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Theorem o1of2 15501
Description: Show that a binary operation preserves eventual boundedness. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1of2.1 ((π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
o1of2.2 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯𝑅𝑦) ∈ β„‚)
o1of2.3 (((π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (((absβ€˜π‘₯) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜(π‘₯𝑅𝑦)) ≀ 𝑀))
Assertion
Ref Expression
o1of2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦,𝐹   π‘š,𝐺,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑅,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑀,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘š,𝑛)

Proof of Theorem o1of2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1f 15417 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑂(1) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
2 o1bdd 15419 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š))
31, 2mpdan 686 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑂(1) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š))
43adantr 482 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š))
5 o1f 15417 . . . 4 (𝐺 ∈ 𝑂(1) β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
6 o1bdd 15419 . . . 4 ((𝐺 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛))
75, 6mpdan 686 . . 3 (𝐺 ∈ 𝑂(1) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛))
87adantl 483 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛))
9 reeanv 3216 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ (βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)))
10 reeanv 3216 . . . . 5 (βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ (βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) ↔ (βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)))
11 inss1 4189 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐹
12 ssralv 4011 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐹 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š)))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š))
14 inss2 4190 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐺
15 ssralv 4011 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐺 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛))
1713, 16anim12i 614 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)))
18 r19.26 3111 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ (𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)))
1917, 18sylibr 233 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ (𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)))
20 anim12 808 . . . . . . . . . 10 (((π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ (𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ ((π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑏 ≀ 𝑧) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)))
21 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
2221adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
23 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
2423adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
25 o1dm 15418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ 𝑂(1) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
2625ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
2711, 26sstrid 3956 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† ℝ)
2827sselda 3945 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
29 maxle 13116 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ 𝑧 ↔ (π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑏 ≀ 𝑧)))
3022, 24, 28, 29syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ 𝑧 ↔ (π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑏 ≀ 𝑧)))
3130biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ 𝑧 β†’ (π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑏 ≀ 𝑧)))
321ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
3311sseli 3941 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ 𝑧 ∈ dom 𝐹)
34 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
3532, 33, 34syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
365ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
3714sseli 3941 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ 𝑧 ∈ dom 𝐺)
38 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
3936, 37, 38syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
40 o1of2.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (((absβ€˜π‘₯) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜(π‘₯𝑅𝑦)) ≀ 𝑀))
4140ralrimivva 3194 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ (((absβ€˜π‘₯) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜(π‘₯𝑅𝑦)) ≀ 𝑀))
4241ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ (((absβ€˜π‘₯) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜(π‘₯𝑅𝑦)) ≀ 𝑀))
43 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (absβ€˜π‘₯) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
4443breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ≀ π‘š ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š))
4544anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (((absβ€˜π‘₯) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛)))
46 fvoveq1 7381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (absβ€˜(π‘₯𝑅𝑦)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅𝑦)))
4746breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((absβ€˜(π‘₯𝑅𝑦)) ≀ 𝑀 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅𝑦)) ≀ 𝑀))
4845, 47imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((((absβ€˜π‘₯) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜(π‘₯𝑅𝑦)) ≀ 𝑀) ↔ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅𝑦)) ≀ 𝑀)))
49 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (absβ€˜π‘¦) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
5049breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛 ↔ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛))
5150anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)))
52 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝑅𝑦) = ((πΉβ€˜π‘§)𝑅(πΊβ€˜π‘§)))
5352fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅𝑦)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅(πΊβ€˜π‘§))))
5453breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅𝑦)) ≀ 𝑀 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅(πΊβ€˜π‘§))) ≀ 𝑀))
5551, 54imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅𝑦)) ≀ 𝑀) ↔ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅(πΊβ€˜π‘§))) ≀ 𝑀)))
5648, 55rspc2va 3590 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ (((absβ€˜π‘₯) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜(π‘₯𝑅𝑦)) ≀ 𝑀)) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅(πΊβ€˜π‘§))) ≀ 𝑀))
5735, 39, 42, 56syl21anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅(πΊβ€˜π‘§))) ≀ 𝑀))
5832ffnd 6670 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ 𝐹 Fn dom 𝐹)
5936ffnd 6670 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ 𝐺 Fn dom 𝐺)
60 reex 11147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ∈ V
61 ssexg 5281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom 𝐹 βŠ† ℝ ∧ ℝ ∈ V) β†’ dom 𝐹 ∈ V)
6226, 60, 61sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ dom 𝐹 ∈ V)
63 dmexg 7841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ 𝑂(1) β†’ dom 𝐺 ∈ V)
6463ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ dom 𝐺 ∈ V)
65 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
66 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
67 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
6858, 59, 62, 64, 65, 66, 67ofval 7629 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§)𝑅(πΊβ€˜π‘§)))
6968fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)β€˜π‘§)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅(πΊβ€˜π‘§))))
7069breq1d 5116 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ ((absβ€˜((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)β€˜π‘§)) ≀ 𝑀 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅(πΊβ€˜π‘§))) ≀ 𝑀))
7157, 70sylibrd 259 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)β€˜π‘§)) ≀ 𝑀))
7231, 71imim12d 81 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (((π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑏 ≀ 𝑧) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)β€˜π‘§)) ≀ 𝑀)))
7320, 72syl5 34 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (((π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ (𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)β€˜π‘§)) ≀ 𝑀)))
7473ralimdva 3161 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ (𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)β€˜π‘§)) ≀ 𝑀)))
75 o1of2.2 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯𝑅𝑦) ∈ β„‚)
7675adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯𝑅𝑦) ∈ β„‚)
7776, 32, 36, 62, 64, 65off 7636 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)βŸΆβ„‚)
7823, 21ifcld 4533 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ∈ ℝ)
79 o1of2.1 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
8079adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
81 elo12r 15416 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∘f 𝑅𝐺):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)βŸΆβ„‚ ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† ℝ) ∧ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)β€˜π‘§)) ≀ 𝑀)) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1))
82813expia 1122 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∘f 𝑅𝐺):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)βŸΆβ„‚ ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† ℝ) ∧ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)β€˜π‘§)) ≀ 𝑀) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8377, 27, 78, 80, 82syl22anc 838 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)β€˜π‘§)) ≀ 𝑀) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8474, 83syld 47 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ (𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8519, 84syl5 34 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8685rexlimdvva 3202 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ (βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8710, 86biimtrrid 242 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) β†’ ((βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8887rexlimdvva 3202 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ (βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
899, 88biimtrrid 242 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) β†’ ((βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
904, 8, 89mp2and 698 1 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  ifcif 4487   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616  β„‚cc 11054  β„cr 11055   ≀ cle 11195  abscabs 15125  π‘‚(1)co1 15374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-ico 13276  df-o1 15378
This theorem is referenced by:  o1add  15502  o1mul  15503  o1sub  15504
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