MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elo12r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elo12r 15561
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elo12r (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)) → 𝐹 ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀

Proof of Theorem elo12r
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → (𝑦𝑥𝐶𝑥))
21imbi1d 341 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ↔ (𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚)))
32ralbidv 3176 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚)))
4 breq2 5152 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑀 → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ↔ (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀))
54imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → ((𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ↔ (𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)))
65ralbidv 3176 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)))
73, 6rspc2ev 3635 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚))
873expa 1117 . . 3 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚))
983adant1 1129 . 2 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚))
10 elo12 15560 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚)))
11103ad2ant1 1132 . 2 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚)))
129, 11mpbird 257 1 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)) → 𝐹 ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  wss 3963   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  cc 11151  cr 11152  cle 11294  abscabs 15270  𝑂(1)co1 15519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-ico 13390  df-o1 15523
This theorem is referenced by:  o1resb  15599  o1of2  15646  o1cxp  27033
  Copyright terms: Public domain W3C validator