Theorem ontgsucval 34717

Description: The topology generated from a successor ordinal number is itself. (Contributed by Chen-Pang He, 11-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ontgsucval	⊢ (𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) = suc 𝐴)

Proof of Theorem ontgsucval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceloni 7724	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
2		ontgval 34716	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) = suc ∪ suc 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) = suc ∪ suc 𝐴)
4		eloni 6312	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
5		ordunisuc 7745	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → ∪ suc 𝐴 = 𝐴)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∪ suc 𝐴 = 𝐴)
7		suceq 6367	. . 3 ⊢ (∪ suc 𝐴 = 𝐴 → suc ∪ suc 𝐴 = suc 𝐴)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc ∪ suc 𝐴 = suc 𝐴)
9	3, 8	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) = suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∪ cuni 4852  Ord word 6301  Oncon0 6302  suc csuc 6304  ‘cfv 6479  topGenctg 17245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-ord 6305  df-on 6306  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fv 6487  df-topgen 17251

This theorem is referenced by:  onsuctop  34718