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Theorem metdstri 24886
Description: A generalization of the triangle inequality to the point-set distance function. Under the usual notation where the same symbol 𝑑 denotes the point-point and point-set distance functions, this theorem would be written 𝑑(𝑎, 𝑆) ≤ 𝑑(𝑎, 𝑏) + 𝑑(𝑏, 𝑆). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdstri (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐹𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdstri
StepHypRef Expression
1 simprr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
2 simprl 771 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3 rexsub 13271 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐹𝐴) − (𝐴𝐷𝐵)))
41, 2, 3syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐹𝐴) − (𝐴𝐷𝐵)))
54oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) = (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))))
6 simpll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
76adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8 simprr 773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
98adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → 𝐵𝑋)
10 simprl 771 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐴𝑋)
1110adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → 𝐴𝑋)
121, 2resubcld 11688 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → ((𝐹𝐴) − (𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
132leidd 11826 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
14 xmetsym 24372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
156, 10, 8, 14syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
1716eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
181recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
192recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℂ)
2018, 19nncand 11622 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → ((𝐹𝐴) − ((𝐹𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))) = (𝐴𝐷𝐵))
2113, 17, 203brtr4d 5179 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐵𝐷𝐴) ≤ ((𝐹𝐴) − ((𝐹𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))))
22 blss2 24429 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) ∧ (((𝐹𝐴) − (𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐷𝐴) ≤ ((𝐹𝐴) − ((𝐹𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))))) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
237, 9, 11, 12, 1, 21, 22syl33anc 1384 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
245, 23eqsstrd 4033 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
2524expr 456 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴) ∈ ℝ → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))))
266adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
278adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → 𝐵𝑋)
28 metdscn.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2928metdsf 24883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3130, 10ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
32 eliccxr 13471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
35 xmetcl 24356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
366, 10, 8, 35syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3837xnegcld 13338 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → -𝑒(𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3934, 38xaddcld 13339 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
4039adantrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
41 pnfxr 11312 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
43 pnfge 13169 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ* → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ +∞)
4440, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ +∞)
45 ssbl 24448 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋) ∧ (((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ +∞) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐵(ball‘𝐷)+∞))
4626, 27, 40, 42, 44, 45syl221anc 1380 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐵(ball‘𝐷)+∞))
47 simprr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → (𝐹𝐴) = +∞)
4847oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
4910adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → 𝐴𝑋)
50 simprl 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
51 xblpnf 24421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐵𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)))
5226, 49, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐵𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)))
5327, 50, 52mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → 𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
54 blpnfctr 24461 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)+∞)) → (𝐴(ball‘𝐷)+∞) = (𝐵(ball‘𝐷)+∞))
5526, 49, 53, 54syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → (𝐴(ball‘𝐷)+∞) = (𝐵(ball‘𝐷)+∞))
5648, 55eqtr2d 2775 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → (𝐵(ball‘𝐷)+∞) = (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
5746, 56sseqtrd 4035 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐴) = +∞)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
5857expr 456 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴) = +∞ → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))))
59 elxrge0 13493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐴)))
6059simprbi 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
6131, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
62 ge0nemnf 13211 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐴)) → (𝐹𝐴) ≠ -∞)
6333, 61, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐹𝐴) ≠ -∞)
6433, 63jca 511 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ≠ -∞))
6564adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ≠ -∞))
66 xrnemnf 13156 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ≠ -∞) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ ∨ (𝐹𝐴) = +∞))
6765, 66sylib 218 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴) ∈ ℝ ∨ (𝐹𝐴) = +∞))
6825, 58, 67mpjaod 860 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
69 pnfnlt 13167 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* → ¬ +∞ < (𝐹𝐴))
7033, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ¬ +∞ < (𝐹𝐴))
7170adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) = +∞) → ¬ +∞ < (𝐹𝐴))
7236xnegcld 13338 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → -𝑒(𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
7333, 72xaddcld 13339 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
74 xbln0 24439 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋 ∧ ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ*) → ((𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ≠ ∅ ↔ 0 < ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))))
756, 8, 73, 74syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ≠ ∅ ↔ 0 < ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))))
76 xposdif 13300 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝐵) < (𝐹𝐴) ↔ 0 < ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))))
7736, 33, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵) < (𝐹𝐴) ↔ 0 < ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))))
7875, 77bitr4d 282 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ≠ ∅ ↔ (𝐴𝐷𝐵) < (𝐹𝐴)))
79 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐷𝐵) = +∞ → ((𝐴𝐷𝐵) < (𝐹𝐴) ↔ +∞ < (𝐹𝐴)))
8078, 79sylan9bb 509 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) = +∞) → ((𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ≠ ∅ ↔ +∞ < (𝐹𝐴)))
8180necon1bbid 2977 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) = +∞) → (¬ +∞ < (𝐹𝐴) ↔ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) = ∅))
8271, 81mpbid 232 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) = +∞) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) = ∅)
83 0ss 4405 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))
8482, 83eqsstrdi 4049 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) = +∞) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
85 xmetge0 24369 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
866, 10, 8, 85syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
87 ge0nemnf 13211 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵)) → (𝐴𝐷𝐵) ≠ -∞)
8836, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≠ -∞)
8936, 88jca 511 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ≠ -∞))
90 xrnemnf 13156 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ≠ -∞) ↔ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∨ (𝐴𝐷𝐵) = +∞))
9189, 90sylib 218 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∨ (𝐴𝐷𝐵) = +∞))
9268, 84, 91mpjaodan 960 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
93 sslin 4250 . . . . . 6 ((𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) → (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) ⊆ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))))
9492, 93syl 17 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) ⊆ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))))
9533xrleidd 13190 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴))
96 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝑆𝑋)
9728metdsge 24884 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅))
986, 96, 10, 33, 97syl31anc 1372 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅))
9995, 98mpbid 232 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅)
100 sseq0 4408 . . . . 5 (((𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) ⊆ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) ∧ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅) → (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) = ∅)
10194, 99, 100syl2anc 584 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) = ∅)
10228metdsge 24884 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ*) → (((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ (𝐹𝐵) ↔ (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) = ∅))
1036, 96, 8, 73, 102syl31anc 1372 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ (𝐹𝐵) ↔ (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) = ∅))
104101, 103mpbird 257 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ (𝐹𝐵))
10530, 8ffvelcdmd 7104 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞))
106 eliccxr 13471 . . . . 5 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
107105, 106syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
108 elxrge0 13493 . . . . . 6 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)))
109108simprbi 496 . . . . 5 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐵))
110105, 109syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 0 ≤ (𝐹𝐵))
111 xlesubadd 13301 . . . 4 ((((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ (𝐹𝐴) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ≠ -∞ ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵))) → (((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ (𝐹𝐵) ↔ (𝐹𝐴) ≤ ((𝐹𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵))))
11233, 36, 107, 61, 88, 110, 111syl33anc 1384 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ (𝐹𝐵) ↔ (𝐹𝐴) ≤ ((𝐹𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵))))
113104, 112mpbid 232 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐹𝐴) ≤ ((𝐹𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
114 xaddcom 13278 . . 3 (((𝐹𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵)))
115107, 36, 114syl2anc 584 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐹𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵)))
116113, 115breqtrd 5173 1 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐹𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cin 3961  wss 3962  c0 4338   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ran crn 5689  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  infcinf 9478  cr 11151  0cc0 11152  +∞cpnf 11289  -∞cmnf 11290  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  -𝑒cxne 13148   +𝑒 cxad 13149  [,]cicc 13386  ∞Metcxmet 21366  ballcbl 21368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-er 8743  df-ec 8745  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-2 12326  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-icc 13390  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-bl 21376
This theorem is referenced by:  metdsle  24887  metdscnlem  24890  metnrmlem1  24894
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