Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simprr 772 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) β β)) β (πΉβπ΄) β β) |
2 | | simprl 770 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) β β)) β (π΄π·π΅) β β) |
3 | | rexsub 13081 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΉβπ΄) β β β§ (π΄π·π΅) β β) β ((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)) = ((πΉβπ΄) β (π΄π·π΅))) |
4 | 1, 2, 3 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) β β)) β ((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)) = ((πΉβπ΄) β (π΄π·π΅))) |
5 | 4 | oveq2d 7366 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) β β)) β (π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅))) = (π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) β (π΄π·π΅)))) |
6 | | simpll 766 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β π· β (βMetβπ)) |
7 | 6 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) β β)) β π· β (βMetβπ)) |
8 | | simprr 772 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β π΅ β π) |
9 | 8 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) β β)) β π΅ β π) |
10 | | simprl 770 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β π΄ β π) |
11 | 10 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) β β)) β π΄ β π) |
12 | 1, 2 | resubcld 11517 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) β β)) β ((πΉβπ΄) β (π΄π·π΅)) β β) |
13 | 2 | leidd 11655 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) β β)) β (π΄π·π΅) β€ (π΄π·π΅)) |
14 | | xmetsym 23622 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π· β (βMetβπ) β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (π΄π·π΅) = (π΅π·π΄)) |
15 | 6, 10, 8, 14 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β (π΄π·π΅) = (π΅π·π΄)) |
16 | 15 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) β β)) β (π΄π·π΅) = (π΅π·π΄)) |
17 | 16 | eqcomd 2744 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) β β)) β (π΅π·π΄) = (π΄π·π΅)) |
18 | 1 | recnd 11117 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) β β)) β (πΉβπ΄) β β) |
19 | 2 | recnd 11117 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) β β)) β (π΄π·π΅) β β) |
20 | 18, 19 | nncand 11451 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) β β)) β ((πΉβπ΄) β ((πΉβπ΄) β (π΄π·π΅))) = (π΄π·π΅)) |
21 | 13, 17, 20 | 3brtr4d 5136 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) β β)) β (π΅π·π΄) β€ ((πΉβπ΄) β ((πΉβπ΄) β (π΄π·π΅)))) |
22 | | blss2 23679 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π΅ β π β§ π΄ β π) β§ (((πΉβπ΄) β (π΄π·π΅)) β β β§ (πΉβπ΄) β β β§ (π΅π·π΄) β€ ((πΉβπ΄) β ((πΉβπ΄) β (π΄π·π΅))))) β (π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) β (π΄π·π΅))) β (π΄(ballβπ·)(πΉβπ΄))) |
23 | 7, 9, 11, 12, 1, 21, 22 | syl33anc 1386 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) β β)) β (π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) β (π΄π·π΅))) β (π΄(ballβπ·)(πΉβπ΄))) |
24 | 5, 23 | eqsstrd 3981 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) β β)) β (π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅))) β (π΄(ballβπ·)(πΉβπ΄))) |
25 | 24 | expr 458 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ (π΄π·π΅) β β) β ((πΉβπ΄) β β β (π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅))) β (π΄(ballβπ·)(πΉβπ΄)))) |
26 | 6 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) = +β)) β π· β (βMetβπ)) |
27 | 8 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) = +β)) β π΅ β π) |
28 | | metdscn.f |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ πΉ = (π₯ β π β¦ inf(ran (π¦ β π β¦ (π₯π·π¦)), β*, <
)) |
29 | 28 | metdsf 24133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β πΉ:πβΆ(0[,]+β)) |
30 | 29 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β πΉ:πβΆ(0[,]+β)) |
31 | 30, 10 | ffvelcdmd 7031 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β (πΉβπ΄) β (0[,]+β)) |
32 | | eliccxr 13281 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((πΉβπ΄) β (0[,]+β) β (πΉβπ΄) β
β*) |
33 | 31, 32 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β (πΉβπ΄) β
β*) |
34 | 33 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ (π΄π·π΅) β β) β (πΉβπ΄) β
β*) |
35 | | xmetcl 23606 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π· β (βMetβπ) β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (π΄π·π΅) β
β*) |
36 | 6, 10, 8, 35 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β (π΄π·π΅) β
β*) |
37 | 36 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ (π΄π·π΅) β β) β (π΄π·π΅) β
β*) |
38 | 37 | xnegcld 13148 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ (π΄π·π΅) β β) β
-π(π΄π·π΅) β
β*) |
39 | 34, 38 | xaddcld 13149 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ (π΄π·π΅) β β) β ((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)) β
β*) |
40 | 39 | adantrr 716 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) = +β)) β ((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)) β
β*) |
41 | | pnfxr 11143 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ +β
β β* |
42 | 41 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) = +β)) β +β β
β*) |
43 | | pnfge 12980 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)) β β* β ((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)) β€ +β) |
44 | 40, 43 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) = +β)) β ((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)) β€ +β) |
45 | | ssbl 23698 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π΅ β π) β§ (((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)) β β* β§ +β
β β*) β§ ((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)) β€ +β) β (π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅))) β (π΅(ballβπ·)+β)) |
46 | 26, 27, 40, 42, 44, 45 | syl221anc 1382 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) = +β)) β (π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅))) β (π΅(ballβπ·)+β)) |
47 | | simprr 772 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) = +β)) β (πΉβπ΄) = +β) |
48 | 47 | oveq2d 7366 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) = +β)) β (π΄(ballβπ·)(πΉβπ΄)) = (π΄(ballβπ·)+β)) |
49 | 10 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) = +β)) β π΄ β π) |
50 | | simprl 770 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) = +β)) β (π΄π·π΅) β β) |
51 | | xblpnf 23671 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π· β (βMetβπ) β§ π΄ β π) β (π΅ β (π΄(ballβπ·)+β) β (π΅ β π β§ (π΄π·π΅) β β))) |
52 | 26, 49, 51 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) = +β)) β (π΅ β (π΄(ballβπ·)+β) β (π΅ β π β§ (π΄π·π΅) β β))) |
53 | 27, 50, 52 | mpbir2and 712 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) = +β)) β π΅ β (π΄(ballβπ·)+β)) |
54 | | blpnfctr 23711 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π· β (βMetβπ) β§ π΄ β π β§ π΅ β (π΄(ballβπ·)+β)) β (π΄(ballβπ·)+β) = (π΅(ballβπ·)+β)) |
55 | 26, 49, 53, 54 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) = +β)) β (π΄(ballβπ·)+β) = (π΅(ballβπ·)+β)) |
56 | 48, 55 | eqtr2d 2779 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) = +β)) β (π΅(ballβπ·)+β) = (π΄(ballβπ·)(πΉβπ΄))) |
57 | 46, 56 | sseqtrd 3983 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ ((π΄π·π΅) β β β§ (πΉβπ΄) = +β)) β (π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅))) β (π΄(ballβπ·)(πΉβπ΄))) |
58 | 57 | expr 458 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ (π΄π·π΅) β β) β ((πΉβπ΄) = +β β (π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅))) β (π΄(ballβπ·)(πΉβπ΄)))) |
59 | | elxrge0 13303 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πΉβπ΄) β (0[,]+β) β ((πΉβπ΄) β β* β§ 0 β€
(πΉβπ΄))) |
60 | 59 | simprbi 498 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΉβπ΄) β (0[,]+β) β 0 β€ (πΉβπ΄)) |
61 | 31, 60 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β 0 β€ (πΉβπ΄)) |
62 | | ge0nemnf 13021 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΉβπ΄) β β* β§ 0 β€
(πΉβπ΄)) β (πΉβπ΄) β -β) |
63 | 33, 61, 62 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β (πΉβπ΄) β -β) |
64 | 33, 63 | jca 513 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β ((πΉβπ΄) β β* β§ (πΉβπ΄) β -β)) |
65 | 64 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ (π΄π·π΅) β β) β ((πΉβπ΄) β β* β§ (πΉβπ΄) β -β)) |
66 | | xrnemnf 12967 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΉβπ΄) β β* β§ (πΉβπ΄) β -β) β ((πΉβπ΄) β β β¨ (πΉβπ΄) = +β)) |
67 | 65, 66 | sylib 217 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ (π΄π·π΅) β β) β ((πΉβπ΄) β β β¨ (πΉβπ΄) = +β)) |
68 | 25, 58, 67 | mpjaod 859 |
. . . . . . 7
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ (π΄π·π΅) β β) β (π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅))) β (π΄(ballβπ·)(πΉβπ΄))) |
69 | | pnfnlt 12978 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΉβπ΄) β β* β Β¬
+β < (πΉβπ΄)) |
70 | 33, 69 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β Β¬ +β < (πΉβπ΄)) |
71 | 70 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ (π΄π·π΅) = +β) β Β¬ +β <
(πΉβπ΄)) |
72 | 36 | xnegcld 13148 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β -π(π΄π·π΅) β
β*) |
73 | 33, 72 | xaddcld 13149 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β ((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)) β
β*) |
74 | | xbln0 23689 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π· β (βMetβπ) β§ π΅ β π β§ ((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)) β β*) β
((π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅))) β β
β 0 < ((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)))) |
75 | 6, 8, 73, 74 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β ((π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅))) β β
β 0 < ((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)))) |
76 | | xposdif 13110 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π΄π·π΅) β β* β§ (πΉβπ΄) β β*) β ((π΄π·π΅) < (πΉβπ΄) β 0 < ((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)))) |
77 | 36, 33, 76 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β ((π΄π·π΅) < (πΉβπ΄) β 0 < ((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)))) |
78 | 75, 77 | bitr4d 282 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β ((π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅))) β β
β (π΄π·π΅) < (πΉβπ΄))) |
79 | | breq1 5107 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π΄π·π΅) = +β β ((π΄π·π΅) < (πΉβπ΄) β +β < (πΉβπ΄))) |
80 | 78, 79 | sylan9bb 511 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ (π΄π·π΅) = +β) β ((π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅))) β β
β +β < (πΉβπ΄))) |
81 | 80 | necon1bbid 2982 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ (π΄π·π΅) = +β) β (Β¬ +β <
(πΉβπ΄) β (π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅))) = β
)) |
82 | 71, 81 | mpbid 231 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ (π΄π·π΅) = +β) β (π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅))) = β
) |
83 | | 0ss 4355 |
. . . . . . . 8
β’ β
β (π΄(ballβπ·)(πΉβπ΄)) |
84 | 82, 83 | eqsstrdi 3997 |
. . . . . . 7
β’ ((((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β§ (π΄π·π΅) = +β) β (π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅))) β (π΄(ballβπ·)(πΉβπ΄))) |
85 | | xmetge0 23619 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π· β (βMetβπ) β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β 0 β€ (π΄π·π΅)) |
86 | 6, 10, 8, 85 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β 0 β€ (π΄π·π΅)) |
87 | | ge0nemnf 13021 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π΄π·π΅) β β* β§ 0 β€
(π΄π·π΅)) β (π΄π·π΅) β -β) |
88 | 36, 86, 87 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β (π΄π·π΅) β -β) |
89 | 36, 88 | jca 513 |
. . . . . . . 8
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β ((π΄π·π΅) β β* β§ (π΄π·π΅) β -β)) |
90 | | xrnemnf 12967 |
. . . . . . . 8
β’ (((π΄π·π΅) β β* β§ (π΄π·π΅) β -β) β ((π΄π·π΅) β β β¨ (π΄π·π΅) = +β)) |
91 | 89, 90 | sylib 217 |
. . . . . . 7
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β ((π΄π·π΅) β β β¨ (π΄π·π΅) = +β)) |
92 | 68, 84, 91 | mpjaodan 958 |
. . . . . 6
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β (π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅))) β (π΄(ballβπ·)(πΉβπ΄))) |
93 | | sslin 4193 |
. . . . . 6
β’ ((π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅))) β (π΄(ballβπ·)(πΉβπ΄)) β (π β© (π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)))) β (π β© (π΄(ballβπ·)(πΉβπ΄)))) |
94 | 92, 93 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β (π β© (π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)))) β (π β© (π΄(ballβπ·)(πΉβπ΄)))) |
95 | 33 | xrleidd 13000 |
. . . . . 6
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β (πΉβπ΄) β€ (πΉβπ΄)) |
96 | | simplr 768 |
. . . . . . 7
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β π β π) |
97 | 28 | metdsge 24134 |
. . . . . . 7
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π β§ π΄ β π) β§ (πΉβπ΄) β β*) β ((πΉβπ΄) β€ (πΉβπ΄) β (π β© (π΄(ballβπ·)(πΉβπ΄))) = β
)) |
98 | 6, 96, 10, 33, 97 | syl31anc 1374 |
. . . . . 6
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β ((πΉβπ΄) β€ (πΉβπ΄) β (π β© (π΄(ballβπ·)(πΉβπ΄))) = β
)) |
99 | 95, 98 | mpbid 231 |
. . . . 5
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β (π β© (π΄(ballβπ·)(πΉβπ΄))) = β
) |
100 | | sseq0 4358 |
. . . . 5
β’ (((π β© (π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)))) β (π β© (π΄(ballβπ·)(πΉβπ΄))) β§ (π β© (π΄(ballβπ·)(πΉβπ΄))) = β
) β (π β© (π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)))) = β
) |
101 | 94, 99, 100 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β (π β© (π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)))) = β
) |
102 | 28 | metdsge 24134 |
. . . . 5
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π β§ π΅ β π) β§ ((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)) β β*) β
(((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)) β€ (πΉβπ΅) β (π β© (π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)))) = β
)) |
103 | 6, 96, 8, 73, 102 | syl31anc 1374 |
. . . 4
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β (((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)) β€ (πΉβπ΅) β (π β© (π΅(ballβπ·)((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)))) = β
)) |
104 | 101, 103 | mpbird 257 |
. . 3
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β ((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)) β€ (πΉβπ΅)) |
105 | 30, 8 | ffvelcdmd 7031 |
. . . . 5
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β (πΉβπ΅) β (0[,]+β)) |
106 | | eliccxr 13281 |
. . . . 5
β’ ((πΉβπ΅) β (0[,]+β) β (πΉβπ΅) β
β*) |
107 | 105, 106 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β (πΉβπ΅) β
β*) |
108 | | elxrge0 13303 |
. . . . . 6
β’ ((πΉβπ΅) β (0[,]+β) β ((πΉβπ΅) β β* β§ 0 β€
(πΉβπ΅))) |
109 | 108 | simprbi 498 |
. . . . 5
β’ ((πΉβπ΅) β (0[,]+β) β 0 β€ (πΉβπ΅)) |
110 | 105, 109 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β 0 β€ (πΉβπ΅)) |
111 | | xlesubadd 13111 |
. . . 4
β’ ((((πΉβπ΄) β β* β§ (π΄π·π΅) β β* β§ (πΉβπ΅) β β*) β§ (0 β€
(πΉβπ΄) β§ (π΄π·π΅) β -β β§ 0 β€ (πΉβπ΅))) β (((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)) β€ (πΉβπ΅) β (πΉβπ΄) β€ ((πΉβπ΅) +π (π΄π·π΅)))) |
112 | 33, 36, 107, 61, 88, 110, 111 | syl33anc 1386 |
. . 3
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β (((πΉβπ΄) +π
-π(π΄π·π΅)) β€ (πΉβπ΅) β (πΉβπ΄) β€ ((πΉβπ΅) +π (π΄π·π΅)))) |
113 | 104, 112 | mpbid 231 |
. 2
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β (πΉβπ΄) β€ ((πΉβπ΅) +π (π΄π·π΅))) |
114 | | xaddcom 13088 |
. . 3
β’ (((πΉβπ΅) β β* β§ (π΄π·π΅) β β*) β ((πΉβπ΅) +π (π΄π·π΅)) = ((π΄π·π΅) +π (πΉβπ΅))) |
115 | 107, 36, 114 | syl2anc 585 |
. 2
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β ((πΉβπ΅) +π (π΄π·π΅)) = ((π΄π·π΅) +π (πΉβπ΅))) |
116 | 113, 115 | breqtrd 5130 |
1
β’ (((π· β (βMetβπ) β§ π β π) β§ (π΄ β π β§ π΅ β π)) β (πΉβπ΄) β€ ((π΄π·π΅) +π (πΉβπ΅))) |