Theorem supxrunb1 13234

Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
supxrunb1	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem supxrunb1

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℝ*))
2		pnfnlt 13042	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑧)
3	1, 2	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 ∈ 𝐴 → ¬ +∞ < 𝑧))
4	3	ralrimiv 3127	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧)
6		peano2re 11306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
7		breq1 5101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦))
8	7	rexbidv 3160	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦))
9	8	rspcva 3574	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
10	9	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
11	10	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
12	6, 11	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
13		ssel2 3928	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14		ltp1 11981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 < (𝑧 + 1))
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑧 < (𝑧 + 1))
16	6	ancli 548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ))
17		rexr 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℝ*)
18		rexr 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 + 1) ∈ ℝ → (𝑧 + 1) ∈ ℝ*)
19		xrltletr 13071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
20	18, 19	syl3an2 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
21	17, 20	syl3an1 1163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
22	21	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
23	16, 22	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
24	15, 23	mpand 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑧 < 𝑦))
25	24	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑧 < 𝑦))
26	13, 25	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑧 < 𝑦))
27	26	an32s 652	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑧 < 𝑦))
28	27	reximdva 3149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
29	28	adantll 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
30	12, 29	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)
31	30	exp31 419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
32	31	a1dd 50	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 < +∞ → (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
33	32	com4r 94	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
34	33	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
35	34	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
36	35	ralrimiv 3127	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
37	5, 36	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
38		pnfxr 11186	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
39		supxr 13228	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
40	38, 39	mpanl2 701	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
41	37, 40	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
42	41	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
43		rexr 11178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
44	43	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
45		ltpnf 13034	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
46		breq2 5102	. . . . . . . . 9 ⊢ (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ 𝑥 < +∞))
47	45, 46	imbitrrid 246	. . . . . . . 8 ⊢ (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < )))
48	47	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ))
49	48	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ))
50		xrltso 13055	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ*
51	50	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → < Or ℝ*)
52		xrsupss 13224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑤 < 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦)))
53	52	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑤 < 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦)))
54	51, 53	suplub 9363	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < )) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))
55	44, 49, 54	mp2and 699	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
56	55	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))
57	43	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
58	13	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
59		xrltle 13063	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
60	57, 58, 59	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 < 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
61	60	reximdva 3149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
62	56, 61	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
63	62	ralrimdva 3136	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
64	42, 63	impbid 212	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098   Or wor 5531  (class class class)co 7358  supcsup 9343  ℝcr 11025  1c1 11027   + caddc 11029  +∞cpnf 11163  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367

This theorem is referenced by:  supxrbnd1  13236  uzsup  13783  limsupval2  15403  limsupbnd2  15406  rlimuni  15473  rlimcld2  15501  rlimno1  15577  esumcvg  34243  suplesup  45584  liminfval2  46012