Theorem xrub 12560

Description: By quantifying only over reals, we can specify any extended real upper bound for any set of extended reals. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrub	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem xrub

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4969	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝑧 < 𝐵))
2		breq1 4969	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑧 < 𝑦))
3	2	rexbidv 3260	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
4	1, 3	imbi12d 346	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
5	4	cbvralv 3403	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
6		elxr 12366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
7		pm2.27 42	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))))
9		pnfnlt 12378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
10		breq1 4969	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
11	10	notbid 319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = +∞ → (¬ 𝑥 < 𝐵 ↔ ¬ +∞ < 𝐵))
12	9, 11	syl5ibr 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = +∞ → (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝑥 < 𝐵))
13		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑥 < 𝐵 → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))
14	12, 13	syl6com 37	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))
15	14	ad2antlr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))
16	15	a1dd 50	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = +∞ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))))
17		elxr 12366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
18		peano2rem 10806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
19		breq1 4969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝐵 − 1) → (𝑧 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 1) < 𝐵))
20		breq1 4969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝐵 − 1) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐵 − 1) < 𝑦))
21	20	rexbidv 3260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝐵 − 1) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
22	19, 21	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = (𝐵 − 1) → ((𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
23	22	rspcv 3555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ ℝ → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
24	18, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
26		ltm1 11335	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) < 𝐵)
27		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦) → ((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
28	26, 27	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 1) < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
30	18	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
31		mnflt 12373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ ℝ → -∞ < (𝐵 − 1))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -∞ < (𝐵 − 1))
33		mnfxr 10550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
34	30	rexrd 10542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ*)
35		ssel2 3888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
36	35	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
37		xrlttr 12388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((-∞ < (𝐵 − 1) ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
38	33, 34, 36, 37	mp3an2i 1458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((-∞ < (𝐵 − 1) ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
39	32, 38	mpand 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝐵 − 1) < 𝑦 → -∞ < 𝑦))
40	39	reximdva 3237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦))
41	25, 29, 40	3syld 60	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦))
42	41	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦)))
43		1re 10492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
44		breq1 4969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 < 𝐵 ↔ 1 < 𝐵))
45		breq1 4969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 1 < 𝑦))
46	45	rexbidv 3260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 1 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 1 < 𝑦))
47	44, 46	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 1 → ((𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (1 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 1 < 𝑦)))
48	47	rspcv 3555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → (1 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 1 < 𝑦)))
49	43, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → (1 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 1 < 𝑦))
50		ltpnf 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
51	43, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 < +∞
52		breq2 4970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 = +∞ → (1 < 𝐵 ↔ 1 < +∞))
53	51, 52	mpbiri 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 = +∞ → 1 < 𝐵)
54		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 1 < 𝑦) → (1 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 1 < 𝑦))
55	53, 54	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 = +∞ → ((1 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 1 < 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 1 < 𝑦))
56		mnflt 12373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 ∈ ℝ → -∞ < 1)
57	43, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -∞ < 1
58		rexr 10538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
59	43, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℝ*
60		xrlttr 12388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 1 ∧ 1 < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
61	33, 59, 60	mp3an12 1443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → ((-∞ < 1 ∧ 1 < 𝑦) → -∞ < 𝑦))
62	57, 61	mpani 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (1 < 𝑦 → -∞ < 𝑦))
63	35, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (1 < 𝑦 → -∞ < 𝑦))
64	63	reximdva 3237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑦 ∈ 𝐴 1 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦))
65	55, 64	sylan9r 509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → ((1 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 1 < 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦))
66	49, 65	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦))
67	66	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 = +∞) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦)))
68		xrltnr 12369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
69	33, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ -∞ < -∞
70		breq2 4970	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < -∞))
71	69, 70	mtbiri 328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐵)
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ -∞ < 𝐵)
73	72	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦))
74	73	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦)))
75	42, 67, 74	3jaodan 1423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦)))
76	17, 75	sylan2b 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦)))
77	76	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦))
78		breq1 4969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝐵 ↔ -∞ < 𝐵))
79		breq1 4969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝑦 ↔ -∞ < 𝑦))
80	79	rexbidv 3260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -∞ → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦))
81	78, 80	imbi12d 346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -∞ → ((𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ (-∞ < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 -∞ < 𝑦)))
82	77, 81	syl5ibrcom 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))
83	82	a1dd 50	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 = -∞ → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))))
84	8, 16, 83	3jaod 1421	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞) → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))))
85	6, 84	syl5bi 243	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))))
86	85	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) → ((𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))))
87	86	ralimdv2 3143	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))
88	87	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))))
89	5, 88	syl5bi 243	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))))
90	89	pm2.43d 53	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))
91		rexr 10538	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
92	91	imim1i 63	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))
93	92	ralimi2 3124	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))
94	90, 93	impbid1 226	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ w3o 1079   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105  ∃wrex 3106   ⊆ wss 3863   class class class wbr 4966  (class class class)co 7021  ℝcr 10387  1c1 10389  +∞cpnf 10523  -∞cmnf 10524  ℝ^*cxr 10525   < clt 10526   − cmin 10722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-op 4483  df-uni 4750  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-id 5353  df-po 5367  df-so 5368  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725

This theorem is referenced by:  supxr  12561