Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsuctop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onsuctop 35621
Description: A successor ordinal number is a topology. (Contributed by Chen-Pang He, 11-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
onsuctop (𝐴 ∈ On β†’ suc 𝐴 ∈ Top)

Proof of Theorem onsuctop
StepHypRef Expression
1 ontgsucval 35620 . 2 (𝐴 ∈ On β†’ (topGenβ€˜suc 𝐴) = suc 𝐴)
2 onsuc 7801 . . 3 (𝐴 ∈ On β†’ suc 𝐴 ∈ On)
3 ontopbas 35616 . . 3 (suc 𝐴 ∈ On β†’ suc 𝐴 ∈ TopBases)
4 tgcl 22692 . . 3 (suc 𝐴 ∈ TopBases β†’ (topGenβ€˜suc 𝐴) ∈ Top)
52, 3, 43syl 18 . 2 (𝐴 ∈ On β†’ (topGenβ€˜suc 𝐴) ∈ Top)
61, 5eqeltrrd 2832 1 (𝐴 ∈ On β†’ suc 𝐴 ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2104  Oncon0 6363  suc csuc 6365  β€˜cfv 6542  topGenctg 17387  Topctop 22615  TopBasesctb 22668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-topgen 17393  df-top 22616  df-bases 22669
This theorem is referenced by:  onsuctopon  35622  ordtop  35624  onsucconni  35625  onsucsuccmpi  35631
  Copyright terms: Public domain W3C validator