MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elo12r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elo12r 15472
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elo12r (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑀

Proof of Theorem elo12r
Dummy variables π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5152 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐢 β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ ↔ 𝐢 ≀ π‘₯))
21imbi1d 342 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐢 β†’ ((𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ↔ (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š)))
32ralbidv 3178 . . . . 5 (𝑦 = 𝐢 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š)))
4 breq2 5153 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑀 β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀))
54imbi2d 341 . . . . . 6 (π‘š = 𝑀 β†’ ((𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ↔ (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)))
65ralbidv 3178 . . . . 5 (π‘š = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)))
73, 6rspc2ev 3625 . . . 4 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š))
873expa 1119 . . 3 (((𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š))
983adant1 1131 . 2 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š))
10 elo12 15471 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š)))
11103ad2ant1 1134 . 2 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)) β†’ (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š)))
129, 11mpbird 257 1 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  β„‚cc 11108  β„cr 11109   ≀ cle 11249  abscabs 15181  π‘‚(1)co1 15430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ico 13330  df-o1 15434
This theorem is referenced by:  o1resb  15510  o1of2  15557  o1cxp  26479
  Copyright terms: Public domain W3C validator