Theorem supxrunb2 13359

Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
supxrunb2	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem supxrunb2

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℝ*))
2		pnfnlt 13168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑧)
3	1, 2	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 ∈ 𝐴 → ¬ +∞ < 𝑧))
4	3	ralrimiv 3143	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧)
6		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑧 < 𝑦))
7	6	rexbidv 3177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
8	7	rspcva 3620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)
9	8	adantrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)
10	9	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)
11	10	exp31 419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
12	11	a1dd 50	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 < +∞ → (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
13	12	com4r 94	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
14	13	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
15	14	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
16	15	ralrimiv 3143	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
17	5, 16	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
18		pnfxr 11313	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
19		supxr 13352	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
20	18, 19	mpanl2 701	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
21	17, 20	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
22	21	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
23		rexr 11305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
24	23	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
25		ltpnf 13160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
26		breq2 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ 𝑥 < +∞))
27	25, 26	imbitrrid 246	. . . . . . . 8 ⊢ (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < )))
28	27	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ))
29	28	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ))
30		xrltso 13180	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ*
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → < Or ℝ*)
32		xrsupss 13348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑤 < 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦)))
33	32	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑤 < 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑤 < 𝑦)))
34	31, 33	suplub 9498	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < )) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))
35	24, 29, 34	mp2and 699	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)
36	35	exp31 419	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑥 ∈ ℝ → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))
37	36	com23 86	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))
38	37	ralrimdv 3150	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))
39	22, 38	impbid 212	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148   Or wor 5596  supcsup 9478  ℝcr 11152  +∞cpnf 11290  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493

This theorem is referenced by:  supxrbnd2  13361  supxrbnd  13367  suplesup  45289  supxrunb3  45349  supminfxr  45414  sge0pnffigt  46352