Theorem ontgsucval 36415

Description: The topology generated from a successor ordinal number is itself. (Contributed by Chen-Pang He, 11-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ontgsucval	⊢ (𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) = suc 𝐴)

Proof of Theorem ontgsucval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsuc 7789	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
2		ontgval 36414	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) = suc ∪ suc 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) = suc ∪ suc 𝐴)
4		eloni 6344	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
5		ordunisuc 7809	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → ∪ suc 𝐴 = 𝐴)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∪ suc 𝐴 = 𝐴)
7		suceq 6401	. . 3 ⊢ (∪ suc 𝐴 = 𝐴 → suc ∪ suc 𝐴 = suc 𝐴)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc ∪ suc 𝐴 = suc 𝐴)
9	3, 8	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) = suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4873  Ord word 6333  Oncon0 6334  suc csuc 6336  ‘cfv 6513  topGenctg 17406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-ord 6337  df-on 6338  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fv 6521  df-topgen 17412

This theorem is referenced by:  onsuctop  36416