MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrinfmsslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrinfmsslem 12696
Description: Lemma for xrinfmss 12698. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrinfmsslem ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem xrinfmsslem
StepHypRef Expression
1 raleq 3411 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥))
2 rexeq 3412 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → (∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))
32imbi2d 342 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)))
43ralbidv 3202 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)))
51, 4anbi12d 630 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))))
65rexbidv 3302 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))))
7 infm3 11594 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
8 rexr 10681 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
98anim1i 614 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
109reximi2 3249 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
117, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
12 elxr 12506 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ* ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∨ 𝑦 = +∞ ∨ 𝑦 = -∞))
13 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))) → (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
14 ssel 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑧𝐴𝑧 ∈ ℝ))
15 ltpnf 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 < +∞)
1614, 15syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑧𝐴𝑧 < +∞))
1716ancld 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑧𝐴 → (𝑧𝐴𝑧 < +∞)))
1817eximdv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑧 𝑧𝐴 → ∃𝑧(𝑧𝐴𝑧 < +∞)))
19 n0 4314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
20 df-rex 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞ ↔ ∃𝑧(𝑧𝐴𝑧 < +∞))
2118, 19, 203imtr4g 297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞))
2221imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞)
2322a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞))
2423ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 = +∞) → (𝑥 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞))
25 breq2 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = +∞ → (𝑥 < 𝑦𝑥 < +∞))
26 breq2 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = +∞ → (𝑧 < 𝑦𝑧 < +∞))
2726rexbidv 3302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = +∞ → (∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞))
2825, 27imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = +∞ → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞)))
2928adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 = +∞) → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞)))
3024, 29mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 = +∞) → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
3130ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 = +∞ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))) → (𝑦 = +∞ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
33 nltmnf 12519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ 𝑥 < -∞)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = -∞) → ¬ 𝑥 < -∞)
35 breq2 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = -∞ → (𝑥 < 𝑦𝑥 < -∞))
3635notbid 319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = -∞ → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 < -∞))
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = -∞) → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 < -∞))
3834, 37mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = -∞) → ¬ 𝑥 < 𝑦)
3938pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = -∞) → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
4039ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 = -∞ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
4140ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))) → (𝑦 = -∞ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
4213, 32, 413jaod 1422 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))) → ((𝑦 ∈ ℝ ∨ 𝑦 = +∞ ∨ 𝑦 = -∞) → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
4312, 42syl5bi 243 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))) → (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
4443ex 413 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
4544ralimdv2 3181 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
4645anim2d 611 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
4746reximdva 3279 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
48473adant3 1126 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
4911, 48mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
50493expa 1112 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
51 ralnex 3241 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
52 rexnal 3243 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
53 ssel2 3966 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
54 letric 10734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
5554ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
5655ord 860 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥𝑦𝑦𝑥))
5753, 56sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥𝑦𝑦𝑥))
5857an32s 648 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑥𝑦𝑦𝑥))
5958reximdva 3279 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥))
6052, 59syl5bir 244 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥))
6160ralimdva 3182 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥))
6261imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
6351, 62sylan2br 594 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
64 breq1 5066 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑥𝑧𝑥))
6564cbvrexvw 3456 . . . . . . . . 9 (∃𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥)
6665ralbii 3170 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥)
6763, 66sylib 219 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥)
68 mnfxr 10692 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
69 ssel 3965 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
70 rexr 10681 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
71 nltmnf 12519 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ 𝑦 < -∞)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → ¬ 𝑦 < -∞)
7369, 72syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑦 < -∞))
7473ralrimiv 3186 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞)
7574adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥) → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞)
76 peano2rem 10947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
77 breq2 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (𝑦 − 1) → (𝑧𝑥𝑧 ≤ (𝑦 − 1)))
7877rexbidv 3302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (𝑦 − 1) → (∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑦 − 1)))
7978rspcva 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑦 − 1))
8079adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ)) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑦 − 1))
8180ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑦 − 1) ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑦 − 1))
8276, 81sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑦 − 1))
83 ssel2 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
84 ltm1 11476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) < 𝑦)
8584adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 − 1) < 𝑦)
8676ancri 550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
87 lelttr 10725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ≤ (𝑦 − 1) ∧ (𝑦 − 1) < 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
88873expb 1114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑧 ≤ (𝑦 − 1) ∧ (𝑦 − 1) < 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
8986, 88sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ≤ (𝑦 − 1) ∧ (𝑦 − 1) < 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
9085, 89mpan2d 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ≤ (𝑦 − 1) → 𝑧 < 𝑦))
9183, 90sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ≤ (𝑦 − 1) → 𝑧 < 𝑦))
9291an32s 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ≤ (𝑦 − 1) → 𝑧 < 𝑦))
9392reximdva 3279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑦 − 1) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
9493adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑦 − 1) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
9582, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)
9695exp31 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ ℝ → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
9796a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝐴 ⊆ ℝ → (-∞ < 𝑦 → (𝑦 ∈ ℝ → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
9897com4r 94 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝐴 ⊆ ℝ → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
99 0re 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
100 breq2 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (𝑧𝑥𝑧 ≤ 0))
101100rexbidv 3302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → (∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ 0))
102101rspcva 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ 0)
10399, 102mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ 0)
10483, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 < +∞)
105104a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ≤ 0 → 𝑧 < +∞))
106105reximdva 3279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ 0 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞))
107103, 106mpan9 507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞)
108107, 27syl5ibr 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = +∞ → ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
109108a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = +∞ → ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ) → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
110109expd 416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = +∞ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝐴 ⊆ ℝ → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
111 xrltnr 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
11268, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ -∞ < -∞
113 breq2 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = -∞ → (-∞ < 𝑦 ↔ -∞ < -∞))
114112, 113mtbiri 328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = -∞ → ¬ -∞ < 𝑦)
115114pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = -∞ → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
1161152a1d 26 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = -∞ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝐴 ⊆ ℝ → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
11798, 110, 1163jaoi 1421 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∨ 𝑦 = +∞ ∨ 𝑦 = -∞) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝐴 ⊆ ℝ → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
11812, 117sylbi 218 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝐴 ⊆ ℝ → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
119118com13 88 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝑦 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
120119imp 407 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥) → (𝑦 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
121120ralrimiv 3186 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
12275, 121jca 512 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
123 breq2 5067 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -∞ → (𝑦 < 𝑥𝑦 < -∞))
124123notbid 319 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -∞ → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑦 < -∞))
125124ralbidv 3202 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -∞ → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞))
126 breq1 5066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝑦 ↔ -∞ < 𝑦))
127126imbi1d 343 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -∞ → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
128127ralbidv 3202 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -∞ → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
129125, 128anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -∞ → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
130129rspcev 3627 . . . . . . . 8 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
13168, 122, 130sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
13267, 131syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
133132adantlr 711 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
13450, 133pm2.61dan 809 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
135 pnfxr 10689 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
136 ral0 4459 . . . . . . 7 𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < +∞
137 pnfnlt 12518 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑦)
138137pm2.21d 121 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ* → (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))
139138rgen 3153 . . . . . . 7 𝑦 ∈ ℝ* (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)
140136, 139pm3.2i 471 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < +∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))
141 breq2 5067 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = +∞ → (𝑦 < 𝑥𝑦 < +∞))
142141notbid 319 . . . . . . . . 9 (𝑥 = +∞ → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
143142ralbidv 3202 . . . . . . . 8 (𝑥 = +∞ → (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < +∞))
144 breq1 5066 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝑦 ↔ +∞ < 𝑦))
145144imbi1d 343 . . . . . . . . 9 (𝑥 = +∞ → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦) ↔ (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)))
146145ralbidv 3202 . . . . . . . 8 (𝑥 = +∞ → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)))
147143, 146anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑥 = +∞ → ((∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < +∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))))
148147rspcev 3627 . . . . . 6 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < +∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)))
149135, 140, 148mp2an 688 . . . . 5 𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))
150149a1i 11 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)))
1516, 134, 150pm2.61ne 3107 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
152151adantl 482 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
153 ssel 3965 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ*))
154153, 71syl6 35 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑦 < -∞))
155154ralrimiv 3186 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞)
156 breq1 5066 . . . . . . 7 (𝑧 = -∞ → (𝑧 < 𝑦 ↔ -∞ < 𝑦))
157156rspcev 3627 . . . . . 6 ((-∞ ∈ 𝐴 ∧ -∞ < 𝑦) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)
158157ex 413 . . . . 5 (-∞ ∈ 𝐴 → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
159158ralrimivw 3188 . . . 4 (-∞ ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
160155, 159anim12i 612 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ 𝐴) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
16168, 160, 130sylancr 587 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
162152, 161jaodan 953 1 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  w3o 1080  w3a 1081   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  wrex 3144  wss 3940  c0 4295   class class class wbr 5063  (class class class)co 7150  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532  +∞cpnf 10666  -∞cmnf 10667  *cxr 10668   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867
This theorem is referenced by:  xrinfmss  12698
  Copyright terms: Public domain W3C validator