MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1of2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1of2 15556
Description: Show that a binary operation preserves eventual boundedness. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1of2.1 ((π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
o1of2.2 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯𝑅𝑦) ∈ β„‚)
o1of2.3 (((π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (((absβ€˜π‘₯) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜(π‘₯𝑅𝑦)) ≀ 𝑀))
Assertion
Ref Expression
o1of2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦,𝐹   π‘š,𝐺,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑅,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑀,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘š,𝑛)

Proof of Theorem o1of2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1f 15472 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑂(1) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
2 o1bdd 15474 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š))
31, 2mpdan 685 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑂(1) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š))
43adantr 481 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š))
5 o1f 15472 . . . 4 (𝐺 ∈ 𝑂(1) β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
6 o1bdd 15474 . . . 4 ((𝐺 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛))
75, 6mpdan 685 . . 3 (𝐺 ∈ 𝑂(1) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛))
87adantl 482 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛))
9 reeanv 3226 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ (βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)))
10 reeanv 3226 . . . . 5 (βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ (βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) ↔ (βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)))
11 inss1 4228 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐹
12 ssralv 4050 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐹 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š)))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š))
14 inss2 4229 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐺
15 ssralv 4050 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐺 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛))
1713, 16anim12i 613 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)))
18 r19.26 3111 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ (𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)))
1917, 18sylibr 233 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ (𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)))
20 anim12 807 . . . . . . . . . 10 (((π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ (𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ ((π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑏 ≀ 𝑧) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)))
21 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
23 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
25 o1dm 15473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ 𝑂(1) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
2625ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
2711, 26sstrid 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† ℝ)
2827sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
29 maxle 13169 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ 𝑧 ↔ (π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑏 ≀ 𝑧)))
3022, 24, 28, 29syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ 𝑧 ↔ (π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑏 ≀ 𝑧)))
3130biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ 𝑧 β†’ (π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑏 ≀ 𝑧)))
321ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
3311sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ 𝑧 ∈ dom 𝐹)
34 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
3532, 33, 34syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
365ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
3714sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ 𝑧 ∈ dom 𝐺)
38 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
3936, 37, 38syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
40 o1of2.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (((absβ€˜π‘₯) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜(π‘₯𝑅𝑦)) ≀ 𝑀))
4140ralrimivva 3200 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ (((absβ€˜π‘₯) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜(π‘₯𝑅𝑦)) ≀ 𝑀))
4241ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ (((absβ€˜π‘₯) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜(π‘₯𝑅𝑦)) ≀ 𝑀))
43 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (absβ€˜π‘₯) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
4443breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ≀ π‘š ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š))
4544anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (((absβ€˜π‘₯) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛)))
46 fvoveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (absβ€˜(π‘₯𝑅𝑦)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅𝑦)))
4746breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((absβ€˜(π‘₯𝑅𝑦)) ≀ 𝑀 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅𝑦)) ≀ 𝑀))
4845, 47imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((((absβ€˜π‘₯) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜(π‘₯𝑅𝑦)) ≀ 𝑀) ↔ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅𝑦)) ≀ 𝑀)))
49 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (absβ€˜π‘¦) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
5049breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛 ↔ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛))
5150anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)))
52 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)𝑅𝑦) = ((πΉβ€˜π‘§)𝑅(πΊβ€˜π‘§)))
5352fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅𝑦)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅(πΊβ€˜π‘§))))
5453breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅𝑦)) ≀ 𝑀 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅(πΊβ€˜π‘§))) ≀ 𝑀))
5551, 54imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅𝑦)) ≀ 𝑀) ↔ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅(πΊβ€˜π‘§))) ≀ 𝑀)))
5648, 55rspc2va 3623 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ (((absβ€˜π‘₯) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜(π‘₯𝑅𝑦)) ≀ 𝑀)) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅(πΊβ€˜π‘§))) ≀ 𝑀))
5735, 39, 42, 56syl21anc 836 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅(πΊβ€˜π‘§))) ≀ 𝑀))
5832ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ 𝐹 Fn dom 𝐹)
5936ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ 𝐺 Fn dom 𝐺)
60 reex 11200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ∈ V
61 ssexg 5323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom 𝐹 βŠ† ℝ ∧ ℝ ∈ V) β†’ dom 𝐹 ∈ V)
6226, 60, 61sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ dom 𝐹 ∈ V)
63 dmexg 7893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ 𝑂(1) β†’ dom 𝐺 ∈ V)
6463ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ dom 𝐺 ∈ V)
65 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
66 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
67 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
6858, 59, 62, 64, 65, 66, 67ofval 7680 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§)𝑅(πΊβ€˜π‘§)))
6968fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)β€˜π‘§)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅(πΊβ€˜π‘§))))
7069breq1d 5158 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ ((absβ€˜((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)β€˜π‘§)) ≀ 𝑀 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§)𝑅(πΊβ€˜π‘§))) ≀ 𝑀))
7157, 70sylibrd 258 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)β€˜π‘§)) ≀ 𝑀))
7231, 71imim12d 81 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (((π‘Ž ≀ 𝑧 ∧ 𝑏 ≀ 𝑧) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)β€˜π‘§)) ≀ 𝑀)))
7320, 72syl5 34 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (((π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ (𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)β€˜π‘§)) ≀ 𝑀)))
7473ralimdva 3167 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ (𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)β€˜π‘§)) ≀ 𝑀)))
75 o1of2.2 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯𝑅𝑦) ∈ β„‚)
7675adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯𝑅𝑦) ∈ β„‚)
7776, 32, 36, 62, 64, 65off 7687 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)βŸΆβ„‚)
7823, 21ifcld 4574 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ∈ ℝ)
79 o1of2.1 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
8079adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
81 elo12r 15471 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∘f 𝑅𝐺):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)βŸΆβ„‚ ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† ℝ) ∧ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)β€˜π‘§)) ≀ 𝑀)) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1))
82813expia 1121 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∘f 𝑅𝐺):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)βŸΆβ„‚ ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† ℝ) ∧ (if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)β€˜π‘§)) ≀ 𝑀) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8377, 27, 78, 80, 82syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(π‘Ž ≀ 𝑏, 𝑏, π‘Ž) ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)β€˜π‘§)) ≀ 𝑀) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8474, 83syld 47 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ (𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8519, 84syl5 34 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8685rexlimdvva 3211 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ (βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8710, 86biimtrrid 242 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) β†’ ((βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8887rexlimdvva 3211 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘ ∈ ℝ (βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
899, 88biimtrrid 242 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) β†’ ((βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(π‘Ž ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘š) ∧ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐺(𝑏 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
904, 8, 89mp2and 697 1 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) β†’ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667  β„‚cc 11107  β„cr 11108   ≀ cle 11248  abscabs 15180  π‘‚(1)co1 15429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-ico 13329  df-o1 15433
This theorem is referenced by:  o1add  15557  o1mul  15558  o1sub  15559
  Copyright terms: Public domain W3C validator