MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrunb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrunb2 13306
Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrunb2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem supxrunb2
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3975 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧𝐴𝑧 ∈ ℝ*))
2 pnfnlt 13115 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑧)
31, 2syl6 35 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧𝐴 → ¬ +∞ < 𝑧))
43ralrimiv 3144 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧)
54adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧)
6 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑦𝑧 < 𝑦))
76rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))
87rspcva 3610 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)
98adantrr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦𝐴 ⊆ ℝ*)) → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)
109ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)
1110exp31 419 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)))
1211a1dd 50 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 < +∞ → (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))))
1312com4r 94 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))))
1413com13 88 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))))
1514imp 406 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)))
1615ralrimiv 3144 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))
175, 16jca 511 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)))
18 pnfxr 11275 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
19 supxr 13299 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2018, 19mpanl2 698 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2117, 20syldan 590 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2221ex 412 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
23 rexr 11267 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2423ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
25 ltpnf 13107 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
26 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ 𝑥 < +∞))
2725, 26imbitrrid 245 . . . . . . . 8 (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < )))
2827impcom 407 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ))
2928adantll 711 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ))
30 xrltso 13127 . . . . . . . 8 < Or ℝ*
3130a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → < Or ℝ*)
32 xrsupss 13295 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑤 < 𝑧 → ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦)))
3332ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑤 < 𝑧 → ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦)))
3431, 33suplub 9461 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < )) → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
3524, 29, 34mp2and 696 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
3635exp31 419 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑥 ∈ ℝ → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
3736com23 86 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
3837ralrimdv 3151 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
3922, 38impbid 211 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069  wss 3948   class class class wbr 5148   Or wor 5587  supcsup 9441  cr 11115  +∞cpnf 11252  *cxr 11254   < clt 11255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454
This theorem is referenced by:  supxrbnd2  13308  supxrbnd  13314  suplesup  44507  supxrunb3  44567  supminfxr  44632  sge0pnffigt  45570
  Copyright terms: Public domain W3C validator