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Theorem metdstri 24136
Description: A generalization of the triangle inequality to the point-set distance function. Under the usual notation where the same symbol 𝑑 denotes the point-point and point-set distance functions, this theorem would be written 𝑑(π‘Ž, 𝑆) ≀ 𝑑(π‘Ž, 𝑏) + 𝑑(𝑏, 𝑆). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdstri (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem metdstri
StepHypRef Expression
1 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ)
3 rexsub 13080 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) = ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡)))
41, 2, 3syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) = ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡)))
54oveq2d 7365 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) = (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡))))
6 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
76adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
8 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
98adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
10 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
1110adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
121, 2resubcld 11516 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ)
132leidd 11654 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
14 xmetsym 23622 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (𝐡𝐷𝐴))
156, 10, 8, 14syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (𝐡𝐷𝐴))
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (𝐡𝐷𝐴))
1716eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐡))
181recnd 11116 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
192recnd 11116 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ β„‚)
2018, 19nncand 11450 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡))) = (𝐴𝐷𝐡))
2113, 17, 203brtr4d 5135 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐡𝐷𝐴) ≀ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡))))
22 blss2 23679 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ (𝐡𝐷𝐴) ≀ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡))))) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
237, 9, 11, 12, 1, 21, 22syl33anc 1385 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
245, 23eqsstrd 3980 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
2524expr 457 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))))
266adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
278adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
28 metdscn.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2928metdsf 24133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
3130, 10ffvelcdmd 7030 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
32 eliccxr 13280 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
35 xmetcl 23606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
366, 10, 8, 35syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
3837xnegcld 13147 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ -𝑒(𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
3934, 38xaddcld 13148 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ*)
4039adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ*)
41 pnfxr 11142 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
43 pnfge 12979 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ +∞)
4440, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ +∞)
45 ssbl 23698 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ +∞) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐡(ballβ€˜π·)+∞))
4626, 27, 40, 42, 44, 45syl221anc 1381 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐡(ballβ€˜π·)+∞))
47 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (πΉβ€˜π΄) = +∞)
4847oveq2d 7365 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) = (𝐴(ballβ€˜π·)+∞))
4910adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
50 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ)
51 xblpnf 23671 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)+∞) ↔ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ)))
5226, 49, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (𝐡 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)+∞) ↔ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ)))
5327, 50, 52mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)+∞))
54 blpnfctr 23711 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)+∞) = (𝐡(ballβ€˜π·)+∞))
5526, 49, 53, 54syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)+∞) = (𝐡(ballβ€˜π·)+∞))
5648, 55eqtr2d 2778 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)+∞) = (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
5746, 56sseqtrd 3982 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
5857expr 457 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄) = +∞ β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))))
59 elxrge0 13302 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄)))
6059simprbi 497 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
6131, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
62 ge0nemnf 13020 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄)) β†’ (πΉβ€˜π΄) β‰  -∞)
6333, 61, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) β‰  -∞)
6433, 63jca 512 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) β‰  -∞))
6564adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) β‰  -∞))
66 xrnemnf 12966 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) β‰  -∞) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ ∨ (πΉβ€˜π΄) = +∞))
6765, 66sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ ∨ (πΉβ€˜π΄) = +∞))
6825, 58, 67mpjaod 858 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
69 pnfnlt 12977 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* β†’ Β¬ +∞ < (πΉβ€˜π΄))
7033, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ Β¬ +∞ < (πΉβ€˜π΄))
7170adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) = +∞) β†’ Β¬ +∞ < (πΉβ€˜π΄))
7236xnegcld 13147 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ -𝑒(𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
7333, 72xaddcld 13148 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ*)
74 xbln0 23689 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) β‰  βˆ… ↔ 0 < ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))))
756, 8, 73, 74syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) β‰  βˆ… ↔ 0 < ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))))
76 xposdif 13109 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) < (πΉβ€˜π΄) ↔ 0 < ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))))
7736, 33, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) < (πΉβ€˜π΄) ↔ 0 < ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))))
7875, 77bitr4d 281 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) β‰  βˆ… ↔ (𝐴𝐷𝐡) < (πΉβ€˜π΄)))
79 breq1 5106 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐷𝐡) = +∞ β†’ ((𝐴𝐷𝐡) < (πΉβ€˜π΄) ↔ +∞ < (πΉβ€˜π΄)))
8078, 79sylan9bb 510 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) = +∞) β†’ ((𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) β‰  βˆ… ↔ +∞ < (πΉβ€˜π΄)))
8180necon1bbid 2981 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) = +∞) β†’ (Β¬ +∞ < (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) = βˆ…))
8271, 81mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) = +∞) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) = βˆ…)
83 0ss 4354 . . . . . . . 8 βˆ… βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))
8482, 83eqsstrdi 3996 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) = +∞) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
85 xmetge0 23619 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))
866, 10, 8, 85syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))
87 ge0nemnf 13020 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) β‰  -∞)
8836, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) β‰  -∞)
8936, 88jca 512 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐡) β‰  -∞))
90 xrnemnf 12966 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐡) β‰  -∞) ↔ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∨ (𝐴𝐷𝐡) = +∞))
9189, 90sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∨ (𝐴𝐷𝐡) = +∞))
9268, 84, 91mpjaodan 957 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
93 sslin 4192 . . . . . 6 ((𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) β†’ (𝑆 ∩ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)))) βŠ† (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))))
9492, 93syl 17 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑆 ∩ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)))) βŠ† (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))))
9533xrleidd 12999 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄))
96 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
9728metdsge 24134 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…))
986, 96, 10, 33, 97syl31anc 1373 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…))
9995, 98mpbid 231 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…)
100 sseq0 4357 . . . . 5 (((𝑆 ∩ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)))) βŠ† (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) ∧ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…) β†’ (𝑆 ∩ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)))) = βˆ…)
10194, 99, 100syl2anc 584 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑆 ∩ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)))) = βˆ…)
10228metdsge 24134 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ*) β†’ (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ (πΉβ€˜π΅) ↔ (𝑆 ∩ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)))) = βˆ…))
1036, 96, 8, 73, 102syl31anc 1373 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ (πΉβ€˜π΅) ↔ (𝑆 ∩ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)))) = βˆ…))
104101, 103mpbird 256 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ (πΉβ€˜π΅))
10530, 8ffvelcdmd 7030 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
106 eliccxr 13280 . . . . 5 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
107105, 106syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
108 elxrge0 13302 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)))
109108simprbi 497 . . . . 5 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅))
110105, 109syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅))
111 xlesubadd 13110 . . . 4 ((((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ (πΉβ€˜π΄) ∧ (𝐴𝐷𝐡) β‰  -∞ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅))) β†’ (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ (πΉβ€˜π΅) ↔ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((πΉβ€˜π΅) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡))))
11233, 36, 107, 61, 88, 110, 111syl33anc 1385 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ (πΉβ€˜π΅) ↔ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((πΉβ€˜π΅) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡))))
113104, 112mpbid 231 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((πΉβ€˜π΅) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡)))
114 xaddcom 13087 . . 3 (((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π΅) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡)) = ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅)))
115107, 36, 114syl2anc 584 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΅) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡)) = ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅)))
116113, 115breqtrd 5129 1 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941   ∩ cin 3907   βŠ† wss 3908  βˆ…c0 4280   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5631  βŸΆwf 6487  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  infcinf 9310  β„cr 10983  0cc0 10984  +∞cpnf 11119  -∞cmnf 11120  β„*cxr 11121   < clt 11122   ≀ cle 11123   βˆ’ cmin 11318  -𝑒cxne 12958   +𝑒 cxad 12959  [,]cicc 13195  βˆžMetcxmet 20704  ballcbl 20706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5528  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-er 8581  df-ec 8583  df-map 8700  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-sup 9311  df-inf 9312  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-2 12149  df-rp 12844  df-xneg 12961  df-xadd 12962  df-xmul 12963  df-icc 13199  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-bl 20714
This theorem is referenced by:  metdsle  24137  metdscnlem  24140  metnrmlem1  24144
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