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Theorem o1of2 15174
Description: Show that a binary operation preserves eventual boundedness. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1of2.1 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
o1of2.2 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ ℂ)
o1of2.3 (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
Assertion
Ref Expression
o1of2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝐹   𝑚,𝐺,𝑛,𝑥,𝑦   𝑅,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem o1of2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1f 15090 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2 o1bdd 15092 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
31, 2mpdan 687 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
43adantr 484 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
5 o1f 15090 . . . 4 (𝐺 ∈ 𝑂(1) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
6 o1bdd 15092 . . . 4 ((𝐺 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
75, 6mpdan 687 . . 3 (𝐺 ∈ 𝑂(1) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
87adantl 485 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
9 reeanv 3279 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) ↔ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
10 reeanv 3279 . . . . 5 (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) ↔ (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
11 inss1 4143 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
12 ssralv 3967 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚)))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
14 inss2 4144 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
15 ssralv 3967 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → (∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
1713, 16anim12i 616 . . . . . . . 8 ((∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
18 r19.26 3092 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) ↔ (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
1917, 18sylibr 237 . . . . . . 7 ((∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
20 anim12 809 . . . . . . . . . 10 (((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → ((𝑎𝑧𝑏𝑧) → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
21 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
2221adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 𝑎 ∈ ℝ)
23 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝑏 ∈ ℝ)
2423adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 𝑏 ∈ ℝ)
25 o1dm 15091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
2625ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
2711, 26sstrid 3912 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
2827sselda 3901 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 𝑧 ∈ ℝ)
29 maxle 12781 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 ↔ (𝑎𝑧𝑏𝑧)))
3022, 24, 28, 29syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 ↔ (𝑎𝑧𝑏𝑧)))
3130biimpd 232 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (𝑎𝑧𝑏𝑧)))
321ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3311sseli 3896 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑧 ∈ dom 𝐹)
34 ffvelrn 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
3532, 33, 34syl2an 599 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
365ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
3714sseli 3896 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑧 ∈ dom 𝐺)
38 ffvelrn 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
3936, 37, 38syl2an 599 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
40 o1of2.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
4140ralrimivva 3112 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
4241ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
43 fveq2 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝐹𝑧) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑧)))
4443breq1d 5063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐹𝑧) → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
4544anbi1d 633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐹𝑧) → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) ↔ ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)))
46 fvoveq1 7236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐹𝑧) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) = (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)))
4746breq1d 5063 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐹𝑧) → ((abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
4845, 47imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐹𝑧) → ((((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀) ↔ (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) ≤ 𝑀)))
49 fveq2 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (abs‘𝑦) = (abs‘(𝐺𝑧)))
5049breq1d 5063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((abs‘𝑦) ≤ 𝑛 ↔ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
5150anbi2d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) ↔ ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
52 oveq2 7221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((𝐹𝑧)𝑅𝑦) = ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)))
5352fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) = (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))))
5453breq1d 5063 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀))
5551, 54imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) ≤ 𝑀) ↔ (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀)))
5648, 55rspc2va 3548 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀)) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀))
5735, 39, 42, 56syl21anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀))
5832ffnd 6546 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
5936ffnd 6546 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐺 Fn dom 𝐺)
60 reex 10820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ∈ V
61 ssexg 5216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
6226, 60, 61sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → dom 𝐹 ∈ V)
63 dmexg 7681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐺 ∈ V)
6463ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → dom 𝐺 ∈ V)
65 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
66 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
67 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
6858, 59, 62, 64, 65, 66, 67ofval 7479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧) = ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)))
6968fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) = (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))))
7069breq1d 5063 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀))
7157, 70sylibrd 262 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀))
7231, 71imim12d 81 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((𝑎𝑧𝑏𝑧) → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀)))
7320, 72syl5 34 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀)))
7473ralimdva 3100 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀)))
75 o1of2.2 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ ℂ)
7675adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ ℂ)
7776, 32, 36, 62, 64, 65off 7486 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (𝐹f 𝑅𝐺):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℂ)
7823, 21ifcld 4485 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
79 o1of2.1 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
8079adantl 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
81 elo12r 15089 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹f 𝑅𝐺):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℂ ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ) ∧ (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1))
82813expia 1123 . . . . . . . . 9 ((((𝐹f 𝑅𝐺):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℂ ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ) ∧ (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8377, 27, 78, 80, 82syl22anc 839 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8474, 83syld 47 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8519, 84syl5 34 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → ((∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8685rexlimdvva 3213 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8710, 86syl5bir 246 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → ((∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8887rexlimdvva 3213 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
899, 88syl5bir 246 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → ((∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
904, 8, 89mp2and 699 1 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3408  cin 3865  wss 3866  ifcif 4439   class class class wbr 5053  dom cdm 5551  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  f cof 7467  cc 10727  cr 10728  cle 10868  abscabs 14797  𝑂(1)co1 15047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-er 8391  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-ico 12941  df-o1 15051
This theorem is referenced by:  o1add  15175  o1mul  15176  o1sub  15177
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