Theorem ontgsucval 36614

Description: The topology generated from a successor ordinal number is itself. (Contributed by Chen-Pang He, 11-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ontgsucval	⊢ (𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) = suc 𝐴)

Proof of Theorem ontgsucval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsuc 7764	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
2		ontgval 36613	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) = suc ∪ suc 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) = suc ∪ suc 𝐴)
4		eloni 6333	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
5		ordunisuc 7783	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → ∪ suc 𝐴 = 𝐴)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∪ suc 𝐴 = 𝐴)
7		suceq 6391	. . 3 ⊢ (∪ suc 𝐴 = 𝐴 → suc ∪ suc 𝐴 = suc 𝐴)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc ∪ suc 𝐴 = suc 𝐴)
9	3, 8	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) = suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4850  Ord word 6322  Oncon0 6323  suc csuc 6325  ‘cfv 6498  topGenctg 17400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-ord 6326  df-on 6327  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-topgen 17406

This theorem is referenced by:  onsuctop  36615