MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrunb1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrunb1 13300
Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrunb1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem supxrunb1
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3975 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧𝐴𝑧 ∈ ℝ*))
2 pnfnlt 13110 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑧)
31, 2syl6 35 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧𝐴 → ¬ +∞ < 𝑧))
43ralrimiv 3145 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧)
6 peano2re 11389 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
7 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦))
87rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦))
98rspcva 3610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑦𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
109adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦𝐴 ⊆ ℝ*)) → ∃𝑦𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
1110ancoms 459 . . . . . . . . . . . . 13 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
126, 11sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
13 ssel2 3977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14 ltp1 12056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 < (𝑧 + 1))
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑧 < (𝑧 + 1))
166ancli 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ))
17 rexr 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℝ*)
18 rexr 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 + 1) ∈ ℝ → (𝑧 + 1) ∈ ℝ*)
19 xrltletr 13138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
2018, 19syl3an2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
2117, 20syl3an1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
22213expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
2316, 22sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
2415, 23mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦𝑧 < 𝑦))
2524ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦𝑧 < 𝑦))
2613, 25sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦𝑧 < 𝑦))
2726an32s 650 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦𝑧 < 𝑦))
2827reximdva 3168 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))
2928adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))
3012, 29mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)
3130exp31 420 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3231a1dd 50 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 < +∞ → (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))))
3332com4r 94 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))))
3433com13 88 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))))
3534imp 407 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3635ralrimiv 3145 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))
375, 36jca 512 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)))
38 pnfxr 11270 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
39 supxr 13294 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
4038, 39mpanl2 699 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
4137, 40syldan 591 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
4241ex 413 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
43 rexr 11262 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
4443ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
45 ltpnf 13102 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
46 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ 𝑥 < +∞))
4745, 46imbitrrid 245 . . . . . . . 8 (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < )))
4847impcom 408 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ))
4948adantll 712 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ))
50 xrltso 13122 . . . . . . . 8 < Or ℝ*
5150a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → < Or ℝ*)
52 xrsupss 13290 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑤 < 𝑧 → ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦)))
5352ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑤 < 𝑧 → ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦)))
5451, 53suplub 9457 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < )) → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
5544, 49, 54mp2and 697 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
5655ex 413 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
5743ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5813adantlr 713 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
59 xrltle 13130 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦𝑥𝑦))
6057, 58, 59syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥 < 𝑦𝑥𝑦))
6160reximdva 3168 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
6256, 61syld 47 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
6362ralrimdva 3154 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
6442, 63impbid 211 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  wss 3948   class class class wbr 5148   Or wor 5587  (class class class)co 7411  supcsup 9437  cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115  +∞cpnf 11247  *cxr 11249   < clt 11250  cle 11251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449
This theorem is referenced by:  supxrbnd1  13302  uzsup  13830  limsupval2  15426  limsupbnd2  15429  rlimuni  15496  rlimcld2  15524  rlimno1  15602  esumcvg  33153  suplesup  44128  liminfval2  44563
  Copyright terms: Public domain W3C validator