MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrpnf 13324
Description: The supremum of a set of extended reals containing plus infinity is plus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
supxrpnf ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)

Proof of Theorem supxrpnf
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3972 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ*))
2 pnfnlt 13135 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑦)
31, 2syl6 35 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦𝐴 → ¬ +∞ < 𝑦))
43ralrimiv 3141 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦)
5 breq2 5147 . . . . . 6 (𝑧 = +∞ → (𝑦 < 𝑧𝑦 < +∞))
65rspcev 3608 . . . . 5 ((+∞ ∈ 𝐴𝑦 < +∞) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
76ex 412 . . . 4 (+∞ ∈ 𝐴 → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
87ralrimivw 3146 . . 3 (+∞ ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
94, 8anim12i 612 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
10 pnfxr 11293 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
11 supxr 13319 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
1210, 11mpanl2 700 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
139, 12syldan 590 1 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3057  wrex 3066  wss 3945   class class class wbr 5143  supcsup 9458  cr 11132  +∞cpnf 11270  *cxr 11272   < clt 11273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472
This theorem is referenced by:  xrsup  13860  volsup  25479  supxrge  44711  supminfxr2  44842  sge0tsms  45759  sge0sup  45770
  Copyright terms: Public domain W3C validator