Theorem ontgsucval 36393

Description: The topology generated from a successor ordinal number is itself. (Contributed by Chen-Pang He, 11-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ontgsucval	⊢ (𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) = suc 𝐴)

Proof of Theorem ontgsucval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsuc 7767	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
2		ontgval 36392	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) = suc ∪ suc 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) = suc ∪ suc 𝐴)
4		eloni 6330	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
5		ordunisuc 7787	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → ∪ suc 𝐴 = 𝐴)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∪ suc 𝐴 = 𝐴)
7		suceq 6388	. . 3 ⊢ (∪ suc 𝐴 = 𝐴 → suc ∪ suc 𝐴 = suc 𝐴)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc ∪ suc 𝐴 = suc 𝐴)
9	3, 8	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) = suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4867  Ord word 6319  Oncon0 6320  suc csuc 6322  ‘cfv 6499  topGenctg 17376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507  df-topgen 17382

This theorem is referenced by:  onsuctop  36394