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Theorem metdstri 24374
Description: A generalization of the triangle inequality to the point-set distance function. Under the usual notation where the same symbol 𝑑 denotes the point-point and point-set distance functions, this theorem would be written 𝑑(π‘Ž, 𝑆) ≀ 𝑑(π‘Ž, 𝑏) + 𝑑(𝑏, 𝑆). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdstri (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem metdstri
StepHypRef Expression
1 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ)
3 rexsub 13214 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) = ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡)))
41, 2, 3syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) = ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡)))
54oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) = (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡))))
6 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
76adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
8 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
98adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
10 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
1110adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
121, 2resubcld 11644 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ)
132leidd 11782 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
14 xmetsym 23860 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (𝐡𝐷𝐴))
156, 10, 8, 14syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (𝐡𝐷𝐴))
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (𝐡𝐷𝐴))
1716eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐡))
181recnd 11244 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
192recnd 11244 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ β„‚)
2018, 19nncand 11578 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡))) = (𝐴𝐷𝐡))
2113, 17, 203brtr4d 5180 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐡𝐷𝐴) ≀ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡))))
22 blss2 23917 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ (𝐡𝐷𝐴) ≀ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡))))) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
237, 9, 11, 12, 1, 21, 22syl33anc 1385 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
245, 23eqsstrd 4020 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
2524expr 457 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))))
266adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
278adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
28 metdscn.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2928metdsf 24371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
3130, 10ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
32 eliccxr 13414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
35 xmetcl 23844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
366, 10, 8, 35syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
3837xnegcld 13281 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ -𝑒(𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
3934, 38xaddcld 13282 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ*)
4039adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ*)
41 pnfxr 11270 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
43 pnfge 13112 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ +∞)
4440, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ +∞)
45 ssbl 23936 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ +∞) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐡(ballβ€˜π·)+∞))
4626, 27, 40, 42, 44, 45syl221anc 1381 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐡(ballβ€˜π·)+∞))
47 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (πΉβ€˜π΄) = +∞)
4847oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) = (𝐴(ballβ€˜π·)+∞))
4910adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
50 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ)
51 xblpnf 23909 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)+∞) ↔ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ)))
5226, 49, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (𝐡 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)+∞) ↔ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ)))
5327, 50, 52mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)+∞))
54 blpnfctr 23949 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)+∞)) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)+∞) = (𝐡(ballβ€˜π·)+∞))
5526, 49, 53, 54syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)+∞) = (𝐡(ballβ€˜π·)+∞))
5648, 55eqtr2d 2773 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)+∞) = (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
5746, 56sseqtrd 4022 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΄) = +∞)) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
5857expr 457 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄) = +∞ β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))))
59 elxrge0 13436 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄)))
6059simprbi 497 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
6131, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
62 ge0nemnf 13154 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄)) β†’ (πΉβ€˜π΄) β‰  -∞)
6333, 61, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) β‰  -∞)
6433, 63jca 512 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) β‰  -∞))
6564adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) β‰  -∞))
66 xrnemnf 13099 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) β‰  -∞) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ ∨ (πΉβ€˜π΄) = +∞))
6765, 66sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ ∨ (πΉβ€˜π΄) = +∞))
6825, 58, 67mpjaod 858 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
69 pnfnlt 13110 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* β†’ Β¬ +∞ < (πΉβ€˜π΄))
7033, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ Β¬ +∞ < (πΉβ€˜π΄))
7170adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) = +∞) β†’ Β¬ +∞ < (πΉβ€˜π΄))
7236xnegcld 13281 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ -𝑒(𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
7333, 72xaddcld 13282 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ*)
74 xbln0 23927 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) β‰  βˆ… ↔ 0 < ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))))
756, 8, 73, 74syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) β‰  βˆ… ↔ 0 < ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))))
76 xposdif 13243 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) < (πΉβ€˜π΄) ↔ 0 < ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))))
7736, 33, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) < (πΉβ€˜π΄) ↔ 0 < ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))))
7875, 77bitr4d 281 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) β‰  βˆ… ↔ (𝐴𝐷𝐡) < (πΉβ€˜π΄)))
79 breq1 5151 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐷𝐡) = +∞ β†’ ((𝐴𝐷𝐡) < (πΉβ€˜π΄) ↔ +∞ < (πΉβ€˜π΄)))
8078, 79sylan9bb 510 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) = +∞) β†’ ((𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) β‰  βˆ… ↔ +∞ < (πΉβ€˜π΄)))
8180necon1bbid 2980 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) = +∞) β†’ (Β¬ +∞ < (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) = βˆ…))
8271, 81mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) = +∞) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) = βˆ…)
83 0ss 4396 . . . . . . . 8 βˆ… βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))
8482, 83eqsstrdi 4036 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐡) = +∞) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
85 xmetge0 23857 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))
866, 10, 8, 85syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))
87 ge0nemnf 13154 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) β‰  -∞)
8836, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) β‰  -∞)
8936, 88jca 512 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐡) β‰  -∞))
90 xrnemnf 13099 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐡) β‰  -∞) ↔ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∨ (𝐴𝐷𝐡) = +∞))
9189, 90sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ∨ (𝐴𝐷𝐡) = +∞))
9268, 84, 91mpjaodan 957 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
93 sslin 4234 . . . . . 6 ((𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡))) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) β†’ (𝑆 ∩ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)))) βŠ† (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))))
9492, 93syl 17 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑆 ∩ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)))) βŠ† (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))))
9533xrleidd 13133 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄))
96 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
9728metdsge 24372 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…))
986, 96, 10, 33, 97syl31anc 1373 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…))
9995, 98mpbid 231 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…)
100 sseq0 4399 . . . . 5 (((𝑆 ∩ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)))) βŠ† (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) ∧ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…) β†’ (𝑆 ∩ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)))) = βˆ…)
10194, 99, 100syl2anc 584 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑆 ∩ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)))) = βˆ…)
10228metdsge 24372 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ∈ ℝ*) β†’ (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ (πΉβ€˜π΅) ↔ (𝑆 ∩ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)))) = βˆ…))
1036, 96, 8, 73, 102syl31anc 1373 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ (πΉβ€˜π΅) ↔ (𝑆 ∩ (𝐡(ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)))) = βˆ…))
104101, 103mpbird 256 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ (πΉβ€˜π΅))
10530, 8ffvelcdmd 7087 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
106 eliccxr 13414 . . . . 5 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
107105, 106syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
108 elxrge0 13436 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)))
109108simprbi 497 . . . . 5 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅))
110105, 109syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅))
111 xlesubadd 13244 . . . 4 ((((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ (πΉβ€˜π΄) ∧ (𝐴𝐷𝐡) β‰  -∞ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅))) β†’ (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ (πΉβ€˜π΅) ↔ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((πΉβ€˜π΅) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡))))
11233, 36, 107, 61, 88, 110, 111syl33anc 1385 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐡)) ≀ (πΉβ€˜π΅) ↔ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((πΉβ€˜π΅) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡))))
113104, 112mpbid 231 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((πΉβ€˜π΅) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡)))
114 xaddcom 13221 . . 3 (((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π΅) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡)) = ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅)))
115107, 36, 114syl2anc 584 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΅) +𝑒 (𝐴𝐷𝐡)) = ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅)))
116113, 115breqtrd 5174 1 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  infcinf 9438  β„cr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11247  -∞cmnf 11248  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  -𝑒cxne 13091   +𝑒 cxad 13092  [,]cicc 13329  βˆžMetcxmet 20935  ballcbl 20937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-2 12277  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-icc 13333  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-bl 20945
This theorem is referenced by:  metdsle  24375  metdscnlem  24378  metnrmlem1  24382
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