MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elo12r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elo12r 15467
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elo12r (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)) → 𝐹 ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀

Proof of Theorem elo12r
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5149 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → (𝑦𝑥𝐶𝑥))
21imbi1d 342 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ↔ (𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚)))
32ralbidv 3178 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚)))
4 breq2 5150 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑀 → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ↔ (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀))
54imbi2d 341 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → ((𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ↔ (𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)))
65ralbidv 3178 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)))
73, 6rspc2ev 3622 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚))
873expa 1119 . . 3 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚))
983adant1 1131 . 2 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚))
10 elo12 15466 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚)))
11103ad2ant1 1134 . 2 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚)))
129, 11mpbird 257 1 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)) → 𝐹 ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  wss 3946   class class class wbr 5146  wf 6535  cfv 6539  cc 11103  cr 11104  cle 11244  abscabs 15176  𝑂(1)co1 15425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8698  df-pm 8818  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-ico 13325  df-o1 15429
This theorem is referenced by:  o1resb  15505  o1of2  15552  o1cxp  26458
  Copyright terms: Public domain W3C validator