MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qbtwnxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qbtwnxr 13111
Description: The rational numbers are dense in *: any two extended real numbers have a rational between them. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
qbtwnxr ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qbtwnxr
StepHypRef Expression
1 elxr 13029 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 elxr 13029 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3 qbtwnre 13110 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
433expia 1121 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
5 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 peano2re 11324 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
76adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
8 ltp1 11991 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
98adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 < (𝐴 + 1))
10 qbtwnre 13110 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝐴 + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)))
115, 7, 9, 10syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)))
12 qre 12870 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
1312ltpnfd 13034 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 < +∞)
1413adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝑥 < +∞)
15 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐵 = +∞)
1614, 15breqtrrd 5131 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝑥 < 𝐵)
1716a1d 25 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → (𝑥 < (𝐴 + 1) → 𝑥 < 𝐵))
1817anim2d 612 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
1918reximdva 3163 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2011, 19mpd 15 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
2120a1d 25 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
22 rexr 11197 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
23 breq2 5107 . . . . . . . . 9 (𝐵 = -∞ → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
2423adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
25 nltmnf 13042 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
2625adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
2726pm2.21d 121 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐴 < -∞ → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2824, 27sylbid 239 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2922, 28sylan 580 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
304, 21, 293jaodan 1430 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
312, 30sylan2b 594 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
32 breq1 5106 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
3332adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
34 pnfnlt 13041 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
3534adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ +∞ < 𝐵)
3635pm2.21d 121 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
3733, 36sylbid 239 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
38 peano2rem 11464 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
3938adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
40 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
41 ltm1 11993 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) < 𝐵)
4241adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 1) < 𝐵)
43 qbtwnre 13110 . . . . . . . . 9 (((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐵 − 1) < 𝑥𝑥 < 𝐵))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐵 − 1) < 𝑥𝑥 < 𝐵))
45 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐴 = -∞)
4612adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝑥 ∈ ℝ)
4746mnfltd 13037 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → -∞ < 𝑥)
4845, 47eqbrtrd 5125 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐴 < 𝑥)
4948a1d 25 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝐵 − 1) < 𝑥𝐴 < 𝑥))
5049anim1d 611 . . . . . . . . 9 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → (((𝐵 − 1) < 𝑥𝑥 < 𝐵) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
5150reximdva 3163 . . . . . . . 8 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐵 − 1) < 𝑥𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
5244, 51mpd 15 . . . . . . 7 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
5352a1d 25 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
54 1re 11151 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
55 mnflt 13036 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ → -∞ < 1)
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . 9 -∞ < 1
57 breq1 5106 . . . . . . . . 9 (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 1 ↔ -∞ < 1))
5856, 57mpbiri 257 . . . . . . . 8 (𝐴 = -∞ → 𝐴 < 1)
59 ltpnf 13033 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
6054, 59ax-mp 5 . . . . . . . . 9 1 < +∞
61 breq2 5107 . . . . . . . . 9 (𝐵 = +∞ → (1 < 𝐵 ↔ 1 < +∞))
6260, 61mpbiri 257 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → 1 < 𝐵)
63 1z 12529 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
64 zq 12871 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℚ
66 breq2 5107 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝐴 < 𝑥𝐴 < 1))
67 breq1 5106 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 1 < 𝐵))
6866, 67anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵)))
6968rspcev 3579 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
7065, 69mpan 688 . . . . . . . 8 ((𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
7158, 62, 70syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
7271a1d 25 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
73 3mix3 1332 . . . . . . . 8 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
7473, 1sylibr 233 . . . . . . 7 (𝐴 = -∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7574, 28sylan 580 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
7653, 72, 753jaodan 1430 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
772, 76sylan2b 594 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
7831, 37, 773jaoian 1429 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
791, 78sylanb 581 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
80793impia 1117 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3071   class class class wbr 5103  (class class class)co 7353  cr 11046  1c1 11048   + caddc 11050  +∞cpnf 11182  -∞cmnf 11183  *cxr 11184   < clt 11185  cmin 11381  cz 12495  cq 12865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-q 12866
This theorem is referenced by:  qextltlem  13113  xralrple  13116  ixxub  13277  ixxlb  13278  ioo0  13281  ico0  13302  ioc0  13303  blssps  23761  blss  23762  blcld  23845  qdensere  24117  tgqioo  24147  dvlip2  25343  lhop2  25363  itgsubst  25397  itg2gt0cn  36100  qinioo  43705  qelioo  43716  qndenserrnbllem  44467
  Copyright terms: Public domain W3C validator