MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elo12r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elo12r 15474
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elo12r (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑀

Proof of Theorem elo12r
Dummy variables π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5142 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐢 β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ ↔ 𝐢 ≀ π‘₯))
21imbi1d 341 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐢 β†’ ((𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ↔ (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š)))
32ralbidv 3169 . . . . 5 (𝑦 = 𝐢 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š)))
4 breq2 5143 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑀 β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀))
54imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘š = 𝑀 β†’ ((𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ↔ (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)))
65ralbidv 3169 . . . . 5 (π‘š = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)))
73, 6rspc2ev 3617 . . . 4 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š))
873expa 1115 . . 3 (((𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š))
983adant1 1127 . 2 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š))
10 elo12 15473 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š)))
11103ad2ant1 1130 . 2 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)) β†’ (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š)))
129, 11mpbird 257 1 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5139  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  β„‚cc 11105  β„cr 11106   ≀ cle 11248  abscabs 15183  π‘‚(1)co1 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-ico 13331  df-o1 15436
This theorem is referenced by:  o1resb  15512  o1of2  15559  o1cxp  26848
  Copyright terms: Public domain W3C validator