MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qbtwnxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qbtwnxr 13214
Description: The rational numbers are dense in *: any two extended real numbers have a rational between them. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
qbtwnxr ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qbtwnxr
StepHypRef Expression
1 elxr 13131 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 elxr 13131 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3 qbtwnre 13213 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
433expia 1118 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
5 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 peano2re 11419 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
76adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
8 ltp1 12087 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
98adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 < (𝐴 + 1))
10 qbtwnre 13213 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝐴 + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)))
115, 7, 9, 10syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)))
12 qre 12970 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
1312ltpnfd 13136 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 < +∞)
1413adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝑥 < +∞)
15 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐵 = +∞)
1614, 15breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝑥 < 𝐵)
1716a1d 25 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → (𝑥 < (𝐴 + 1) → 𝑥 < 𝐵))
1817anim2d 610 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
1918reximdva 3157 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2011, 19mpd 15 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
2120a1d 25 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
22 rexr 11292 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
23 breq2 5153 . . . . . . . . 9 (𝐵 = -∞ → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
2423adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
25 nltmnf 13144 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
2625adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
2726pm2.21d 121 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐴 < -∞ → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2824, 27sylbid 239 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2922, 28sylan 578 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
304, 21, 293jaodan 1427 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
312, 30sylan2b 592 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
32 breq1 5152 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
3332adantr 479 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
34 pnfnlt 13143 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
3534adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ +∞ < 𝐵)
3635pm2.21d 121 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
3733, 36sylbid 239 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
38 peano2rem 11559 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
3938adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
40 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
41 ltm1 12089 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) < 𝐵)
4241adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 1) < 𝐵)
43 qbtwnre 13213 . . . . . . . . 9 (((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐵 − 1) < 𝑥𝑥 < 𝐵))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐵 − 1) < 𝑥𝑥 < 𝐵))
45 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐴 = -∞)
4612adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝑥 ∈ ℝ)
4746mnfltd 13139 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → -∞ < 𝑥)
4845, 47eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐴 < 𝑥)
4948a1d 25 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝐵 − 1) < 𝑥𝐴 < 𝑥))
5049anim1d 609 . . . . . . . . 9 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → (((𝐵 − 1) < 𝑥𝑥 < 𝐵) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
5150reximdva 3157 . . . . . . . 8 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐵 − 1) < 𝑥𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
5244, 51mpd 15 . . . . . . 7 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
5352a1d 25 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
54 1re 11246 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
55 mnflt 13138 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ → -∞ < 1)
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . 9 -∞ < 1
57 breq1 5152 . . . . . . . . 9 (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 1 ↔ -∞ < 1))
5856, 57mpbiri 257 . . . . . . . 8 (𝐴 = -∞ → 𝐴 < 1)
59 ltpnf 13135 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
6054, 59ax-mp 5 . . . . . . . . 9 1 < +∞
61 breq2 5153 . . . . . . . . 9 (𝐵 = +∞ → (1 < 𝐵 ↔ 1 < +∞))
6260, 61mpbiri 257 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → 1 < 𝐵)
63 1z 12625 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
64 zq 12971 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℚ
66 breq2 5153 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝐴 < 𝑥𝐴 < 1))
67 breq1 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 1 < 𝐵))
6866, 67anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵)))
6968rspcev 3606 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
7065, 69mpan 688 . . . . . . . 8 ((𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
7158, 62, 70syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
7271a1d 25 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
73 3mix3 1329 . . . . . . . 8 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
7473, 1sylibr 233 . . . . . . 7 (𝐴 = -∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7574, 28sylan 578 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
7653, 72, 753jaodan 1427 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
772, 76sylan2b 592 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
7831, 37, 773jaoian 1426 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
791, 78sylanb 579 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
80793impia 1114 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3o 1083  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3059   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  cr 11139  1c1 11141   + caddc 11143  +∞cpnf 11277  -∞cmnf 11278  *cxr 11279   < clt 11280  cmin 11476  cz 12591  cq 12965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966
This theorem is referenced by:  qextltlem  13216  xralrple  13219  ixxub  13380  ixxlb  13381  ioo0  13384  ico0  13405  ioc0  13406  blssps  24374  blss  24375  blcld  24458  qdensere  24730  tgqioo  24760  dvlip2  25972  lhop2  25992  itgsubst  26028  itg2gt0cn  37279  qinioo  45058  qelioo  45069  qndenserrnbllem  45820
  Copyright terms: Public domain W3C validator