Theorem supxrpnf 13478

Description: The supremum of a set of extended reals containing plus infinity is plus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrpnf	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)

Proof of Theorem supxrpnf

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3907	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ*))
2		pnfnlt 13287	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑦)
3	1, 2	syl6 36	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ +∞ < 𝑦))
4	3	ralrimiv 3157	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑦)
5		breq2 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = +∞ → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < +∞))
6	5	rspcev 3580	. . . . 5 ⊢ ((+∞ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 < +∞) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)
7	6	ex 418	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
8	7	ralrimivw 3162	. . 3 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
9	4, 8	anim12i 625	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
10		pnfxr 11393	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
11		supxr 13473	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
12	10, 11	mpanl2 714	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
13	9, 12	syldan 603	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  supcsup 9462  ℝcr 11229  +∞cpnf 11370  ℝ^*cxr 11372   < clt 11373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574

This theorem is used by:  xrsup  14038  volsup  25910  supxrge  46565  supminfxr2  46694  sge0tsms  47605  sge0sup  47616