MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrunb1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrunb1 13333
Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrunb1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem supxrunb1
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3970 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧𝐴𝑧 ∈ ℝ*))
2 pnfnlt 13143 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑧)
31, 2syl6 35 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧𝐴 → ¬ +∞ < 𝑧))
43ralrimiv 3134 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧)
54adantr 479 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧)
6 peano2re 11419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
7 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦))
87rexbidv 3168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦))
98rspcva 3604 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑦𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
109adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦𝐴 ⊆ ℝ*)) → ∃𝑦𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
1110ancoms 457 . . . . . . . . . . . . 13 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
126, 11sylan2 591 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
13 ssel2 3971 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14 ltp1 12087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 < (𝑧 + 1))
1514adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑧 < (𝑧 + 1))
166ancli 547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ))
17 rexr 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℝ*)
18 rexr 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 + 1) ∈ ℝ → (𝑧 + 1) ∈ ℝ*)
19 xrltletr 13171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
2018, 19syl3an2 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
2117, 20syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
22213expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
2316, 22sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
2415, 23mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦𝑧 < 𝑦))
2524ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦𝑧 < 𝑦))
2613, 25sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦𝑧 < 𝑦))
2726an32s 650 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦𝑧 < 𝑦))
2827reximdva 3157 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))
2928adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))
3012, 29mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)
3130exp31 418 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3231a1dd 50 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 < +∞ → (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))))
3332com4r 94 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))))
3433com13 88 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))))
3534imp 405 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3635ralrimiv 3134 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))
375, 36jca 510 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)))
38 pnfxr 11300 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
39 supxr 13327 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
4038, 39mpanl2 699 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
4137, 40syldan 589 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
4241ex 411 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
43 rexr 11292 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
4443ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
45 ltpnf 13135 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
46 breq2 5153 . . . . . . . . 9 (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ 𝑥 < +∞))
4745, 46imbitrrid 245 . . . . . . . 8 (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < )))
4847impcom 406 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ))
4948adantll 712 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ))
50 xrltso 13155 . . . . . . . 8 < Or ℝ*
5150a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → < Or ℝ*)
52 xrsupss 13323 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑤 < 𝑧 → ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦)))
5352ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑤 < 𝑧 → ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦)))
5451, 53suplub 9485 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < )) → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
5544, 49, 54mp2and 697 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
5655ex 411 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
5743ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5813adantlr 713 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
59 xrltle 13163 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦𝑥𝑦))
6057, 58, 59syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥 < 𝑦𝑥𝑦))
6160reximdva 3157 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
6256, 61syld 47 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
6362ralrimdva 3143 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
6442, 63impbid 211 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  wss 3944   class class class wbr 5149   Or wor 5589  (class class class)co 7419  supcsup 9465  cr 11139  1c1 11141   + caddc 11143  +∞cpnf 11277  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479
This theorem is referenced by:  supxrbnd1  13335  uzsup  13864  limsupval2  15460  limsupbnd2  15463  rlimuni  15530  rlimcld2  15558  rlimno1  15636  esumcvg  33833  suplesup  44856  liminfval2  45291
  Copyright terms: Public domain W3C validator