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Theorem o1rlimmul 14970
 Description: The product of an eventually bounded function and a function of limit zero has limit zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
o1rlimmul ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → (𝐹f · 𝐺) ⇝𝑟 0)

Proof of Theorem o1rlimmul
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1f 14881 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
21adantr 484 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
32ffnd 6492 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
4 rlimf 14853 . . . . 5 (𝐺𝑟 0 → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
54adantl 485 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
65ffnd 6492 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → 𝐺 Fn dom 𝐺)
7 o1dm 14882 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
87adantr 484 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
9 reex 10621 . . . 4 ℝ ∈ V
10 ssexg 5194 . . . 4 ((dom 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
118, 9, 10sylancl 589 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → dom 𝐹 ∈ V)
12 rlimss 14854 . . . . 5 (𝐺𝑟 0 → dom 𝐺 ⊆ ℝ)
1312adantl 485 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → dom 𝐺 ⊆ ℝ)
14 ssexg 5194 . . . 4 ((dom 𝐺 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → dom 𝐺 ∈ V)
1513, 9, 14sylancl 589 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → dom 𝐺 ∈ V)
16 eqid 2801 . . 3 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
17 eqidd 2802 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
18 eqidd 2802 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
193, 6, 11, 15, 16, 17, 18offval 7400 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → (𝐹f · 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
20 o1bdd 14883 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚))
211, 20mpdan 686 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚))
2221ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚))
23 fvexd 6664 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ V)
2423ralrimiva 3152 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝐺𝑥) ∈ V)
25 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
26 recn 10620 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℝ → 𝑚 ∈ ℂ)
2726ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
2827abscld 14791 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (abs‘𝑚) ∈ ℝ)
2927absge0d 14799 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (abs‘𝑚))
3028, 29ge0p1rpd 12453 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ+)
3125, 30rpdivcld 12440 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ+)
325feqmptd 6712 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → 𝐺 = (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)))
33 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → 𝐺𝑟 0)
3432, 33eqbrtrrd 5057 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ⇝𝑟 0)
3534ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ⇝𝑟 0)
3624, 31, 35rlimi 14865 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
37 inss1 4158 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
38 ssralv 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚)))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚))
40 inss2 4159 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
41 ssralv 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
4339, 42anim12i 615 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
44 r19.26 3140 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) ↔ (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
4543, 44sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
46 anim12 808 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ((𝑎𝑥𝑏𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
4746ralimi 3131 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑥𝑏𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
4845, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑥𝑏𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
49 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑎 ∈ ℝ)
50 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑏 ∈ ℝ)
5137, 8sstrid 3929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
5251ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
53 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
5452, 53sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ ℝ)
55 maxle 12576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 ↔ (𝑎𝑥𝑏𝑥)))
5649, 50, 54, 55syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 ↔ (𝑎𝑥𝑏𝑥)))
5756biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (𝑎𝑥𝑏𝑥)))
585ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
5940sseli 3914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
6059ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
6158, 60ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
6261subid1d 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝐺𝑥) − 0) = (𝐺𝑥))
6362fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) = (abs‘(𝐺𝑥)))
6463breq1d 5043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ↔ (abs‘(𝐺𝑥)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
6561abscld 14791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
6631adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ+)
6766rpred 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ)
68 ltle 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((abs‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑥)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
6965, 67, 68syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘(𝐺𝑥)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
7064, 69sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
7170anim2d 614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
722ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
7337sseli 3914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
7473ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
7572, 74ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
7675abscld 14791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
7775absge0d 14799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
7876, 77jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
79 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 ∈ ℝ)
8061absge0d 14799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑥)))
8165, 80jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑥))))
82 lemul12a 11491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ (((abs‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑥))) ∧ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ((abs‘(𝐹𝑥)) · (abs‘(𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
8378, 79, 81, 67, 82syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ((abs‘(𝐹𝑥)) · (abs‘(𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
8475, 61absmuld 14809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) = ((abs‘(𝐹𝑥)) · (abs‘(𝐺𝑥))))
8584breq1d 5043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ↔ ((abs‘(𝐹𝑥)) · (abs‘(𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
8679recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 ∈ ℂ)
8725adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑦 ∈ ℝ+)
8887rpcnd 12425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑦 ∈ ℂ)
8930adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ+)
9089rpcnd 12425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℂ)
9189rpne0d 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ≠ 0)
9286, 88, 90, 91divassd 11444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝑚 · 𝑦) / ((abs‘𝑚) + 1)) = (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
93 peano2re 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((abs‘𝑚) ∈ ℝ → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
9428, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
9594adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
9628adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘𝑚) ∈ ℝ)
9779leabsd 14769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 ≤ (abs‘𝑚))
9896ltp1d 11563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘𝑚) < ((abs‘𝑚) + 1))
9979, 96, 95, 97, 98lelttrd 10791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 < ((abs‘𝑚) + 1))
10079, 95, 87, 99ltmul1dd 12478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · 𝑦) < (((abs‘𝑚) + 1) · 𝑦))
10187rpred 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑦 ∈ ℝ)
10279, 101remulcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · 𝑦) ∈ ℝ)
103102, 101, 89ltdivmuld 12474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((𝑚 · 𝑦) / ((abs‘𝑚) + 1)) < 𝑦 ↔ (𝑚 · 𝑦) < (((abs‘𝑚) + 1) · 𝑦)))
104100, 103mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝑚 · 𝑦) / ((abs‘𝑚) + 1)) < 𝑦)
10592, 104eqbrtrrd 5057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) < 𝑦)
10675, 61mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
107106abscld 14791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ ℝ)
10879, 67remulcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∈ ℝ)
109 lelttr 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ ℝ ∧ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∧ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
110107, 108, 101, 109syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∧ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
111105, 110mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
11285, 111sylbird 263 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹𝑥)) · (abs‘(𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
11371, 83, 1123syld 60 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
11457, 113imim12d 81 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((𝑎𝑥𝑏𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
115114anassrs 471 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((𝑎𝑥𝑏𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
116115ralimdva 3147 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑥𝑏𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
117 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
118 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
119117, 118ifcld 4473 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
120116, 119jctild 529 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑥𝑏𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))))
121 breq1 5036 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) → (𝑧𝑥 ↔ if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥))
122121rspceaimv 3579 . . . . . . . . . 10 ((if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
12348, 120, 122syl56 36 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
124123expcomd 420 . . . . . . . 8 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))))
125124rexlimdva 3246 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))))
12636, 125mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
127126rexlimdvva 3256 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
12822, 127mpd 15 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
129128ralrimiva 3152 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
130 ffvelrn 6830 . . . . . . 7 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
1312, 73, 130syl2an 598 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
132 ffvelrn 6830 . . . . . . 7 ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
1335, 59, 132syl2an 598 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
134131, 133mulcld 10654 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
135134ralrimiva 3152 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
136135, 51rlim0 14860 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
137129, 136mpbird 260 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ⇝𝑟 0)
13819, 137eqbrtrd 5055 1 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → (𝐹f · 𝐺) ⇝𝑟 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  Vcvv 3444   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ifcif 4428   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  dom cdm 5523  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∘f cof 7391  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863   / cdiv 11290  ℝ+crp 12381  abscabs 14588   ⇝𝑟 crli 14837  𝑂(1)co1 14838 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ico 12736  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-rlim 14841  df-o1 14842 This theorem is referenced by:  chtppilimlem2  26061  chpchtlim  26066
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