Theorem onsuctop 36655

Description: A successor ordinal number is a topology. (Contributed by Chen-Pang He, 11-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onsuctop	⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Top)

Proof of Theorem onsuctop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ontgsucval 36654	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) = suc 𝐴)
2		onsuc 7767	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
3		ontopbas 36650	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ TopBases)
4		tgcl 22930	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ TopBases → (topGen‘suc 𝐴) ∈ Top)
5	2, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) ∈ Top)
6	1, 5	eqeltrrd 2838	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Oncon0 6327  suc csuc 6329  ‘cfv 6502  topGenctg 17371  Topctop 22854  TopBasesctb 22906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-ord 6330  df-on 6331  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fv 6510  df-topgen 17377  df-top 22855  df-bases 22907

This theorem is referenced by:  onsuctopon  36656  ordtop  36658  onsucconni  36659  onsucsuccmpi  36665