Theorem supxrunb1 13262

Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
supxrunb1	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem supxrunb1

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℝ*))
2		pnfnlt 13070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑧)
3	1, 2	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 ∈ 𝐴 → ¬ +∞ < 𝑧))
4	3	ralrimiv 3129	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧)
6		peano2re 11310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
7		breq1 5089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦))
8	7	rexbidv 3162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦))
9	8	rspcva 3563	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
10	9	adantrr 718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
11	10	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
12	6, 11	sylan2 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
13		ssel2 3917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14		ltp1 11986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 < (𝑧 + 1))
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑧 < (𝑧 + 1))
16	6	ancli 548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ))
17		rexr 11182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℝ*)
18		rexr 11182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 + 1) ∈ ℝ → (𝑧 + 1) ∈ ℝ*)
19		xrltletr 13099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
20	18, 19	syl3an2 1165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
21	17, 20	syl3an1 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
22	21	3expa 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
23	16, 22	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
24	15, 23	mpand 696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑧 < 𝑦))
25	24	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑧 < 𝑦))
26	13, 25	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑧 < 𝑦))
27	26	an32s 653	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑧 < 𝑦))
28	27	reximdva 3151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
29	28	adantll 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
30	12, 29	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)
31	30	exp31 419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
32	31	a1dd 50	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 < +∞ → (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
33	32	com4r 94	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
34	33	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
35	34	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
36	35	ralrimiv 3129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
37	5, 36	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
38		pnfxr 11190	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
39		supxr 13256	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
40	38, 39	mpanl2 702	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
41	37, 40	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
42	41	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
43		rexr 11182	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
44	43	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
45		ltpnf 13062	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
46		breq2 5090	. . . . . . . . 9 ⊢ (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ 𝑥 < +∞))
47	45, 46	imbitrrid 246	. . . . . . . 8 ⊢ (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < )))
48	47	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ))
49	48	adantll 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ))
50		xrltso 13083	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ*
51	50	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → < Or ℝ*)
52		xrsupss 13252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑤 < 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦)))
53	52	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑤 < 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦)))
54	51, 53	suplub 9366	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < )) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))
55	44, 49, 54	mp2and 700	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
56	55	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))
57	43	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
58	13	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
59		xrltle 13091	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
60	57, 58, 59	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 < 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
61	60	reximdva 3151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
62	56, 61	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
63	62	ralrimdva 3138	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
64	42, 63	impbid 212	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   Or wor 5531  (class class class)co 7360  supcsup 9346  ℝcr 11028  1c1 11030   + caddc 11032  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  supxrbnd1  13264  uzsup  13813  limsupval2  15433  limsupbnd2  15436  rlimuni  15503  rlimcld2  15531  rlimno1  15607  esumcvg  34246  suplesup  45787  liminfval2  46214