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Theorem o1of2 15646
Description: Show that a binary operation preserves eventual boundedness. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1of2.1 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
o1of2.2 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ ℂ)
o1of2.3 (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
Assertion
Ref Expression
o1of2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝐹   𝑚,𝐺,𝑛,𝑥,𝑦   𝑅,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem o1of2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1f 15562 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2 o1bdd 15564 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
31, 2mpdan 687 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
43adantr 480 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
5 o1f 15562 . . . 4 (𝐺 ∈ 𝑂(1) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
6 o1bdd 15564 . . . 4 ((𝐺 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
75, 6mpdan 687 . . 3 (𝐺 ∈ 𝑂(1) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
87adantl 481 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
9 reeanv 3227 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) ↔ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
10 reeanv 3227 . . . . 5 (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) ↔ (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
11 inss1 4245 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
12 ssralv 4064 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚)))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
14 inss2 4246 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
15 ssralv 4064 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → (∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
1713, 16anim12i 613 . . . . . . . 8 ((∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
18 r19.26 3109 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) ↔ (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
1917, 18sylibr 234 . . . . . . 7 ((∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
20 anim12 809 . . . . . . . . . 10 (((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → ((𝑎𝑧𝑏𝑧) → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
21 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 𝑎 ∈ ℝ)
23 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝑏 ∈ ℝ)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 𝑏 ∈ ℝ)
25 o1dm 15563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
2625ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
2711, 26sstrid 4007 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
2827sselda 3995 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 𝑧 ∈ ℝ)
29 maxle 13230 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 ↔ (𝑎𝑧𝑏𝑧)))
3022, 24, 28, 29syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 ↔ (𝑎𝑧𝑏𝑧)))
3130biimpd 229 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (𝑎𝑧𝑏𝑧)))
321ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3311sseli 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑧 ∈ dom 𝐹)
34 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
3532, 33, 34syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
365ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
3714sseli 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑧 ∈ dom 𝐺)
38 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
3936, 37, 38syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
40 o1of2.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
4140ralrimivva 3200 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
4241ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
43 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝐹𝑧) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑧)))
4443breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐹𝑧) → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚))
4544anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐹𝑧) → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) ↔ ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)))
46 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐹𝑧) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) = (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)))
4746breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐹𝑧) → ((abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) ≤ 𝑀))
4845, 47imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐹𝑧) → ((((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀) ↔ (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) ≤ 𝑀)))
49 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (abs‘𝑦) = (abs‘(𝐺𝑧)))
5049breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((abs‘𝑦) ≤ 𝑛 ↔ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛))
5150anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) ↔ ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)))
52 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((𝐹𝑧)𝑅𝑦) = ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)))
5352fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) = (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))))
5453breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀))
5551, 54imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅𝑦)) ≤ 𝑀) ↔ (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀)))
5648, 55rspc2va 3634 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥𝑅𝑦)) ≤ 𝑀)) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀))
5735, 39, 42, 56syl21anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀))
5832ffnd 6738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
5936ffnd 6738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐺 Fn dom 𝐺)
60 reex 11244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ∈ V
61 ssexg 5329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
6226, 60, 61sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → dom 𝐹 ∈ V)
63 dmexg 7924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐺 ∈ V)
6463ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → dom 𝐺 ∈ V)
65 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
66 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
67 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
6858, 59, 62, 64, 65, 66, 67ofval 7708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧) = ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)))
6968fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) = (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))))
7069breq1d 5158 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) ≤ 𝑀))
7157, 70sylibrd 259 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛) → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀))
7231, 71imim12d 81 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((𝑎𝑧𝑏𝑧) → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀)))
7320, 72syl5 34 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀)))
7473ralimdva 3165 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀)))
75 o1of2.2 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ ℂ)
7675adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ ℂ)
7776, 32, 36, 62, 64, 65off 7715 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (𝐹f 𝑅𝐺):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℂ)
7823, 21ifcld 4577 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
79 o1of2.1 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
8079adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
81 elo12r 15561 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹f 𝑅𝐺):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℂ ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ) ∧ (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1))
82813expia 1120 . . . . . . . . 9 ((((𝐹f 𝑅𝐺):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℂ ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ) ∧ (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8377, 27, 78, 80, 82syl22anc 839 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹f 𝑅𝐺)‘𝑧)) ≤ 𝑀) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8474, 83syld 47 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8519, 84syl5 34 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → ((∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8685rexlimdvva 3211 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8710, 86biimtrrid 243 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → ((∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
8887rexlimdvva 3211 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
899, 88biimtrrid 243 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → ((∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑧 → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑛)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1)))
904, 8, 89mp2and 699 1 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  ifcif 4531   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11151  cr 11152  cle 11294  abscabs 15270  𝑂(1)co1 15519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-ico 13390  df-o1 15523
This theorem is referenced by:  o1add  15647  o1mul  15648  o1sub  15649
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