Theorem suceq 6431

Description: Equality of successors. (Contributed by NM, 30-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
suceq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Proof of Theorem suceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵)
2		sneq 4639	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
3	1, 2	uneq12d 4165	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐴}) = (𝐵 ∪ {𝐵}))
4		df-suc 6371	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5		df-suc 6371	. 2 ⊢ suc 𝐵 = (𝐵 ∪ {𝐵})
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2798	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∪ cun 3947  {csn 4629  suc csuc 6367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-tru 1545  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-v 3477  df-un 3954  df-sn 4630  df-suc 6371

This theorem is referenced by:  eqelsuc  6449  suc11  6472  ordunisuc  7820  onsucuni2  7822  onuninsuci  7829  limsuc  7838  tfindes  7852  tfinds2  7853  peano5  7884  findes  7893  onnseq  8344  seqomlem0  8449  seqomlem1  8450  seqomlem4  8453  oasuc  8524  onasuc  8528  oa1suc  8531  oa0r  8538  o2p2e4  8541  oaass  8561  oneo  8581  omeulem1  8582  oeeulem  8601  oeeui  8602  nna0r  8609  nnacom  8617  nnaass  8622  nnmsucr  8625  omabs  8650  nnneo  8654  nneob  8655  omsmolem  8656  omopthlem1  8658  eldifsucnn  8663  limensuc  9154  infensuc  9155  nneneq  9209  nneneqOLD  9221  unblem2  9296  unblem3  9297  suc11reg  9614  inf0  9616  inf3lem1  9623  dfom3  9642  cantnflt  9667  cantnflem1  9684  cnfcom  9695  brttrcl2  9709  ssttrcl  9710  ttrcltr  9711  ttrclss  9715  dmttrcl  9716  rnttrcl  9717  ttrclselem2  9721  r1elwf  9791  rankidb  9795  rankonidlem  9823  ranklim  9839  rankopb  9847  rankelop  9869  rankxpu  9871  rankmapu  9873  rankxplim  9874  cardsucnn  9980  dif1card  10005  infxpenlem  10008  fseqenlem1  10019  dfac12lem1  10138  dfac12lem2  10139  dfac12r  10141  pwsdompw  10199  ackbij1lem14  10228  ackbij1lem18  10232  ackbij1  10233  ackbij2lem3  10236  cfsmolem  10265  cfsmo  10266  sornom  10272  isfin3ds  10324  isf32lem1  10348  isf32lem2  10349  isf32lem5  10352  isf32lem6  10353  isf32lem7  10354  isf32lem8  10355  isf32lem11  10358  fin1a2lem1  10395  ituniiun  10417  axdc2lem  10443  axdc3lem2  10446  axdc3lem3  10447  axdc3lem4  10448  axdc3  10449  axdc4lem  10450  axcclem  10452  axdclem2  10515  wunex2  10733  om2uzsuci  13913  axdc4uzlem  13948  noresle  27200  nosupcbv  27205  nosupno  27206  nosupdm  27207  nosupfv  27209  nosupres  27210  nosupbnd1lem1  27211  nosupbnd1lem3  27213  nosupbnd1lem5  27215  nosupbnd2  27219  noinfcbv  27220  noinfno  27221  noinfdm  27222  noinffv  27224  noinfres  27225  noinfbnd1lem3  27228  noinfbnd1lem5  27230  bday1s  27332  bnj222  33894  bnj966  33955  bnj1112  33994  gonar  34386  goalr  34388  satffun  34400  rankaltopb  34951  ranksng  35139  rankpwg  35141  rankeq1o  35143  ontgsucval  35317  onsucconn  35323  onsucsuccmp  35329  limsucncmp  35331  ordcmp  35332  finxpreclem4  36275  finxp00  36283  limsuc2  41783  aomclem4  41799  aomclem8  41803  onsucelab  42013  onsucf1olem  42020  onsucrn  42021  onov0suclim  42024  onsucunifi  42120  sucunisn  42121  onsucunipr  42122  onsucunitp  42123  nadd1suc  42142  naddsuc2  42143  naddonnn  42146  suceqd  42963  onsetreclem1  47750