MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elo12r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elo12r 15505
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elo12r (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑀

Proof of Theorem elo12r
Dummy variables π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐢 β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ ↔ 𝐢 ≀ π‘₯))
21imbi1d 341 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐢 β†’ ((𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ↔ (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š)))
32ralbidv 3174 . . . . 5 (𝑦 = 𝐢 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š)))
4 breq2 5152 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑀 β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀))
54imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘š = 𝑀 β†’ ((𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ↔ (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)))
65ralbidv 3174 . . . . 5 (π‘š = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)))
73, 6rspc2ev 3622 . . . 4 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š))
873expa 1116 . . 3 (((𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š))
983adant1 1128 . 2 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š))
10 elo12 15504 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š)))
11103ad2ant1 1131 . 2 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)) β†’ (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ π‘š)))
129, 11mpbird 257 1 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐢 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  β„‚cc 11137  β„cr 11138   ≀ cle 11280  abscabs 15214  π‘‚(1)co1 15463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-ico 13363  df-o1 15467
This theorem is referenced by:  o1resb  15543  o1of2  15590  o1cxp  26920
  Copyright terms: Public domain W3C validator