Theorem metdstri 24990

Description: A generalization of the triangle inequality to the point-set distance function. Under the usual notation where the same symbol 𝑑 denotes the point-point and point-set distance functions, this theorem would be written 𝑑(𝑎, 𝑆) ≤ 𝑑(𝑎, 𝑏) + 𝑑(𝑏, 𝑆). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
metdstri	⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
2		simprl 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3		rexsub 13260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) − (𝐴𝐷𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) − (𝐴𝐷𝐵)))
5	4	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) = (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))))
6		simpll 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7	6	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8		simprr 784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
9	8	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
10		simprl 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
11	10	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
12	1, 2	resubcld 11643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
13	2	leidd 11781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
14		xmetsym 24485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
15	6, 10, 8, 14	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
16	15	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
17	16	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
18	1	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
19	2	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℂ)
20	18, 19	nncand 11575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝐴) − ((𝐹‘𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))) = (𝐴𝐷𝐵))
21	13, 17, 20	3brtr4d 5144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐵𝐷𝐴) ≤ ((𝐹‘𝐴) − ((𝐹‘𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))))
22		blss2 24542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (((𝐹‘𝐴) − (𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐷𝐴) ≤ ((𝐹‘𝐴) − ((𝐹‘𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))))) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
23	7, 9, 11, 12, 1, 21, 22	syl33anc 1412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
24	5, 23	eqsstrd 3972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
25	24	expr 461	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))))
26	6	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
27	8	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
28		metdscn.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
29	28	metdsf 24987	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
30	29	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
31	30, 10	ffvelcdmd 7082	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
32		eliccxr 13463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
34	33	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
35		xmetcl 24469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
36	6, 10, 8, 35	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
37	36	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
38	37	xnegcld 13327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → -𝑒(𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
39	34, 38	xaddcld 13328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
40	39	adantrr 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
41		pnfxr 11264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
43		pnfge 13156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ +∞)
44	40, 43	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ +∞)
45		ssbl 24561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ +∞) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐵(ball‘𝐷)+∞))
46	26, 27, 40, 42, 44, 45	syl221anc 1408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐵(ball‘𝐷)+∞))
47		simprr 784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → (𝐹‘𝐴) = +∞)
48	47	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
49	10	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
50		simprl 782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
51		xblpnf 24534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)))
52	26, 49, 51	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)))
53	27, 50, 52	mpbir2and 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → 𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
54		blpnfctr 24574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)+∞)) → (𝐴(ball‘𝐷)+∞) = (𝐵(ball‘𝐷)+∞))
55	26, 49, 53, 54	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → (𝐴(ball‘𝐷)+∞) = (𝐵(ball‘𝐷)+∞))
56	48, 55	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → (𝐵(ball‘𝐷)+∞) = (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
57	46, 56	sseqtrd 3974	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
58	57	expr 461	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐴) = +∞ → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))))
59		elxrge0 13485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐴)))
60	59	simprbi 502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
61	31, 60	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
62		ge0nemnf 13200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ≠ -∞)
63	33, 61, 62	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐴) ≠ -∞)
64	33, 63	jca 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ -∞))
65	64	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ -∞))
66		xrnemnf 13143	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ -∞) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ ∨ (𝐹‘𝐴) = +∞))
67	65, 66	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ ∨ (𝐹‘𝐴) = +∞))
68	25, 58, 67	mpjaod 873	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
69		pnfnlt 13154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* → ¬ +∞ < (𝐹‘𝐴))
70	33, 69	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ¬ +∞ < (𝐹‘𝐴))
71	70	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) = +∞) → ¬ +∞ < (𝐹‘𝐴))
72	36	xnegcld 13327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → -𝑒(𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
73	33, 72	xaddcld 13328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
74		xbln0 24552	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ*) → ((𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ≠ ∅ ↔ 0 < ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))))
75	6, 8, 73, 74	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ≠ ∅ ↔ 0 < ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))))
76		xposdif 13289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝐵) < (𝐹‘𝐴) ↔ 0 < ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))))
77	36, 33, 76	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵) < (𝐹‘𝐴) ↔ 0 < ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))))
78	75, 77	bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ≠ ∅ ↔ (𝐴𝐷𝐵) < (𝐹‘𝐴)))
79		breq1 5113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴𝐷𝐵) = +∞ → ((𝐴𝐷𝐵) < (𝐹‘𝐴) ↔ +∞ < (𝐹‘𝐴)))
80	78, 79	sylan9bb 518	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) = +∞) → ((𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ≠ ∅ ↔ +∞ < (𝐹‘𝐴)))
81	80	necon1bbid 2997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) = +∞) → (¬ +∞ < (𝐹‘𝐴) ↔ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) = ∅))
82	71, 81	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) = +∞) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) = ∅)
83		0ss 4358	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))
84	82, 83	eqsstrdi 3982	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) = +∞) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
85		xmetge0 24482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
86	6, 10, 8, 85	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
87		ge0nemnf 13200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵)) → (𝐴𝐷𝐵) ≠ -∞)
88	36, 86, 87	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≠ -∞)
89	36, 88	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ≠ -∞))
90		xrnemnf 13143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ≠ -∞) ↔ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∨ (𝐴𝐷𝐵) = +∞))
91	89, 90	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∨ (𝐴𝐷𝐵) = +∞))
92	68, 84, 91	mpjaodan 973	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
93		sslin 4196	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) → (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) ⊆ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))))
94	92, 93	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) ⊆ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))))
95	33	xrleidd 13178	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐴) ≤ (𝐹‘𝐴))
96		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
97	28	metdsge 24988	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝐴) ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) = ∅))
98	6, 96, 10, 33, 97	syl31anc 1400	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐴) ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) = ∅))
99	95, 98	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) = ∅)
100		sseq0 4362	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) ⊆ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) ∧ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) = ∅) → (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) = ∅)
101	94, 99, 100	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) = ∅)
102	28	metdsge 24988	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ*) → (((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ (𝐹‘𝐵) ↔ (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) = ∅))
103	6, 96, 8, 73, 102	syl31anc 1400	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ (𝐹‘𝐵) ↔ (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) = ∅))
104	101, 103	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ (𝐹‘𝐵))
105	30, 8	ffvelcdmd 7082	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
106		eliccxr 13463	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ*)
107	105, 106	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ*)
108		elxrge0 13485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)))
109	108	simprbi 502	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐵))
110	105, 109	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐹‘𝐵))
111		xlesubadd 13290	. . . 4 ⊢ ((((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ≠ -∞ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵))) → (((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ (𝐹‘𝐵) ↔ (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐹‘𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵))))
112	33, 36, 107, 61, 88, 110, 111	syl33anc 1412	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ (𝐹‘𝐵) ↔ (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐹‘𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵))))
113	104, 112	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐹‘𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
114		xaddcom 13267	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵)))
115	107, 36, 114	syl2anc 595	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵)))
116	113, 115	breqtrd 5138	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ran crn 5664  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  infcinf 9402  ℝcr 11100  0cc0 11101  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11442  -_𝑒cxne 13135   +_𝑒 cxad 13136  [,]cicc 13376  ∞Metcxmet 21488  ballcbl 21490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-ec 8697  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-icc 13380  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-bl 21498

This theorem is referenced by:  metdsle  24991  metdscnlem  24994  metnrmlem1  24998