MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsupsslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsupsslem 13345
Description: Lemma for xrsupss 13347. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrsupsslem ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem xrsupsslem
StepHypRef Expression
1 raleq 3320 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦))
2 rexeq 3319 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → (∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))
32imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)))
43ralbidv 3175 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)))
51, 4anbi12d 632 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))))
65rexbidv 3176 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))))
7 sup3 12222 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
8 rexr 11304 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
98anim1i 615 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
109reximi2 3076 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
117, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
12 elxr 13155 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ* ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∨ 𝑦 = +∞ ∨ 𝑦 = -∞))
13 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
14 pnfnlt 13167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑥)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = +∞) → ¬ +∞ < 𝑥)
16 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = +∞ → (𝑦 < 𝑥 ↔ +∞ < 𝑥))
1716notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = +∞ → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ +∞ < 𝑥))
1817adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = +∞) → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ +∞ < 𝑥))
1915, 18mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = +∞) → ¬ 𝑦 < 𝑥)
2019pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = +∞) → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
2120ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 = +∞ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2221ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → (𝑦 = +∞ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
23 ssel 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑧𝐴𝑧 ∈ ℝ))
24 mnflt 13162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ ℝ → -∞ < 𝑧)
2523, 24syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑧𝐴 → -∞ < 𝑧))
2625ancld 550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑧𝐴 → (𝑧𝐴 ∧ -∞ < 𝑧)))
2726eximdv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑧 𝑧𝐴 → ∃𝑧(𝑧𝐴 ∧ -∞ < 𝑧)))
28 n0 4358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
29 df-rex 3068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧𝐴 ∧ -∞ < 𝑧))
3027, 28, 293imtr4g 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧))
3130imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧)
3231a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧))
3332ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 = -∞) → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧))
34 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = -∞ → (𝑦 < 𝑥 ↔ -∞ < 𝑥))
35 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = -∞ → (𝑦 < 𝑧 ↔ -∞ < 𝑧))
3635rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = -∞ → (∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧))
3734, 36imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = -∞ → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧)))
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 = -∞) → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧)))
3933, 38mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 = -∞) → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
4039ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 = -∞ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → (𝑦 = -∞ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4213, 22, 413jaod 1428 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → ((𝑦 ∈ ℝ ∨ 𝑦 = +∞ ∨ 𝑦 = -∞) → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4312, 42biimtrid 242 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4443ex 412 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
4544ralimdv2 3160 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4645anim2d 612 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
4746reximdva 3165 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
48473adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
4911, 48mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
50493expa 1117 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
51 ralnex 3069 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
52 rexnal 3097 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑥 ↔ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
53 ssel2 3989 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
54 letric 11358 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦𝑥𝑥𝑦))
5554ord 864 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑦𝑥𝑥𝑦))
5653, 55sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑦𝑥𝑥𝑦))
5756an32s 652 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑦𝑥𝑥𝑦))
5857reximdva 3165 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5952, 58biimtrrid 243 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
6059ralimdva 3164 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
6160imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
6251, 61sylan2br 595 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
63 breq2 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝑦𝑥𝑧))
6463cbvrexvw 3235 . . . . . . . . 9 (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧)
6564ralbii 3090 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧)
6662, 65sylib 218 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧)
67 pnfxr 11312 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
68 ssel 3988 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
69 rexr 11304 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
70 pnfnlt 13167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑦)
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → ¬ +∞ < 𝑦)
7268, 71syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴 → ¬ +∞ < 𝑦))
7372ralrimiv 3142 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → ∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦)
7473adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧) → ∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦)
75 peano2re 11431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
76 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝑧 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧))
7776rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 (𝑦 + 1) ≤ 𝑧))
7877rspcva 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧) → ∃𝑧𝐴 (𝑦 + 1) ≤ 𝑧)
7978adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ)) → ∃𝑧𝐴 (𝑦 + 1) ≤ 𝑧)
8079ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 (𝑦 + 1) ≤ 𝑧)
8175, 80sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 (𝑦 + 1) ≤ 𝑧)
82 ssel2 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
83 ltp1 12104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑦 + 1))
8483adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
8575ancli 548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ))
86 ltletr 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
87863expa 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
8885, 87sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
8984, 88mpand 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧𝑦 < 𝑧))
9089ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧𝑦 < 𝑧))
9182, 90sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧𝑦 < 𝑧))
9291an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧𝑦 < 𝑧))
9392reximdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 (𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
9493adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 (𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
9581, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
9695exp31 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ ℝ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
9796a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 < +∞ → (𝑦 ∈ ℝ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
9897com4r 94 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
99 xrltnr 13158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (+∞ ∈ ℝ* → ¬ +∞ < +∞)
10067, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ +∞ < +∞
101 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = +∞ → (𝑦 < +∞ ↔ +∞ < +∞))
102100, 101mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = +∞ → ¬ 𝑦 < +∞)
103102pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = +∞ → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
1041032a1d 26 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = +∞ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
105 0re 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
106 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑧))
107106rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → (∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 0 ≤ 𝑧))
108107rspcva 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧) → ∃𝑧𝐴 0 ≤ 𝑧)
109105, 108mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → ∃𝑧𝐴 0 ≤ 𝑧)
11082, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) → -∞ < 𝑧)
111110a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) → (0 ≤ 𝑧 → -∞ < 𝑧))
112111reximdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑧𝐴 0 ≤ 𝑧 → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧))
113109, 112mpan9 506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ) → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧)
114113, 36imbitrrid 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = -∞ → ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
115114a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = -∞ → ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
116115expd 415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = -∞ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
11798, 104, 1163jaoi 1427 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∨ 𝑦 = +∞ ∨ 𝑦 = -∞) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
11812, 117sylbi 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
119118com13 88 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
120119imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
121120ralrimiv 3142 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
12274, 121jca 511 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧) → (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
123 breq1 5150 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝑦 ↔ +∞ < 𝑦))
124123notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = +∞ → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ +∞ < 𝑦))
125124ralbidv 3175 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = +∞ → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦))
126 breq2 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = +∞ → (𝑦 < 𝑥𝑦 < +∞))
127126imbi1d 341 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = +∞ → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
128127ralbidv 3175 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = +∞ → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
129125, 128anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑥 = +∞ → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
130129rspcev 3621 . . . . . . . 8 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
13167, 122, 130sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
13266, 131syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
133132adantlr 715 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
13450, 133pm2.61dan 813 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
135 mnfxr 11315 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
136 ral0 4518 . . . . . . 7 𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦
137 nltmnf 13168 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ 𝑦 < -∞)
138137pm2.21d 121 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))
139138rgen 3060 . . . . . . 7 𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)
140136, 139pm3.2i 470 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))
141 breq1 5150 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝑦 ↔ -∞ < 𝑦))
142141notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -∞ → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
143142ralbidv 3175 . . . . . . . 8 (𝑥 = -∞ → (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦))
144 breq2 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -∞ → (𝑦 < 𝑥𝑦 < -∞))
145144imbi1d 341 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -∞ → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)))
146145ralbidv 3175 . . . . . . . 8 (𝑥 = -∞ → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)))
147143, 146anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑥 = -∞ → ((∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))))
148147rspcev 3621 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)))
149135, 140, 148mp2an 692 . . . . 5 𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))
150149a1i 11 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)))
1516, 134, 150pm2.61ne 3024 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
152151adantl 481 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
153 ssel 3988 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ*))
154153, 70syl6 35 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦𝐴 → ¬ +∞ < 𝑦))
155154ralrimiv 3142 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦)
156 breq2 5151 . . . . . . 7 (𝑧 = +∞ → (𝑦 < 𝑧𝑦 < +∞))
157156rspcev 3621 . . . . . 6 ((+∞ ∈ 𝐴𝑦 < +∞) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
158157ex 412 . . . . 5 (+∞ ∈ 𝐴 → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
159158ralrimivw 3147 . . . 4 (+∞ ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
160155, 159anim12i 613 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
16167, 160, 130sylancr 587 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
162152, 161jaodan 959 1 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  wss 3962  c0 4338   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  +∞cpnf 11289  -∞cmnf 11290  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492
This theorem is referenced by:  xrsupss  13347
  Copyright terms: Public domain W3C validator