MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrub 12351
Description: By quantifying only over reals, we can specify any extended real upper bound for any set of extended reals. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrub ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem xrub
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4814 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝐵𝑧 < 𝐵))
2 breq1 4814 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑦𝑧 < 𝑦))
32rexbidv 3199 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))
41, 3imbi12d 335 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)))
54cbvralv 3319 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))
6 elxr 12157 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
7 pm2.27 42 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
9 pnfnlt 12169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
10 breq1 4814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
1110notbid 309 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = +∞ → (¬ 𝑥 < 𝐵 ↔ ¬ +∞ < 𝐵))
129, 11syl5ibr 237 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = +∞ → (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝑥 < 𝐵))
13 pm2.21 121 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 < 𝐵 → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
1412, 13syl6com 37 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
1514ad2antlr 718 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
1615a1dd 50 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = +∞ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
17 elxr 12157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
18 peano2rem 10607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
19 breq1 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (𝐵 − 1) → (𝑧 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 1) < 𝐵))
20 breq1 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = (𝐵 − 1) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐵 − 1) < 𝑦))
2120rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (𝐵 − 1) → (∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
2219, 21imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (𝐵 − 1) → ((𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
2322rspcv 3458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 − 1) ∈ ℝ → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
2418, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
2524adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
26 ltm1 11122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) < 𝐵)
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
2826, 27syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℝ → (((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
2928adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
3018ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
31 mnflt 12164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 − 1) ∈ ℝ → -∞ < (𝐵 − 1))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → -∞ < (𝐵 − 1))
33 rexr 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 − 1) ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ*)
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ*)
35 ssel2 3758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
3635adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
37 mnfxr 10355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -∞ ∈ ℝ*
38 xrlttr 12180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((-∞ < (𝐵 − 1) ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
3937, 38mp3an1 1572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 − 1) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((-∞ < (𝐵 − 1) ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
4034, 36, 39syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → ((-∞ < (𝐵 − 1) ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
4132, 40mpand 686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐵 − 1) < 𝑦 → -∞ < 𝑦))
4241reximdva 3163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
4325, 29, 423syld 60 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
4443a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
45 1re 10297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
46 breq1 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 1 → (𝑧 < 𝐵 ↔ 1 < 𝐵))
47 breq1 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 1 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 1 < 𝑦))
4847rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 1 → (∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦))
4946, 48imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 1 → ((𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦)))
5049rspcv 3458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦)))
5145, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦))
52 ltpnf 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
5345, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < +∞
54 breq2 4815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 = +∞ → (1 < 𝐵 ↔ 1 < +∞))
5553, 54mpbiri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 = +∞ → 1 < 𝐵)
56 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦) → (1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦))
5755, 56syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 = +∞ → ((1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦))
58 mnflt 12164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 ∈ ℝ → -∞ < 1)
5945, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -∞ < 1
60 rexr 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
6145, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ*
62 xrlttr 12180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 1 ∧ 1 < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
6337, 61, 62mp3an12 1575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ* → ((-∞ < 1 ∧ 1 < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
6459, 63mpani 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ* → (1 < 𝑦 → -∞ < 𝑦))
6535, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → (1 < 𝑦 → -∞ < 𝑦))
6665reximdva 3163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑦𝐴 1 < 𝑦 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
6757, 66sylan9r 504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = +∞) → ((1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
6851, 67syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = +∞) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
6968a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = +∞) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
70 xrltnr 12160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
7137, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ -∞ < -∞
72 breq2 4815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < -∞))
7371, 72mtbiri 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐵)
7473adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = -∞) → ¬ -∞ < 𝐵)
7574pm2.21d 119 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = -∞) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
7675a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = -∞) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
7744, 69, 763jaodan 1555 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
7817, 77sylan2b 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
7978imp 395 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
80 breq1 4814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝐵 ↔ -∞ < 𝐵))
81 breq1 4814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝑦 ↔ -∞ < 𝑦))
8281rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -∞ → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
8380, 82imbi12d 335 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -∞ → ((𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
8479, 83syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
8584a1dd 50 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = -∞ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
868, 16, 853jaod 1553 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞) → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
876, 86syl5bi 233 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
8887com23 86 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
8988ralimdv2 3108 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
9089ex 401 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
915, 90syl5bi 233 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
9291pm2.43d 53 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
93 rexr 10343 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
9493imim1i 63 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
9594ralimi2 3096 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
9692, 95impbid1 216 1 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3o 1106   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  wss 3734   class class class wbr 4811  (class class class)co 6846  cr 10192  1c1 10194  +∞cpnf 10329  -∞cmnf 10330  *cxr 10331   < clt 10332  cmin 10525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-po 5200  df-so 5201  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10527  df-neg 10528
This theorem is referenced by:  supxr  12352
  Copyright terms: Public domain W3C validator