MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrunb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrunb2 13339
Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrunb2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem supxrunb2
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3975 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧𝐴𝑧 ∈ ℝ*))
2 pnfnlt 13148 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑧)
31, 2syl6 35 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧𝐴 → ¬ +∞ < 𝑧))
43ralrimiv 3142 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧)
54adantr 479 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧)
6 breq1 5155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑦𝑧 < 𝑦))
76rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))
87rspcva 3609 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)
98adantrr 715 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦𝐴 ⊆ ℝ*)) → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)
109ancoms 457 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)
1110exp31 418 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)))
1211a1dd 50 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 < +∞ → (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))))
1312com4r 94 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))))
1413com13 88 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))))
1514imp 405 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)))
1615ralrimiv 3142 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))
175, 16jca 510 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)))
18 pnfxr 11306 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
19 supxr 13332 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2018, 19mpanl2 699 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2117, 20syldan 589 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2221ex 411 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
23 rexr 11298 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2423ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
25 ltpnf 13140 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
26 breq2 5156 . . . . . . . . 9 (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ 𝑥 < +∞))
2725, 26imbitrrid 245 . . . . . . . 8 (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < )))
2827impcom 406 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ))
2928adantll 712 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ))
30 xrltso 13160 . . . . . . . 8 < Or ℝ*
3130a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → < Or ℝ*)
32 xrsupss 13328 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑤 < 𝑧 → ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦)))
3332ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑤 < 𝑧 → ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦)))
3431, 33suplub 9491 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < )) → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
3524, 29, 34mp2and 697 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
3635exp31 418 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑥 ∈ ℝ → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
3736com23 86 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
3837ralrimdv 3149 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
3922, 38impbid 211 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058  wrex 3067  wss 3949   class class class wbr 5152   Or wor 5593  supcsup 9471  cr 11145  +∞cpnf 11283  *cxr 11285   < clt 11286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485
This theorem is referenced by:  supxrbnd2  13341  supxrbnd  13347  suplesup  44750  supxrunb3  44810  supminfxr  44875  sge0pnffigt  45813
  Copyright terms: Public domain W3C validator