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Theorem metdstri 24136
Description: A generalization of the triangle inequality to the point-set distance function. Under the usual notation where the same symbol 𝑑 denotes the point-point and point-set distance functions, this theorem would be written 𝑑(π‘Ž, 𝑆) ≀ 𝑑(π‘Ž, 𝑏) + 𝑑(𝑏, 𝑆). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdstri (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem metdstri
StepHypRef Expression
1 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ)
3 rexsub 13081 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) = ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡)))
41, 2, 3syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) = ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡)))
54oveq2d 7366 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) = (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡))))
6 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
76adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
8 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
98adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
10 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
1110adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
121, 2resubcld 11517 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ)
132leidd 11655 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
14 xmetsym 23622 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (𝐡𝐷𝐴))
156, 10, 8, 14syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (𝐡𝐷𝐴))
1615adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (𝐡𝐷𝐴))
1716eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐡))
181recnd 11117 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
192recnd 11117 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ β„‚)
2018, 19nncand 11451 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡))) = (𝐴𝐷𝐡))
2113, 17, 203brtr4d 5136 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐡𝐷𝐴) ≀ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡))))
22 blss2 23679 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ (𝐡𝐷𝐴) ≀ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡))))) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
237, 9, 11, 12, 1, 21, 22syl33anc 1386 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
245, 23eqsstrd 3981 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
2524expr 458 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))))
266adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
278adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
28 metdscn.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2928metdsf 24133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
3029adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
3130, 10ffvelcdmd 7031 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
32 eliccxr 13281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
3433adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
35 xmetcl 23606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
366, 10, 8, 35syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
3736adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
3837xnegcld 13148 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ -𝑒(𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
3934, 38xaddcld 13149 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ*)
4039adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ*)
41 pnfxr 11143 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
43 pnfge 12980 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ +∞)
4440, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ +∞)
45 ssbl 23698 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ +∞) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐡(ballβ€˜π·)+∞))
4626, 27, 40, 42, 44, 45syl221anc 1382 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐡(ballβ€˜π·)+∞))
47 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (πΉβ€˜π΄) = +∞)
4847oveq2d 7366 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) = (𝐴(ballβ€˜π·)+∞))
4910adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
50 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ)
51 xblpnf 23671 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)+∞) ↔ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ)))
5226, 49, 51syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (𝐡 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)+∞) ↔ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ)))
5327, 50, 52mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)+∞))
54 blpnfctr 23711 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)+∞) = (𝐡(ballβ€˜π·)+∞))
5526, 49, 53, 54syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)+∞) = (𝐡(ballβ€˜π·)+∞))
5648, 55eqtr2d 2779 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)+∞) = (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
5746, 56sseqtrd 3983 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
5857expr 458 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄) = +∞ β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))))
59 elxrge0 13303 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄)))
6059simprbi 498 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
6131, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
62 ge0nemnf 13021 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄)) β†’ (πΉβ€˜π΄) β‰  -∞)
6333, 61, 62syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) β‰  -∞)
6433, 63jca 513 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) β‰  -∞))
6564adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) β‰  -∞))
66 xrnemnf 12967 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) β‰  -∞) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ ∨ (πΉβ€˜π΄) = +∞))
6765, 66sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ ∨ (πΉβ€˜π΄) = +∞))
6825, 58, 67mpjaod 859 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
69 pnfnlt 12978 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* β†’ Β¬ +∞ < (πΉβ€˜π΄))
7033, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ Β¬ +∞ < (πΉβ€˜π΄))
7170adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) = +∞) β†’ Β¬ +∞ < (πΉβ€˜π΄))
7236xnegcld 13148 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ -𝑒(𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
7333, 72xaddcld 13149 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ*)
74 xbln0 23689 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) β‰  βˆ… ↔ 0 < ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))))
756, 8, 73, 74syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) β‰  βˆ… ↔ 0 < ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))))
76 xposdif 13110 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) < (πΉβ€˜π΄) ↔ 0 < ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))))
7736, 33, 76syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) < (πΉβ€˜π΄) ↔ 0 < ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))))
7875, 77bitr4d 282 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) β‰  βˆ… ↔ (𝐴𝐷𝐡) < (πΉβ€˜π΄)))
79 breq1 5107 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐷𝐡) = +∞ β†’ ((𝐴𝐷𝐡) < (πΉβ€˜π΄) ↔ +∞ < (πΉβ€˜π΄)))
8078, 79sylan9bb 511 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) = +∞) β†’ ((𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) β‰  βˆ… ↔ +∞ < (πΉβ€˜π΄)))
8180necon1bbid 2982 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) = +∞) β†’ (Β¬ +∞ < (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) = βˆ…))
8271, 81mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) = +∞) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) = βˆ…)
83 0ss 4355 . . . . . . . 8 βˆ… βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))
8482, 83eqsstrdi 3997 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) = +∞) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
85 xmetge0 23619 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))
866, 10, 8, 85syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))
87 ge0nemnf 13021 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) β‰  -∞)
8836, 86, 87syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) β‰  -∞)
8936, 88jca 513 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐡) β‰  -∞))
90 xrnemnf 12967 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐡) β‰  -∞) ↔ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∨ (𝐴𝐷𝐡) = +∞))
9189, 90sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∨ (𝐴𝐷𝐡) = +∞))
9268, 84, 91mpjaodan 958 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
93 sslin 4193 . . . . . 6 ((𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) β†’ (𝑆 ∩ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)))) βŠ† (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))))
9492, 93syl 17 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑆 ∩ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)))) βŠ† (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))))
9533xrleidd 13000 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄))
96 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
9728metdsge 24134 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…))
986, 96, 10, 33, 97syl31anc 1374 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…))
9995, 98mpbid 231 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…)
100 sseq0 4358 . . . . 5 (((𝑆 ∩ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)))) βŠ† (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) ∧ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…) β†’ (𝑆 ∩ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)))) = βˆ…)
10194, 99, 100syl2anc 585 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑆 ∩ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)))) = βˆ…)
10228metdsge 24134 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ*) β†’ (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ (πΉβ€˜π΅) ↔ (𝑆 ∩ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)))) = βˆ…))
1036, 96, 8, 73, 102syl31anc 1374 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ (πΉβ€˜π΅) ↔ (𝑆 ∩ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)))) = βˆ…))
104101, 103mpbird 257 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ (πΉβ€˜π΅))
10530, 8ffvelcdmd 7031 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
106 eliccxr 13281 . . . . 5 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
107105, 106syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
108 elxrge0 13303 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)))
109108simprbi 498 . . . . 5 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅))
110105, 109syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅))
111 xlesubadd 13111 . . . 4 ((((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ (πΉβ€˜π΄) ∧ (𝐴𝐷𝐡) β‰  -∞ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅))) β†’ (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ (πΉβ€˜π΅) ↔ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((πΉβ€˜π΅) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡))))
11233, 36, 107, 61, 88, 110, 111syl33anc 1386 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ (πΉβ€˜π΅) ↔ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((πΉβ€˜π΅) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡))))
113104, 112mpbid 231 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((πΉβ€˜π΅) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡)))
114 xaddcom 13088 . . 3 (((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π΅) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡)) = ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅)))
115107, 36, 114syl2anc 585 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΅) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡)) = ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅)))
116113, 115breqtrd 5130 1 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2942   ∩ cin 3908   βŠ† wss 3909  βˆ…c0 4281   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5187  ran crn 5632  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  infcinf 9311  β„cr 10984  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  -∞cmnf 11121  β„*cxr 11122   < clt 11123   ≀ cle 11124   βˆ’ cmin 11319  -𝑒cxne 12959   +𝑒 cxad 12960  [,]cicc 13196  βˆžMetcxmet 20704  ballcbl 20706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-er 8582  df-ec 8584  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-2 12150  df-rp 12845  df-xneg 12962  df-xadd 12963  df-xmul 12964  df-icc 13200  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-bl 20714
This theorem is referenced by:  metdsle  24137  metdscnlem  24140  metnrmlem1  24144
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