MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsupsslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsupsslem 13041
Description: Lemma for xrsupss 13043. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrsupsslem ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem xrsupsslem
StepHypRef Expression
1 raleq 3342 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦))
2 rexeq 3343 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → (∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))
32imbi2d 341 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)))
43ralbidv 3112 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)))
51, 4anbi12d 631 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))))
65rexbidv 3226 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))))
7 sup3 11932 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
8 rexr 11021 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
98anim1i 615 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
109reximi2 3175 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
117, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
12 elxr 12852 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ* ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∨ 𝑦 = +∞ ∨ 𝑦 = -∞))
13 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
14 pnfnlt 12864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑥)
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = +∞) → ¬ +∞ < 𝑥)
16 breq1 5077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = +∞ → (𝑦 < 𝑥 ↔ +∞ < 𝑥))
1716notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = +∞ → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ +∞ < 𝑥))
1817adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = +∞) → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ +∞ < 𝑥))
1915, 18mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = +∞) → ¬ 𝑦 < 𝑥)
2019pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = +∞) → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
2120ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 = +∞ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2221ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → (𝑦 = +∞ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
23 ssel 3914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑧𝐴𝑧 ∈ ℝ))
24 mnflt 12859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ ℝ → -∞ < 𝑧)
2523, 24syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑧𝐴 → -∞ < 𝑧))
2625ancld 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑧𝐴 → (𝑧𝐴 ∧ -∞ < 𝑧)))
2726eximdv 1920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑧 𝑧𝐴 → ∃𝑧(𝑧𝐴 ∧ -∞ < 𝑧)))
28 n0 4280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
29 df-rex 3070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧𝐴 ∧ -∞ < 𝑧))
3027, 28, 293imtr4g 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧))
3130imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧)
3231a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧))
3332ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 = -∞) → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧))
34 breq1 5077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = -∞ → (𝑦 < 𝑥 ↔ -∞ < 𝑥))
35 breq1 5077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = -∞ → (𝑦 < 𝑧 ↔ -∞ < 𝑧))
3635rexbidv 3226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = -∞ → (∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧))
3734, 36imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = -∞ → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧)))
3837adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 = -∞) → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (-∞ < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧)))
3933, 38mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 = -∞) → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
4039ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 = -∞ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → (𝑦 = -∞ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4213, 22, 413jaod 1427 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → ((𝑦 ∈ ℝ ∨ 𝑦 = +∞ ∨ 𝑦 = -∞) → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4312, 42syl5bi 241 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4443ex 413 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
4544ralimdv2 3107 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4645anim2d 612 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
4746reximdva 3203 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
48473adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
4911, 48mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
50493expa 1117 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
51 ralnex 3167 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
52 rexnal 3169 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑥 ↔ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
53 ssel2 3916 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
54 letric 11075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦𝑥𝑥𝑦))
5554ord 861 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑦𝑥𝑥𝑦))
5653, 55sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑦𝑥𝑥𝑦))
5756an32s 649 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑦𝑥𝑥𝑦))
5857reximdva 3203 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
5952, 58syl5bir 242 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
6059ralimdva 3108 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
6160imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
6251, 61sylan2br 595 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
63 breq2 5078 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝑦𝑥𝑧))
6463cbvrexvw 3384 . . . . . . . . 9 (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧)
6564ralbii 3092 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧)
6662, 65sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧)
67 pnfxr 11029 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
68 ssel 3914 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
69 rexr 11021 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
70 pnfnlt 12864 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑦)
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → ¬ +∞ < 𝑦)
7268, 71syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴 → ¬ +∞ < 𝑦))
7372ralrimiv 3102 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → ∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦)
7473adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧) → ∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦)
75 peano2re 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
76 breq1 5077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝑧 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧))
7776rexbidv 3226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 (𝑦 + 1) ≤ 𝑧))
7877rspcva 3559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧) → ∃𝑧𝐴 (𝑦 + 1) ≤ 𝑧)
7978adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ)) → ∃𝑧𝐴 (𝑦 + 1) ≤ 𝑧)
8079ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 (𝑦 + 1) ≤ 𝑧)
8175, 80sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 (𝑦 + 1) ≤ 𝑧)
82 ssel2 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
83 ltp1 11815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑦 + 1))
8483adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
8575ancli 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ))
86 ltletr 11067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
87863expa 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
8885, 87sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑧) → 𝑦 < 𝑧))
8984, 88mpand 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧𝑦 < 𝑧))
9089ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧𝑦 < 𝑧))
9182, 90sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧𝑦 < 𝑧))
9291an32s 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑧𝑦 < 𝑧))
9392reximdva 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 (𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
9493adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 (𝑦 + 1) ≤ 𝑧 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
9581, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
9695exp31 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ ℝ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
9796a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 < +∞ → (𝑦 ∈ ℝ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
9897com4r 94 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
99 xrltnr 12855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (+∞ ∈ ℝ* → ¬ +∞ < +∞)
10067, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ +∞ < +∞
101 breq1 5077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = +∞ → (𝑦 < +∞ ↔ +∞ < +∞))
102100, 101mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = +∞ → ¬ 𝑦 < +∞)
103102pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = +∞ → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
1041032a1d 26 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = +∞ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
105 0re 10977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
106 breq1 5077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑧))
107106rexbidv 3226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → (∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 0 ≤ 𝑧))
108107rspcva 3559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧) → ∃𝑧𝐴 0 ≤ 𝑧)
109105, 108mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → ∃𝑧𝐴 0 ≤ 𝑧)
11082, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) → -∞ < 𝑧)
111110a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) → (0 ≤ 𝑧 → -∞ < 𝑧))
112111reximdva 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑧𝐴 0 ≤ 𝑧 → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧))
113109, 112mpan9 507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ) → ∃𝑧𝐴 -∞ < 𝑧)
114113, 36syl5ibr 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = -∞ → ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
115114a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = -∞ → ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
116115expd 416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = -∞ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
11798, 104, 1163jaoi 1426 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∨ 𝑦 = +∞ ∨ 𝑦 = -∞) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
11812, 117sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
119118com13 88 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
120119imp 407 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
121120ralrimiv 3102 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
12274, 121jca 512 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧) → (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
123 breq1 5077 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝑦 ↔ +∞ < 𝑦))
124123notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = +∞ → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ +∞ < 𝑦))
125124ralbidv 3112 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = +∞ → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦))
126 breq2 5078 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = +∞ → (𝑦 < 𝑥𝑦 < +∞))
127126imbi1d 342 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = +∞ → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
128127ralbidv 3112 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = +∞ → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
129125, 128anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑥 = +∞ → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
130129rspcev 3561 . . . . . . . 8 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
13167, 122, 130sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
13266, 131syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
133132adantlr 712 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
13450, 133pm2.61dan 810 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
135 mnfxr 11032 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
136 ral0 4443 . . . . . . 7 𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦
137 nltmnf 12865 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ 𝑦 < -∞)
138137pm2.21d 121 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))
139138rgen 3074 . . . . . . 7 𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)
140136, 139pm3.2i 471 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))
141 breq1 5077 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝑦 ↔ -∞ < 𝑦))
142141notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -∞ → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
143142ralbidv 3112 . . . . . . . 8 (𝑥 = -∞ → (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦))
144 breq2 5078 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -∞ → (𝑦 < 𝑥𝑦 < -∞))
145144imbi1d 342 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -∞ → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)))
146145ralbidv 3112 . . . . . . . 8 (𝑥 = -∞ → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)))
147143, 146anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑥 = -∞ → ((∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))))
148147rspcev 3561 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ -∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < -∞ → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)))
149135, 140, 148mp2an 689 . . . . 5 𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧))
150149a1i 11 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑦 < 𝑧)))
1516, 134, 150pm2.61ne 3030 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
152151adantl 482 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
153 ssel 3914 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ*))
154153, 70syl6 35 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦𝐴 → ¬ +∞ < 𝑦))
155154ralrimiv 3102 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦)
156 breq2 5078 . . . . . . 7 (𝑧 = +∞ → (𝑦 < 𝑧𝑦 < +∞))
157156rspcev 3561 . . . . . 6 ((+∞ ∈ 𝐴𝑦 < +∞) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
158157ex 413 . . . . 5 (+∞ ∈ 𝐴 → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
159158ralrimivw 3104 . . . 4 (+∞ ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
160155, 159anim12i 613 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
16167, 160, 130sylancr 587 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
162152, 161jaodan 955 1 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1539  wex 1782  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3065  wss 3887  c0 4256   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874  +∞cpnf 11006  -∞cmnf 11007  *cxr 11008   < clt 11009  cle 11010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208
This theorem is referenced by:  xrsupss  13043
  Copyright terms: Public domain W3C validator