Theorem supxrpnf 13295

Description: The supremum of a set of extended reals containing plus infinity is plus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrpnf	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)

Proof of Theorem supxrpnf

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3968	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ*))
2		pnfnlt 13106	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑦)
3	1, 2	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ +∞ < 𝑦))
4	3	ralrimiv 3137	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑦)
5		breq2 5143	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = +∞ → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < +∞))
6	5	rspcev 3604	. . . . 5 ⊢ ((+∞ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 < +∞) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)
7	6	ex 412	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
8	7	ralrimivw 3142	. . 3 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
9	4, 8	anim12i 612	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
10		pnfxr 11266	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
11		supxr 13290	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
12	10, 11	mpanl2 698	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
13	9, 12	syldan 590	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3941   class class class wbr 5139  supcsup 9432  ℝcr 11106  +∞cpnf 11243  ℝ^*cxr 11245   < clt 11246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445

This theorem is referenced by:  xrsup  13831  volsup  25409  supxrge  44558  supminfxr2  44689  sge0tsms  45606  sge0sup  45617