MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrub 13139
Description: By quantifying only over reals, we can specify any extended real upper bound for any set of extended reals. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrub ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem xrub
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5092 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝐵𝑧 < 𝐵))
2 breq1 5092 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑦𝑧 < 𝑦))
32rexbidv 3171 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))
41, 3imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)))
54cbvralvw 3221 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))
6 elxr 12945 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
7 pm2.27 42 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
9 pnfnlt 12957 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
10 breq1 5092 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
1110notbid 317 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = +∞ → (¬ 𝑥 < 𝐵 ↔ ¬ +∞ < 𝐵))
129, 11syl5ibr 245 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = +∞ → (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝑥 < 𝐵))
13 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 < 𝐵 → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
1412, 13syl6com 37 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
1514ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
1615a1dd 50 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = +∞ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
17 elxr 12945 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
18 peano2rem 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
19 breq1 5092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (𝐵 − 1) → (𝑧 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 1) < 𝐵))
20 breq1 5092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = (𝐵 − 1) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐵 − 1) < 𝑦))
2120rexbidv 3171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (𝐵 − 1) → (∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
2219, 21imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (𝐵 − 1) → ((𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
2322rspcv 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 − 1) ∈ ℝ → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
2418, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
2524adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
26 ltm1 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) < 𝐵)
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
2826, 27syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℝ → (((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
2928adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
3018ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
31 mnflt 12952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 − 1) ∈ ℝ → -∞ < (𝐵 − 1))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → -∞ < (𝐵 − 1))
33 mnfxr 11125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -∞ ∈ ℝ*
3430rexrd 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ*)
35 ssel2 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
3635adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
37 xrlttr 12967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((-∞ < (𝐵 − 1) ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
3833, 34, 36, 37mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → ((-∞ < (𝐵 − 1) ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
3932, 38mpand 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐵 − 1) < 𝑦 → -∞ < 𝑦))
4039reximdva 3161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
4125, 29, 403syld 60 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
4241a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
43 1re 11068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
44 breq1 5092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 1 → (𝑧 < 𝐵 ↔ 1 < 𝐵))
45 breq1 5092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 1 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 1 < 𝑦))
4645rexbidv 3171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 1 → (∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦))
4744, 46imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 1 → ((𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦)))
4847rspcv 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦)))
4943, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦))
50 ltpnf 12949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
5143, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < +∞
52 breq2 5093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 = +∞ → (1 < 𝐵 ↔ 1 < +∞))
5351, 52mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 = +∞ → 1 < 𝐵)
54 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦) → (1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦))
5553, 54syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 = +∞ → ((1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦))
56 mnflt 12952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 ∈ ℝ → -∞ < 1)
5743, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -∞ < 1
58 rexr 11114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
5943, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ*
60 xrlttr 12967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 1 ∧ 1 < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
6133, 59, 60mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ* → ((-∞ < 1 ∧ 1 < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
6257, 61mpani 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ* → (1 < 𝑦 → -∞ < 𝑦))
6335, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → (1 < 𝑦 → -∞ < 𝑦))
6463reximdva 3161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑦𝐴 1 < 𝑦 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
6555, 64sylan9r 509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = +∞) → ((1 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 1 < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
6649, 65syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = +∞) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
6766a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = +∞) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
68 xrltnr 12948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
6933, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ -∞ < -∞
70 breq2 5093 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < -∞))
7169, 70mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐵)
7271adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = -∞) → ¬ -∞ < 𝐵)
7372pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = -∞) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
7473a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 = -∞) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
7542, 67, 743jaodan 1429 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
7617, 75sylan2b 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
7776imp 407 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
78 breq1 5092 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝐵 ↔ -∞ < 𝐵))
79 breq1 5092 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝑦 ↔ -∞ < 𝑦))
8079rexbidv 3171 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -∞ → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦))
8178, 80imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -∞ → ((𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 -∞ < 𝑦)))
8277, 81syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
8382a1dd 50 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = -∞ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
848, 16, 833jaod 1427 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞) → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
856, 84biimtrid 241 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
8685com23 86 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
8786ralimdv2 3156 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
8887ex 413 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
895, 88biimtrid 241 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
9089pm2.43d 53 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
91 rexr 11114 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
9291imim1i 63 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
9392ralimi2 3077 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
9490, 93impbid1 224 1 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3o 1085   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  wrex 3070  wss 3897   class class class wbr 5089  (class class class)co 7329  cr 10963  1c1 10965  +∞cpnf 11099  -∞cmnf 11100  *cxr 11101   < clt 11102  cmin 11298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-id 5512  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301
This theorem is referenced by:  supxr  13140
  Copyright terms: Public domain W3C validator