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Theorem o1of2 14628
Description: Show that a binary operation preserves eventual boundedness. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1of2.1 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
o1of2.2 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ ℂ)
o1of2.3 (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
Assertion
Ref Expression
o1of2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝐹   𝑚,𝐺,𝑛,𝑥,𝑦   𝑅,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem o1of2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1f 14545 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2 o1bdd 14547 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
31, 2mpdan 678 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
43adantr 472 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
5 o1f 14545 . . . 4 (𝐺 ∈ 𝑂(1) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
6 o1bdd 14547 . . . 4 ((𝐺 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
75, 6mpdan 678 . . 3 (𝐺 ∈ 𝑂(1) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
87adantl 473 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
9 reeanv 3254 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) ↔ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
10 reeanv 3254 . . . . 5 (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) ↔ (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
11 inss1 3992 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
12 ssralv 3826 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚)))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
14 inss2 3993 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
15 ssralv 3826 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → (∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
1713, 16anim12i 606 . . . . . . . 8 ((∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
18 r19.26 3211 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) ↔ (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
1917, 18sylibr 225 . . . . . . 7 ((∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
20 prth 843 . . . . . . . . . 10 (((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → ((𝑎𝑧𝑏𝑧) → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
21 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
2221adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 𝑎 ∈ ℝ)
23 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝑏 ∈ ℝ)
2423adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 𝑏 ∈ ℝ)
25 o1dm 14546 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
2625ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
2711, 26syl5ss 3772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
2827sselda 3761 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 𝑧 ∈ ℝ)
29 maxle 12224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 ↔ (𝑎𝑧𝑏𝑧)))
3022, 24, 28, 29syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 ↔ (𝑎𝑧𝑏𝑧)))
3130biimpd 220 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (𝑎𝑧𝑏𝑧)))
321ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3311sseli 3757 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑧 ∈ dom 𝐹)
34 ffvelrn 6547 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
3532, 33, 34syl2an 589 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
365ad3antlr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
3714sseli 3757 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑧 ∈ dom 𝐺)
38 ffvelrn 6547 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
3936, 37, 38syl2an 589 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
40 o1of2.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
4140ralrimivva 3118 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
4241ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
43 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝐹𝑧) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑧)))
4443breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐹𝑧) → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
4544anbi1d 623 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐹𝑧) → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) ↔ ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)))
46 fvoveq1 6865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐹𝑧) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) = (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)))
4746breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐹𝑧) → ((abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
4845, 47imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐹𝑧) → ((((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀) ↔ (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) ≤ 𝑀)))
49 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (abs‘𝑦) = (abs‘(𝐺𝑧)))
5049breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((abs‘𝑦) ≤ 𝑛 ↔ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
5150anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) ↔ ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
52 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((𝐹𝑧)𝑅𝑦) = ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)))
5352fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) = (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))))
5453breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀))
5551, 54imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) ≤ 𝑀) ↔ (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀)))
5648, 55rspc2va 3475 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀)) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀))
5735, 39, 42, 56syl21anc 866 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀))
5832ffnd 6224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
5936ffnd 6224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐺 Fn dom 𝐺)
60 reex 10280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ∈ V
61 ssexg 4965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
6226, 60, 61sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → dom 𝐹 ∈ V)
63 dmexg 7295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐺 ∈ V)
6463ad3antlr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → dom 𝐺 ∈ V)
65 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
66 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
67 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
6858, 59, 62, 64, 65, 66, 67ofval 7104 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐺)‘𝑧) = ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)))
6968fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘((𝐹𝑓 𝑅𝐺)‘𝑧)) = (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))))
7069breq1d 4819 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((abs‘((𝐹𝑓 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀))
7157, 70sylibrd 250 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑓 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀))
7231, 71imim12d 81 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((𝑎𝑧𝑏𝑧) → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑓 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀)))
7320, 72syl5 34 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑓 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀)))
7473ralimdva 3109 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑓 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀)))
75 o1of2.2 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ ℂ)
7675adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ ℂ)
7776, 32, 36, 62, 64, 65off 7110 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℂ)
7823, 21ifcld 4288 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
79 o1of2.1 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
8079adantl 473 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
81 elo12r 14544 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝑓 𝑅𝐺):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℂ ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ) ∧ (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑓 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀)) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1))
82813expia 1150 . . . . . . . . 9 ((((𝐹𝑓 𝑅𝐺):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℂ ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ) ∧ (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑓 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8377, 27, 78, 80, 82syl22anc 867 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑓 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8474, 83syld 47 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8519, 84syl5 34 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → ((∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8685rexlimdvva 3185 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8710, 86syl5bir 234 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → ((∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8887rexlimdvva 3185 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
899, 88syl5bir 234 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → ((∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
904, 8, 89mp2and 690 1 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  cin 3731  wss 3732  ifcif 4243   class class class wbr 4809  dom cdm 5277  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑓 cof 7093  cc 10187  cr 10188  cle 10329  abscabs 14259  𝑂(1)co1 14502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-er 7947  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-ico 12383  df-o1 14506
This theorem is referenced by:  o1add  14629  o1mul  14630  o1sub  14631
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