Theorem onsuctop 37398

Description: A successor ordinal number is a topology. (Contributed by Chen-Pang He, 11-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onsuctop	⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Top)

Proof of Theorem onsuctop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ontgsucval 37397	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) = suc 𝐴)
2		onsuc 7845	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
3		ontopbas 37393	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ TopBases)
4		tgcl 23314	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ TopBases → (topGen‘suc 𝐴) ∈ Top)
5	2, 3, 4	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) ∈ Top)
6	1, 5	eqeltrrd 2865	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Top)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Oncon0 6377  suc csuc 6379  ‘cfv 6555  topGenctg 17634  Topctop 23238  TopBasesctb 23290

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-ord 6380  df-on 6381  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fv 6563  df-topgen 17640  df-top 23239  df-bases 23291

This theorem is used by:  onsuctopon  37399  ordtop  37401  onsucconni  37402  onsucsuccmpi  37408