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Theorem o1rlimmul 15651
Description: The product of an eventually bounded function and a function of limit zero has limit zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
o1rlimmul ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → (𝐹f · 𝐺) ⇝𝑟 0)

Proof of Theorem o1rlimmul
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1f 15561 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
21adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
32ffnd 6737 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
4 rlimf 15533 . . . . 5 (𝐺𝑟 0 → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
54adantl 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
65ffnd 6737 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → 𝐺 Fn dom 𝐺)
7 o1dm 15562 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
87adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
9 reex 11243 . . . 4 ℝ ∈ V
10 ssexg 5328 . . . 4 ((dom 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
118, 9, 10sylancl 586 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → dom 𝐹 ∈ V)
12 rlimss 15534 . . . . 5 (𝐺𝑟 0 → dom 𝐺 ⊆ ℝ)
1312adantl 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → dom 𝐺 ⊆ ℝ)
14 ssexg 5328 . . . 4 ((dom 𝐺 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → dom 𝐺 ∈ V)
1513, 9, 14sylancl 586 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → dom 𝐺 ∈ V)
16 eqid 2734 . . 3 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
17 eqidd 2735 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
18 eqidd 2735 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
193, 6, 11, 15, 16, 17, 18offval 7705 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → (𝐹f · 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
20 o1bdd 15563 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚))
211, 20mpdan 687 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚))
2221ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚))
23 fvexd 6921 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ V)
2423ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝐺𝑥) ∈ V)
25 simplr 769 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
26 recn 11242 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℝ → 𝑚 ∈ ℂ)
2726ad2antll 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
2827abscld 15471 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (abs‘𝑚) ∈ ℝ)
2927absge0d 15479 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (abs‘𝑚))
3028, 29ge0p1rpd 13104 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ+)
3125, 30rpdivcld 13091 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ+)
325feqmptd 6976 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → 𝐺 = (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)))
33 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → 𝐺𝑟 0)
3432, 33eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ⇝𝑟 0)
3534ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ⇝𝑟 0)
3624, 31, 35rlimi 15545 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
37 inss1 4244 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
38 ssralv 4063 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚)))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚))
40 inss2 4245 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
41 ssralv 4063 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
4339, 42anim12i 613 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
44 r19.26 3108 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) ↔ (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
4543, 44sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
46 anim12 809 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ((𝑎𝑥𝑏𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
4746ralimi 3080 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑥𝑏𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
4845, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑥𝑏𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
49 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑎 ∈ ℝ)
50 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑏 ∈ ℝ)
5137, 8sstrid 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
5251ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
53 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
5452, 53sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ ℝ)
55 maxle 13229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 ↔ (𝑎𝑥𝑏𝑥)))
5649, 50, 54, 55syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 ↔ (𝑎𝑥𝑏𝑥)))
5756biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (𝑎𝑥𝑏𝑥)))
585ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
5940sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
6059ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
6158, 60ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
6261subid1d 11606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝐺𝑥) − 0) = (𝐺𝑥))
6362fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) = (abs‘(𝐺𝑥)))
6463breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ↔ (abs‘(𝐺𝑥)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
6561abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
6631adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ+)
6766rpred 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ)
68 ltle 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((abs‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑥)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
6965, 67, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘(𝐺𝑥)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
7064, 69sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
7170anim2d 612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
722ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
7337sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
7473ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
7572, 74ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
7675abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
7775absge0d 15479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
7876, 77jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
79 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 ∈ ℝ)
8061absge0d 15479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑥)))
8165, 80jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑥))))
82 lemul12a 12122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ (((abs‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑥))) ∧ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ((abs‘(𝐹𝑥)) · (abs‘(𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
8378, 79, 81, 67, 82syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ((abs‘(𝐹𝑥)) · (abs‘(𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
8475, 61absmuld 15489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) = ((abs‘(𝐹𝑥)) · (abs‘(𝐺𝑥))))
8584breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ↔ ((abs‘(𝐹𝑥)) · (abs‘(𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
8679recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 ∈ ℂ)
8725adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑦 ∈ ℝ+)
8887rpcnd 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑦 ∈ ℂ)
8930adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ+)
9089rpcnd 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℂ)
9189rpne0d 13079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ≠ 0)
9286, 88, 90, 91divassd 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝑚 · 𝑦) / ((abs‘𝑚) + 1)) = (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
93 peano2re 11431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((abs‘𝑚) ∈ ℝ → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
9428, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
9628adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘𝑚) ∈ ℝ)
9779leabsd 15449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 ≤ (abs‘𝑚))
9896ltp1d 12195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘𝑚) < ((abs‘𝑚) + 1))
9979, 96, 95, 97, 98lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 < ((abs‘𝑚) + 1))
10079, 95, 87, 99ltmul1dd 13129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · 𝑦) < (((abs‘𝑚) + 1) · 𝑦))
10187rpred 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑦 ∈ ℝ)
10279, 101remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · 𝑦) ∈ ℝ)
103102, 101, 89ltdivmuld 13125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((𝑚 · 𝑦) / ((abs‘𝑚) + 1)) < 𝑦 ↔ (𝑚 · 𝑦) < (((abs‘𝑚) + 1) · 𝑦)))
104100, 103mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝑚 · 𝑦) / ((abs‘𝑚) + 1)) < 𝑦)
10592, 104eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) < 𝑦)
10675, 61mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
107106abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ ℝ)
10879, 67remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∈ ℝ)
109 lelttr 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ ℝ ∧ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∧ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
110107, 108, 101, 109syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∧ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
111105, 110mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
11285, 111sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹𝑥)) · (abs‘(𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
11371, 83, 1123syld 60 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
11457, 113imim12d 81 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((𝑎𝑥𝑏𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
115114anassrs 467 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((𝑎𝑥𝑏𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
116115ralimdva 3164 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑥𝑏𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
117 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
118 simplrl 777 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
119117, 118ifcld 4576 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
120116, 119jctild 525 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑥𝑏𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))))
121 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) → (𝑧𝑥 ↔ if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥))
122121rspceaimv 3627 . . . . . . . . . 10 ((if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
12348, 120, 122syl56 36 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
124123expcomd 416 . . . . . . . 8 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))))
125124rexlimdva 3152 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))))
12636, 125mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
127126rexlimdvva 3210 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
12822, 127mpd 15 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
129128ralrimiva 3143 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
130 ffvelcdm 7100 . . . . . . 7 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
1312, 73, 130syl2an 596 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
132 ffvelcdm 7100 . . . . . . 7 ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
1335, 59, 132syl2an 596 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
134131, 133mulcld 11278 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
135134ralrimiva 3143 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
136135, 51rlim0 15540 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
137129, 136mpbird 257 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ⇝𝑟 0)
13819, 137eqbrtrd 5169 1 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → (𝐹f · 𝐺) ⇝𝑟 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962  ifcif 4530   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  +crp 13031  abscabs 15269  𝑟 crli 15517  𝑂(1)co1 15518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ico 13389  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-rlim 15521  df-o1 15522
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