Theorem onsuctop 36676

Description: A successor ordinal number is a topology. (Contributed by Chen-Pang He, 11-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onsuctop	⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Top)

Proof of Theorem onsuctop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ontgsucval 36675	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) = suc 𝐴)
2		onsuc 7757	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
3		ontopbas 36671	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ TopBases)
4		tgcl 22956	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ TopBases → (topGen‘suc 𝐴) ∈ Top)
5	2, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) ∈ Top)
6	1, 5	eqeltrrd 2842	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121  Oncon0 6314  suc csuc 6316  ‘cfv 6489  topGenctg 17395  Topctop 22880  TopBasesctb 22932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-ord 6317  df-on 6318  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fv 6497  df-topgen 17401  df-top 22881  df-bases 22933

This theorem is referenced by:  onsuctopon  36677  ordtop  36679  onsucconni  36680  onsucsuccmpi  36686