Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsuctop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onsuctop 33781
Description: A successor ordinal number is a topology. (Contributed by Chen-Pang He, 11-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
onsuctop (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Top)

Proof of Theorem onsuctop
StepHypRef Expression
1 ontgsucval 33780 . 2 (𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) = suc 𝐴)
2 suceloni 7527 . . 3 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
3 ontopbas 33776 . . 3 (suc 𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ TopBases)
4 tgcl 21576 . . 3 (suc 𝐴 ∈ TopBases → (topGen‘suc 𝐴) ∈ Top)
52, 3, 43syl 18 . 2 (𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) ∈ Top)
61, 5eqeltrrd 2914 1 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2110  Oncon0 6190  suc csuc 6192  cfv 6354  topGenctg 16710  Topctop 21500  TopBasesctb 21552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-ord 6193  df-on 6194  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fv 6362  df-topgen 16716  df-top 21501  df-bases 21553
This theorem is referenced by:  onsuctopon  33782  ordtop  33784  onsucconni  33785  onsucsuccmpi  33791
  Copyright terms: Public domain W3C validator