 df-pw 4541 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4839 df-iun 4921 df-br 5067 df-opab 5129 df-mpt 5147 df-tr 5173 df-id 5460 df-eprel 5465 df-po 5474 df-so 5475 df-fr 5514 df-we 5516 df-xp 5561 df-rel 5562 df-cnv 5563 df-co 5564 df-dm 5565 df-rn 5566 df-res 5567 df-ima 5568 df-pred 6148 df-ord 6194 df-on 6195 df-lim 6196 df-suc 6197 df-iota 6314 df-fun 6357 df-fn 6358 df-f 6359 df-f1 6360 df-fo 6361 df-f1o 6362 df-fv 6363 df-riota 7114 df-ov 7159 df-oprab 7160 df-mpo 7161 df-of 7409 df-om 7581 df-2nd 7690 df-wrecs 7947 df-recs 8008 df-rdg 8046 df-er 8289 df-pm 8409 df-en 8510 df-dom 8511 df-sdom 8512 df-sup 8906 df-pnf 10677 df-mnf 10678 df-xr 10679 df-ltxr 10680 df-le 10681 df-sub 10872 df-neg 10873 df-div 11298 df-nn 11639 df-2 11701 df-3 11702 df-n0 11899 df-z 11983 df-uz 12245 df-rp 12391 df-ico 12745 df-seq 13371 df-exp 13431 df-cj 14458 df-re 14459 df-im 14460 df-sqrt 14594 df-abs 14595 df-rlim 14846 df-o1 14847

This theorem is referenced by: chtppilimlem2 26050 chpchtlim 26055

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