MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltnsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltnsym 13148
Description: Ordering on the extended reals is not symmetric. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrltnsym ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem xrltnsym
StepHypRef Expression
1 elxr 13128 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 elxr 13128 . 2 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3 ltnsym 11342 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
4 rexr 11290 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
5 pnfnlt 13140 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ +∞ < 𝐴)
76adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ +∞ < 𝐴)
8 breq1 5146 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (𝐵 < 𝐴 ↔ +∞ < 𝐴))
98adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 < 𝐴 ↔ +∞ < 𝐴))
107, 9mtbird 324 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ 𝐵 < 𝐴)
1110a1d 25 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
12 nltmnf 13141 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
134, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < -∞)
1413adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
15 breq2 5147 . . . . . . 7 (𝐵 = -∞ → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
1615adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
1714, 16mtbird 324 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
1817pm2.21d 121 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
193, 11, 183jaodan 1427 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
20 pnfnlt 13140 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
2120adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ +∞ < 𝐵)
22 breq1 5146 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
2322adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
2421, 23mtbird 324 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
2524pm2.21d 121 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
262, 25sylan2br 593 . . 3 ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
27 rexr 11290 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
28 nltmnf 13141 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝐵 < -∞)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → ¬ 𝐵 < -∞)
3029adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐵 < -∞)
31 breq2 5147 . . . . . . 7 (𝐴 = -∞ → (𝐵 < 𝐴𝐵 < -∞))
3231adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴𝐵 < -∞))
3330, 32mtbird 324 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ 𝐵 < 𝐴)
3433a1d 25 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
35 mnfxr 11301 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
36 pnfnlt 13140 . . . . . . . 8 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ +∞ < -∞)
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . 7 ¬ +∞ < -∞
38 breq12 5148 . . . . . . 7 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐵 < 𝐴 ↔ +∞ < -∞))
3937, 38mtbiri 326 . . . . . 6 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 = -∞) → ¬ 𝐵 < 𝐴)
4039ancoms 457 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ 𝐵 < 𝐴)
4140a1d 25 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
42 xrltnr 13131 . . . . . . 7 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
4335, 42ax-mp 5 . . . . . 6 ¬ -∞ < -∞
44 breq12 5148 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -∞ < -∞))
4543, 44mtbiri 326 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
4645pm2.21d 121 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
4734, 41, 463jaodan 1427 . . 3 ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
4819, 26, 473jaoian 1426 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
491, 2, 48syl2anb 596 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3o 1083   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5143  cr 11137  +∞cpnf 11275  -∞cmnf 11276  *cxr 11277   < clt 11278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283
This theorem is referenced by:  xrltnsym2  13149  xrlttri  13150  xmullem2  13276  sgnp  15069  iccpartnel  46841
  Copyright terms: Public domain W3C validator