Theorem metdstri 23557

Description: A generalization of the triangle inequality to the point-set distance function. Under the usual notation where the same symbol 𝑑 denotes the point-point and point-set distance functions, this theorem would be written 𝑑(𝑎, 𝑆) ≤ 𝑑(𝑎, 𝑏) + 𝑑(𝑏, 𝑆). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
metdstri	⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
2		simprl 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3		rexsub 12672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) − (𝐴𝐷𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) − (𝐴𝐷𝐵)))
5	4	oveq2d 7171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) = (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))))
6		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7	6	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
9	8	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
10		simprl 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
11	10	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
12	1, 2	resubcld 11111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
13	2	leidd 11249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
14		xmetsym 23054	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
15	6, 10, 8, 14	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
16	15	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
17	16	eqcomd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
18	1	recnd 10712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
19	2	recnd 10712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℂ)
20	18, 19	nncand 11045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝐴) − ((𝐹‘𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))) = (𝐴𝐷𝐵))
21	13, 17, 20	3brtr4d 5067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐵𝐷𝐴) ≤ ((𝐹‘𝐴) − ((𝐹‘𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))))
22		blss2 23111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (((𝐹‘𝐴) − (𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐷𝐴) ≤ ((𝐹‘𝐴) − ((𝐹‘𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))))) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
23	7, 9, 11, 12, 1, 21, 22	syl33anc 1382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) − (𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
24	5, 23	eqsstrd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
25	24	expr 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))))
26	6	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
27	8	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
28		metdscn.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
29	28	metdsf 23554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
30	29	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
31	30, 10	ffvelrnd 6848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
32		eliccxr 12872	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
34	33	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
35		xmetcl 23038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
36	6, 10, 8, 35	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
37	36	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
38	37	xnegcld 12739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → -𝑒(𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
39	34, 38	xaddcld 12740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
40	39	adantrr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
41		pnfxr 10738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
43		pnfge 12571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ +∞)
44	40, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ +∞)
45		ssbl 23130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ +∞) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐵(ball‘𝐷)+∞))
46	26, 27, 40, 42, 44, 45	syl221anc 1378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐵(ball‘𝐷)+∞))
47		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → (𝐹‘𝐴) = +∞)
48	47	oveq2d 7171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
49	10	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
50		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
51		xblpnf 23103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)))
52	26, 49, 51	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)))
53	27, 50, 52	mpbir2and 712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → 𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
54		blpnfctr 23143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)+∞)) → (𝐴(ball‘𝐷)+∞) = (𝐵(ball‘𝐷)+∞))
55	26, 49, 53, 54	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → (𝐴(ball‘𝐷)+∞) = (𝐵(ball‘𝐷)+∞))
56	48, 55	eqtr2d 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → (𝐵(ball‘𝐷)+∞) = (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
57	46, 56	sseqtrd 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
58	57	expr 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐴) = +∞ → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))))
59		elxrge0 12894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐴)))
60	59	simprbi 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
61	31, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
62		ge0nemnf 12612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ≠ -∞)
63	33, 61, 62	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐴) ≠ -∞)
64	33, 63	jca 515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ -∞))
65	64	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ -∞))
66		xrnemnf 12558	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ -∞) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ ∨ (𝐹‘𝐴) = +∞))
67	65, 66	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ ∨ (𝐹‘𝐴) = +∞))
68	25, 58, 67	mpjaod 857	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
69		pnfnlt 12569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* → ¬ +∞ < (𝐹‘𝐴))
70	33, 69	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ¬ +∞ < (𝐹‘𝐴))
71	70	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) = +∞) → ¬ +∞ < (𝐹‘𝐴))
72	36	xnegcld 12739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → -𝑒(𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
73	33, 72	xaddcld 12740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
74		xbln0 23121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ*) → ((𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ≠ ∅ ↔ 0 < ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))))
75	6, 8, 73, 74	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ≠ ∅ ↔ 0 < ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))))
76		xposdif 12701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝐵) < (𝐹‘𝐴) ↔ 0 < ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))))
77	36, 33, 76	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵) < (𝐹‘𝐴) ↔ 0 < ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))))
78	75, 77	bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ≠ ∅ ↔ (𝐴𝐷𝐵) < (𝐹‘𝐴)))
79		breq1 5038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴𝐷𝐵) = +∞ → ((𝐴𝐷𝐵) < (𝐹‘𝐴) ↔ +∞ < (𝐹‘𝐴)))
80	78, 79	sylan9bb 513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) = +∞) → ((𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ≠ ∅ ↔ +∞ < (𝐹‘𝐴)))
81	80	necon1bbid 2990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) = +∞) → (¬ +∞ < (𝐹‘𝐴) ↔ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) = ∅))
82	71, 81	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) = +∞) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) = ∅)
83		0ss 4295	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))
84	82, 83	eqsstrdi 3948	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐴𝐷𝐵) = +∞) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
85		xmetge0 23051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
86	6, 10, 8, 85	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
87		ge0nemnf 12612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵)) → (𝐴𝐷𝐵) ≠ -∞)
88	36, 86, 87	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≠ -∞)
89	36, 88	jca 515	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ≠ -∞))
90		xrnemnf 12558	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ≠ -∞) ↔ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∨ (𝐴𝐷𝐵) = +∞))
91	89, 90	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ∨ (𝐴𝐷𝐵) = +∞))
92	68, 84, 91	mpjaodan 956	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
93		sslin 4141	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵))) ⊆ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) → (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) ⊆ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))))
94	92, 93	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) ⊆ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))))
95	33	xrleidd 12591	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐴) ≤ (𝐹‘𝐴))
96		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
97	28	metdsge 23555	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝐴) ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) = ∅))
98	6, 96, 10, 33, 97	syl31anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐴) ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) = ∅))
99	95, 98	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) = ∅)
100		sseq0 4298	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) ⊆ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) ∧ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) = ∅) → (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) = ∅)
101	94, 99, 100	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) = ∅)
102	28	metdsge 23555	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ∈ ℝ*) → (((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ (𝐹‘𝐵) ↔ (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) = ∅))
103	6, 96, 8, 73, 102	syl31anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ (𝐹‘𝐵) ↔ (𝑆 ∩ (𝐵(ball‘𝐷)((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)))) = ∅))
104	101, 103	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ (𝐹‘𝐵))
105	30, 8	ffvelrnd 6848	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
106		eliccxr 12872	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ*)
107	105, 106	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ*)
108		elxrge0 12894	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)))
109	108	simprbi 500	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐵))
110	105, 109	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐹‘𝐵))
111		xlesubadd 12702	. . . 4 ⊢ ((((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ≠ -∞ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵))) → (((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ (𝐹‘𝐵) ↔ (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐹‘𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵))))
112	33, 36, 107, 61, 88, 110, 111	syl33anc 1382	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐵)) ≤ (𝐹‘𝐵) ↔ (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐹‘𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵))))
113	104, 112	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐹‘𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
114		xaddcom 12679	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵)))
115	107, 36, 114	syl2anc 587	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵)))
116	113, 115	breqtrd 5061	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227   class class class wbr 5035   ↦ cmpt 5115  ran crn 5528  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  infcinf 8943  ℝcr 10579  0cc0 10580  +∞cpnf 10715  -∞cmnf 10716  ℝ^*cxr 10717   < clt 10718   ≤ cle 10719   − cmin 10913  -_𝑒cxne 12550   +_𝑒 cxad 12551  [,]cicc 12787  ∞Metcxmet 20156  ballcbl 20158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-id 5433  df-po 5446  df-so 5447  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-er 8304  df-ec 8306  df-map 8423  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-sup 8944  df-inf 8945  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-2 11742  df-rp 12436  df-xneg 12553  df-xadd 12554  df-xmul 12555  df-icc 12791  df-psmet 20163  df-xmet 20164  df-bl 20166

This theorem is referenced by:  metdsle  23558  metdscnlem  23561  metnrmlem1  23565