Theorem xrub 12704

Description: By quantifying only over reals, we can specify any extended real upper bound for any set of extended reals. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrub	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem xrub

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5068	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝑧 < 𝐵))
2		breq1 5068	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑧 < 𝑦))
3	2	rexbidv 3297	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
4	1, 3	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
5	4	cbvralvw 3449	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
6		elxr 12510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
7		pm2.27 42	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))))
9		pnfnlt 12522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
10		breq1 5068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
11	10	notbid 320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = +∞ → (¬ 𝑥 < 𝐵 ↔ ¬ +∞ < 𝐵))
12	9, 11	syl5ibr 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = +∞ → (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝑥 < 𝐵))
13		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 < 𝐵 → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))
14	12, 13	syl6com 37	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))
15	14	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))
16	15	a1dd 50	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = +∞ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))))
17		elxr 12510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
18		peano2rem 10952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
19		breq1 5068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝐵 − 1) → (𝑧 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 1) < 𝐵))
20		breq1 5068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝐵 − 1) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐵 − 1) < 𝑦))
21	20	rexbidv 3297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝐵 − 1) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
22	19, 21	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = (𝐵 − 1) → ((𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
23	22	rspcv 3617	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ ℝ → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
24	18, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
25	24	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
26		ltm1 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) < 𝐵)
27		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
28	26, 27	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
29	28	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
30	18	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
31		mnflt 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ ℝ → -∞ < (𝐵 − 1))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -∞ < (𝐵 − 1))
33		mnfxr 10697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
34	30	rexrd 10690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ*)
35		ssel2 3961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
36	35	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
37		xrlttr 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((-∞ < (𝐵 − 1) ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
38	33, 34, 36, 37	mp3an2i 1462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((-∞ < (𝐵 − 1) ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
39	32, 38	mpand 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐵 − 1) < 𝑦 → -∞ < 𝑦))
40	39	reximdva 3274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦))
41	25, 29, 40	3syld 60	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦))
42	41	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦)))
43		1re 10640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
44		breq1 5068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 < 𝐵 ↔ 1 < 𝐵))
45		breq1 5068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 1 < 𝑦))
46	45	rexbidv 3297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 1 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 1 < 𝑦))
47	44, 46	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 1 → ((𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (1 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 1 < 𝑦)))
48	47	rspcv 3617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → (1 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 1 < 𝑦)))
49	43, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → (1 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 1 < 𝑦))
50		ltpnf 12514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
51	43, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 < +∞
52		breq2 5069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 = +∞ → (1 < 𝐵 ↔ 1 < +∞))
53	51, 52	mpbiri 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 = +∞ → 1 < 𝐵)
54		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 1 < 𝑦) → (1 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 1 < 𝑦))
55	53, 54	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 = +∞ → ((1 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 1 < 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 1 < 𝑦))
56		mnflt 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 ∈ ℝ → -∞ < 1)
57	43, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -∞ < 1
58		rexr 10686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
59	43, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℝ*
60		xrlttr 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 1 ∧ 1 < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
61	33, 59, 60	mp3an12 1447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → ((-∞ < 1 ∧ 1 < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
62	57, 61	mpani 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (1 < 𝑦 → -∞ < 𝑦))
63	35, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (1 < 𝑦 → -∞ < 𝑦))
64	63	reximdva 3274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑦 ∈ 𝐴 1 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦))
65	55, 64	sylan9r 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → ((1 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 1 < 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦))
66	49, 65	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦))
67	66	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦)))
68		xrltnr 12513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
69	33, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ -∞ < -∞
70		breq2 5069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < -∞))
71	69, 70	mtbiri 329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐵)
72	71	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ -∞ < 𝐵)
73	72	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦))
74	73	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦)))
75	42, 67, 74	3jaodan 1426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦)))
76	17, 75	sylan2b 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦)))
77	76	imp 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦))
78		breq1 5068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝐵 ↔ -∞ < 𝐵))
79		breq1 5068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝑦 ↔ -∞ < 𝑦))
80	79	rexbidv 3297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -∞ → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦))
81	78, 80	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -∞ → ((𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦)))
82	77, 81	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))
83	82	a1dd 50	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = -∞ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))))
84	8, 16, 83	3jaod 1424	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞) → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))))
85	6, 84	syl5bi 244	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))))
86	85	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))))
87	86	ralimdv2 3176	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))
88	87	ex 415	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))))
89	5, 88	syl5bi 244	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))))
90	89	pm2.43d 53	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))
91		rexr 10686	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
92	91	imim1i 63	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))
93	92	ralimi2 3157	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))
94	90, 93	impbid1 227	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ w3o 1082   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5065  (class class class)co 7155  ℝcr 10535  1c1 10537  +∞cpnf 10671  -∞cmnf 10672  ℝ^*cxr 10673   < clt 10674   − cmin 10869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872

This theorem is referenced by:  supxr  12705