MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrpnf 12787
Description: The supremum of a set of extended reals containing plus infinity is plus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
supxrpnf ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)

Proof of Theorem supxrpnf
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3868 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ*))
2 pnfnlt 12599 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑦)
31, 2syl6 35 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦𝐴 → ¬ +∞ < 𝑦))
43ralrimiv 3095 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦)
5 breq2 5031 . . . . . 6 (𝑧 = +∞ → (𝑦 < 𝑧𝑦 < +∞))
65rspcev 3524 . . . . 5 ((+∞ ∈ 𝐴𝑦 < +∞) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
76ex 416 . . . 4 (+∞ ∈ 𝐴 → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
87ralrimivw 3097 . . 3 (+∞ ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
94, 8anim12i 616 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
10 pnfxr 10766 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
11 supxr 12782 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
1210, 11mpanl2 701 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
139, 12syldan 594 1 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053  wrex 3054  wss 3841   class class class wbr 5027  supcsup 8970  cr 10607  +∞cpnf 10743  *cxr 10745   < clt 10746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-sup 8972  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944
This theorem is referenced by:  xrsup  13320  volsup  24301  supxrge  42399  supminfxr2  42533  sge0tsms  43444  sge0sup  43455
  Copyright terms: Public domain W3C validator