MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1rlimmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1rlimmul 15559
Description: The product of an eventually bounded function and a function of limit zero has limit zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
o1rlimmul ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) β‡π‘Ÿ 0)

Proof of Theorem o1rlimmul
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 π‘Ž 𝑏 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1f 15469 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑂(1) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
21adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
32ffnd 6715 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ 𝐹 Fn dom 𝐹)
4 rlimf 15441 . . . . 5 (𝐺 β‡π‘Ÿ 0 β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
54adantl 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
65ffnd 6715 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ 𝐺 Fn dom 𝐺)
7 o1dm 15470 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑂(1) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
87adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
9 reex 11197 . . . 4 ℝ ∈ V
10 ssexg 5322 . . . 4 ((dom 𝐹 βŠ† ℝ ∧ ℝ ∈ V) β†’ dom 𝐹 ∈ V)
118, 9, 10sylancl 586 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ dom 𝐹 ∈ V)
12 rlimss 15442 . . . . 5 (𝐺 β‡π‘Ÿ 0 β†’ dom 𝐺 βŠ† ℝ)
1312adantl 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ dom 𝐺 βŠ† ℝ)
14 ssexg 5322 . . . 4 ((dom 𝐺 βŠ† ℝ ∧ ℝ ∈ V) β†’ dom 𝐺 ∈ V)
1513, 9, 14sylancl 586 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ dom 𝐺 ∈ V)
16 eqid 2732 . . 3 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
17 eqidd 2733 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
18 eqidd 2733 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
193, 6, 11, 15, 16, 17, 18offval 7675 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
20 o1bdd 15471 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š))
211, 20mpdan 685 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑂(1) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š))
2221ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š))
23 fvexd 6903 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ V)
2423ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(πΊβ€˜π‘₯) ∈ V)
25 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
26 recn 11196 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ ℝ β†’ π‘š ∈ β„‚)
2726ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ π‘š ∈ β„‚)
2827abscld 15379 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ (absβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
2927absge0d 15387 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘š))
3028, 29ge0p1rpd 13042 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ ((absβ€˜π‘š) + 1) ∈ ℝ+)
3125, 30rpdivcld 13029 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)) ∈ ℝ+)
325feqmptd 6957 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
33 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0)
3432, 33eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) β‡π‘Ÿ 0)
3534ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) β‡π‘Ÿ 0)
3624, 31, 35rlimi 15453 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))))
37 inss1 4227 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐹
38 ssralv 4049 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐹 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š)))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š))
40 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐺
41 ssralv 4049 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐺 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))))
4339, 42anim12i 613 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))))
44 r19.26 3111 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ∧ (𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))))
4543, 44sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ∧ (𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))))
46 anim12 807 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ∧ (𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))) β†’ ((π‘Ž ≀ π‘₯ ∧ 𝑏 ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))))
4746ralimi 3083 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ∧ (𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((π‘Ž ≀ π‘₯ ∧ 𝑏 ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))))
4845, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((π‘Ž ≀ π‘₯ ∧ 𝑏 ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))))
49 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
50 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
5137, 8sstrid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† ℝ)
5251ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† ℝ)
53 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
5452, 53sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
55 maxle 13166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ π‘₯ ↔ (π‘Ž ≀ π‘₯ ∧ 𝑏 ≀ π‘₯)))
5649, 50, 54, 55syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ π‘₯ ↔ (π‘Ž ≀ π‘₯ ∧ 𝑏 ≀ π‘₯)))
5756biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ π‘₯ β†’ (π‘Ž ≀ π‘₯ ∧ 𝑏 ≀ π‘₯)))
585ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
5940sseli 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐺)
6059ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐺)
6158, 60ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
6261subid1d 11556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0) = (πΊβ€˜π‘₯))
6362fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
6463breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)) ↔ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))))
6561abscld 15379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
6631adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)) ∈ ℝ+)
6766rpred 13012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)) ∈ ℝ)
68 ltle 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)) ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))))
6965, 67, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))))
7064, 69sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))))
7170anim2d 612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))))
722ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
7337sseli 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
7473ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
7572, 74ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
7675abscld 15379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
7775absge0d 15387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
7876, 77jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
79 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ π‘š ∈ ℝ)
8061absge0d 15387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
8165, 80jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
82 lemul12a 12068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ (((absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ∧ (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)) ∈ ℝ)) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))))
8378, 79, 81, 67, 82syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ≀ (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))))
8475, 61absmuld 15397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) = ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
8584breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))))
8679recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
8725adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
8887rpcnd 13014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
8930adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((absβ€˜π‘š) + 1) ∈ ℝ+)
9089rpcnd 13014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((absβ€˜π‘š) + 1) ∈ β„‚)
9189rpne0d 13017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((absβ€˜π‘š) + 1) β‰  0)
9286, 88, 90, 91divassd 12021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((π‘š Β· 𝑦) / ((absβ€˜π‘š) + 1)) = (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))))
93 peano2re 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((absβ€˜π‘š) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜π‘š) + 1) ∈ ℝ)
9428, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ ((absβ€˜π‘š) + 1) ∈ ℝ)
9594adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((absβ€˜π‘š) + 1) ∈ ℝ)
9628adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (absβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
9779leabsd 15357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ π‘š ≀ (absβ€˜π‘š))
9896ltp1d 12140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (absβ€˜π‘š) < ((absβ€˜π‘š) + 1))
9979, 96, 95, 97, 98lelttrd 11368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ π‘š < ((absβ€˜π‘š) + 1))
10079, 95, 87, 99ltmul1dd 13067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (π‘š Β· 𝑦) < (((absβ€˜π‘š) + 1) Β· 𝑦))
10187rpred 13012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
10279, 101remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (π‘š Β· 𝑦) ∈ ℝ)
103102, 101, 89ltdivmuld 13063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (((π‘š Β· 𝑦) / ((absβ€˜π‘š) + 1)) < 𝑦 ↔ (π‘š Β· 𝑦) < (((absβ€˜π‘š) + 1) Β· 𝑦)))
104100, 103mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((π‘š Β· 𝑦) / ((absβ€˜π‘š) + 1)) < 𝑦)
10592, 104eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) < 𝑦)
10675, 61mulcld 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
107106abscld 15379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
10879, 67remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) ∈ ℝ)
109 lelttr 11300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ ∧ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) ∧ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
110107, 108, 101, 109syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) ∧ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
111105, 110mpan2d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ≀ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
11285, 111sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ (π‘š Β· (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
11371, 83, 1123syld 60 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
11457, 113imim12d 81 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) β†’ (((π‘Ž ≀ π‘₯ ∧ 𝑏 ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
115114anassrs 468 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (((π‘Ž ≀ π‘₯ ∧ 𝑏 ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
116115ralimdva 3167 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((π‘Ž ≀ π‘₯ ∧ 𝑏 ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
117 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
118 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
119117, 118ifcld 4573 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ∈ ℝ)
120116, 119jctild 526 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((π‘Ž ≀ π‘₯ ∧ 𝑏 ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))))
121 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) β†’ (𝑧 ≀ π‘₯ ↔ if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ π‘₯))
122121rspceaimv 3616 . . . . . . . . . 10 ((if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
12348, 120, 122syl56 36 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
124123expcomd 417 . . . . . . . 8 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))))
125124rexlimdva 3155 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ 0)) < (𝑦 / ((absβ€˜π‘š) + 1))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))))
12636, 125mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
127126rexlimdvva 3211 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
12822, 127mpd 15 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
129128ralrimiva 3146 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦))
130 ffvelcdm 7080 . . . . . . 7 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1312, 73, 130syl2an 596 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
132 ffvelcdm 7080 . . . . . . 7 ((𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1335, 59, 132syl2an 596 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
134131, 133mulcld 11230 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
135134ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
136135, 51rlim0 15448 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 0 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) < 𝑦)))
137129, 136mpbird 256 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 0)
13819, 137eqbrtrd 5169 1 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 0) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) β‡π‘Ÿ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„+crp 12970  abscabs 15177   β‡π‘Ÿ crli 15425  π‘‚(1)co1 15426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-rlim 15429  df-o1 15430
This theorem is referenced by:  chtppilimlem2  26966  chpchtlim  26971
  Copyright terms: Public domain W3C validator