Theorem supxrunb1 13489

Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
supxrunb1	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem supxrunb1

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℝ*))
2		pnfnlt 13297	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑧)
3	1, 2	syl6 36	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 ∈ 𝐴 → ¬ +∞ < 𝑧))
4	3	ralrimiv 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧)
6		peano2re 11522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
7		breq1 5111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦))
8	7	rexbidv 3190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑧 + 1) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦))
9	8	rspcva 3578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
10	9	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
11	10	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
12	6, 11	sylan2 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦)
13		ssel2 3908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14		ltp1 12197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 < (𝑧 + 1))
15	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑧 < (𝑧 + 1))
16	6	ancli 558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ))
17		rexr 11394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℝ*)
18		rexr 11394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 + 1) ∈ ℝ → (𝑧 + 1) ∈ ℝ*)
19		xrltletr 13326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
20	18, 19	syl3an2 1182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
21	17, 20	syl3an1 1181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
22	21	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
23	16, 22	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 < (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
24	15, 23	mpand 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑧 < 𝑦))
25	24	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑧 < 𝑦))
26	13, 25	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑧 < 𝑦))
27	26	an32s 665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → 𝑧 < 𝑦))
28	27	reximdva 3179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
29	28	adantll 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑧 + 1) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
30	12, 29	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)
31	30	exp31 425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
32	31	a1dd 51	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 < +∞ → (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
33	32	com4r 95	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
34	33	com13 89	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
35	34	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
36	35	ralrimiv 3157	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
37	5, 36	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
38		pnfxr 11402	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
39		supxr 13483	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
40	38, 39	mpanl2 714	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
41	37, 40	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
42	41	ex 418	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
43		rexr 11394	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
44	43	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
45		ltpnf 13289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
46		breq2 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ 𝑥 < +∞))
47	45, 46	imbitrrid 249	. . . . . . . 8 ⊢ (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < )))
48	47	impcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ))
49	48	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ))
50		xrltso 13310	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ*
51	50	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → < Or ℝ*)
52		xrsupss 13479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑤 < 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦)))
53	52	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑤 < 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦)))
54	51, 53	suplub 9489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < )) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))
55	44, 49, 54	mp2and 712	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
56	55	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))
57	43	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
58	13	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
59		xrltle 13318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
60	57, 58, 59	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 < 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
61	60	reximdva 3179	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
62	56, 61	syld 48	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
63	62	ralrimdva 3166	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
64	42, 63	impbid 215	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108   Or wor 5565  (class class class)co 7451  supcsup 9469  ℝcr 11238  1c1 11240   + caddc 11242  +∞cpnf 11379  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583

This theorem is used by:  supxrbnd1  13491  uzsup  14043  limsupval2  15691  limsupbnd2  15694  rlimuni  15761  rlimcld2  15789  rlimno1  15865  esumcvg  34829  suplesup  46624  liminfval2  47051