MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrpnf 13246
Description: The supremum of a set of extended reals containing plus infinity is plus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
supxrpnf ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)

Proof of Theorem supxrpnf
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3941 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ*))
2 pnfnlt 13057 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑦)
31, 2syl6 35 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦𝐴 → ¬ +∞ < 𝑦))
43ralrimiv 3139 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦)
5 breq2 5113 . . . . . 6 (𝑧 = +∞ → (𝑦 < 𝑧𝑦 < +∞))
65rspcev 3583 . . . . 5 ((+∞ ∈ 𝐴𝑦 < +∞) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
76ex 414 . . . 4 (+∞ ∈ 𝐴 → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
87ralrimivw 3144 . . 3 (+∞ ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
94, 8anim12i 614 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
10 pnfxr 11217 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
11 supxr 13241 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
1210, 11mpanl2 700 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
139, 12syldan 592 1 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  wrex 3070  wss 3914   class class class wbr 5109  supcsup 9384  cr 11058  +∞cpnf 11194  *cxr 11196   < clt 11197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396
This theorem is referenced by:  xrsup  13782  volsup  24943  supxrge  43663  supminfxr2  43794  sge0tsms  44711  sge0sup  44722
  Copyright terms: Public domain W3C validator