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Theorem o1of2 15649
Description: Show that a binary operation preserves eventual boundedness. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1of2.1 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
o1of2.2 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ ℂ)
o1of2.3 (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
Assertion
Ref Expression
o1of2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝐹   𝑚,𝐺,𝑛,𝑥,𝑦   𝑅,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem o1of2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1f 15565 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2 o1bdd 15567 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
31, 2mpdan 687 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
43adantr 480 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
5 o1f 15565 . . . 4 (𝐺 ∈ 𝑂(1) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
6 o1bdd 15567 . . . 4 ((𝐺 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
75, 6mpdan 687 . . 3 (𝐺 ∈ 𝑂(1) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
87adantl 481 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
9 reeanv 3229 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) ↔ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
10 reeanv 3229 . . . . 5 (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) ↔ (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
11 inss1 4237 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
12 ssralv 4052 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚)))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
14 inss2 4238 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
15 ssralv 4052 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → (∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
1713, 16anim12i 613 . . . . . . . 8 ((∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
18 r19.26 3111 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) ↔ (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
1917, 18sylibr 234 . . . . . . 7 ((∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
20 anim12 809 . . . . . . . . . 10 (((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → ((𝑎𝑧𝑏𝑧) → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
21 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 𝑎 ∈ ℝ)
23 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝑏 ∈ ℝ)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 𝑏 ∈ ℝ)
25 o1dm 15566 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
2625ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
2711, 26sstrid 3995 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
2827sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 𝑧 ∈ ℝ)
29 maxle 13233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 ↔ (𝑎𝑧𝑏𝑧)))
3022, 24, 28, 29syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 ↔ (𝑎𝑧𝑏𝑧)))
3130biimpd 229 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (𝑎𝑧𝑏𝑧)))
321ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3311sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑧 ∈ dom 𝐹)
34 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
3532, 33, 34syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
365ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
3714sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑧 ∈ dom 𝐺)
38 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
3936, 37, 38syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
40 o1of2.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
4140ralrimivva 3202 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
4241ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
43 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝐹𝑧) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑧)))
4443breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐹𝑧) → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
4544anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐹𝑧) → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) ↔ ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)))
46 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐹𝑧) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) = (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)))
4746breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐹𝑧) → ((abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
4845, 47imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐹𝑧) → ((((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀) ↔ (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) ≤ 𝑀)))
49 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (abs‘𝑦) = (abs‘(𝐺𝑧)))
5049breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((abs‘𝑦) ≤ 𝑛 ↔ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
5150anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) ↔ ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
52 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((𝐹𝑧)𝑅𝑦) = ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)))
5352fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) = (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))))
5453breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀))
5551, 54imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) ≤ 𝑀) ↔ (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀)))
5648, 55rspc2va 3634 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀)) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀))
5735, 39, 42, 56syl21anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀))
5832ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
5936ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐺 Fn dom 𝐺)
60 reex 11246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ∈ V
61 ssexg 5323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
6226, 60, 61sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → dom 𝐹 ∈ V)
63 dmexg 7923 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐺 ∈ V)
6463ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → dom 𝐺 ∈ V)
65 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
66 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
67 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
6858, 59, 62, 64, 65, 66, 67ofval 7708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧) = ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)))
6968fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) = (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))))
7069breq1d 5153 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀))
7157, 70sylibrd 259 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀))
7231, 71imim12d 81 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((𝑎𝑧𝑏𝑧) → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀)))
7320, 72syl5 34 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀)))
7473ralimdva 3167 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀)))
75 o1of2.2 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ ℂ)
7675adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ ℂ)
7776, 32, 36, 62, 64, 65off 7715 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (𝐹f 𝑅𝐺):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℂ)
7823, 21ifcld 4572 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
79 o1of2.1 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
8079adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
81 elo12r 15564 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹f 𝑅𝐺):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℂ ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ) ∧ (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1))
82813expia 1122 . . . . . . . . 9 ((((𝐹f 𝑅𝐺):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℂ ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ) ∧ (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8377, 27, 78, 80, 82syl22anc 839 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8474, 83syld 47 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8519, 84syl5 34 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → ((∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8685rexlimdvva 3213 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8710, 86biimtrrid 243 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → ((∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8887rexlimdvva 3213 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
899, 88biimtrrid 243 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → ((∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
904, 8, 89mp2and 699 1 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11153  cr 11154  cle 11296  abscabs 15273  𝑂(1)co1 15522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ico 13393  df-o1 15526
This theorem is referenced by:  o1add  15650  o1mul  15651  o1sub  15652
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