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Theorem lt6abl 18565
Description: A group with fewer than 6 elements is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cygctb.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lt6abl ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem lt6abl
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
21grpbn0 17721 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
32adantr 472 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐵 ≠ ∅)
4 6re 11367 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
5 rexr 10341 . . . . . . . 8 (6 ∈ ℝ → 6 ∈ ℝ*)
6 pnfnlt 12165 . . . . . . . 8 (6 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 6)
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . 7 ¬ +∞ < 6
81fvexi 6391 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ V
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ V)
10 hashinf 13329 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
119, 10sylan 575 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
1211breq1d 4821 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) < 6 ↔ +∞ < 6))
1312biimpd 220 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) < 6 → +∞ < 6))
1413impancom 443 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (¬ 𝐵 ∈ Fin → +∞ < 6))
157, 14mt3i 143 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐵 ∈ Fin)
16 hashnncl 13362 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
183, 17mpbird 248 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
19 nnuz 11926 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2018, 19syl6eleq 2854 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘1))
21 6nn 11366 . . . . 5 6 ∈ ℕ
2221nnzi 11651 . . . 4 6 ∈ ℤ
2322a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 6 ∈ ℤ)
24 simpr 477 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) < 6)
25 elfzo2 12684 . . 3 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘1) ∧ 6 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) < 6))
2620, 23, 24, 25syl3anbrc 1443 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) ∈ (1..^6))
27 df-6 11341 . . . . . . 7 6 = (5 + 1)
2827oveq2i 6855 . . . . . 6 (1..^6) = (1..^(5 + 1))
2928eleq2i 2836 . . . . 5 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)))
30 5nn 11362 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ
3130, 19eleqtri 2842 . . . . . 6 5 ∈ (ℤ‘1)
32 fzosplitsni 12790 . . . . . 6 (5 ∈ (ℤ‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5)))
3331, 32ax-mp 5 . . . . 5 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5))
3429, 33bitri 266 . . . 4 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5))
35 df-5 11340 . . . . . . . . 9 5 = (4 + 1)
3635oveq2i 6855 . . . . . . . 8 (1..^5) = (1..^(4 + 1))
3736eleq2i 2836 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)))
38 4nn 11358 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
3938, 19eleqtri 2842 . . . . . . . 8 4 ∈ (ℤ‘1)
40 fzosplitsni 12790 . . . . . . . 8 (4 ∈ (ℤ‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4))
4237, 41bitri 266 . . . . . 6 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4))
43 df-4 11339 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
4443oveq2i 6855 . . . . . . . . . 10 (1..^4) = (1..^(3 + 1))
4544eleq2i 2836 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)))
46 3nn 11353 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
4746, 19eleqtri 2842 . . . . . . . . . 10 3 ∈ (ℤ‘1)
48 fzosplitsni 12790 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ (ℤ‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3)))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3))
5045, 49bitri 266 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3))
51 df-3 11338 . . . . . . . . . . . . 13 3 = (2 + 1)
5251oveq2i 6855 . . . . . . . . . . . 12 (1..^3) = (1..^(2 + 1))
5352eleq2i 2836 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)))
54 2eluzge1 11937 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (ℤ‘1)
55 fzosplitsni 12790 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ (ℤ‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2)))
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2))
5753, 56bitri 266 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2))
58 elsni 4353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝐵) ∈ {1} → (♯‘𝐵) = 1)
59 fzo12sn 12762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1..^2) = {1}
6058, 59eleq2s 2862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) → (♯‘𝐵) = 1)
6160adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (♯‘𝐵) = 1)
62 hash1 13396 . . . . . . . . . . . . . . 15 (♯‘1𝑜) = 1
6361, 62syl6eqr 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (♯‘𝐵) = (♯‘1𝑜))
64 1nn0 11558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℕ0
6561, 64syl6eqel 2852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
66 hashclb 13354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
678, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
6865, 67sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐵 ∈ Fin)
69 1onn 7926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1𝑜 ∈ ω
70 nnfi 8362 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1𝑜 ∈ ω → 1𝑜 ∈ Fin)
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 1𝑜 ∈ Fin
72 hashen 13342 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 1𝑜 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) = (♯‘1𝑜) ↔ 𝐵 ≈ 1𝑜))
7368, 71, 72sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → ((♯‘𝐵) = (♯‘1𝑜) ↔ 𝐵 ≈ 1𝑜))
7463, 73mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐵 ≈ 1𝑜)
7510cyg 18563 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐺 ∈ CycGrp)
76 cygabl 18561 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Abel)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐺 ∈ Abel)
7874, 77syldan 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐺 ∈ Abel)
7978ex 401 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) → 𝐺 ∈ Abel))
80 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐵) = 2 → (♯‘𝐵) = 2)
81 2prm 15688 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℙ
8280, 81syl6eqel 2852 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐵) = 2 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
831prmcyg 18564 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)
8483, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ Abel)
8584ex 401 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → 𝐺 ∈ Abel))
8682, 85syl5 34 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 2 → 𝐺 ∈ Abel))
8779, 86jaod 885 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2) → 𝐺 ∈ Abel))
8857, 87syl5bi 233 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) → 𝐺 ∈ Abel))
89 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐵) = 3 → (♯‘𝐵) = 3)
90 3prm 15689 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℙ
9189, 90syl6eqel 2852 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐵) = 3 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
9291, 85syl5 34 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 3 → 𝐺 ∈ Abel))
9388, 92jaod 885 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3) → 𝐺 ∈ Abel))
9450, 93syl5bi 233 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) → 𝐺 ∈ Abel))
95 simpl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Grp)
96 2z 11659 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
97 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (gEx‘𝐺) = (gEx‘𝐺)
98 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
991, 97, 98gexdvds2 18267 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 2 ∈ ℤ) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 ↔ ∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
10095, 96, 99sylancl 580 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 ↔ ∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
1011, 97gex2abl 18523 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (gEx‘𝐺) ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)
102101ex 401 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
103102adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
104100, 103sylbird 251 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
105 rexnal 3141 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥𝐵 ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 ↔ ¬ ∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)
10695adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ Grp)
107 simprl 787 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝑥𝐵)
1081, 98odcl 18222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐵 → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
109108ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
110 4nn0 11561 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℕ0
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∈ ℕ0)
112 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (♯‘𝐵) = 4)
113112, 110syl6eqel 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
114113, 67sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐵 ∈ Fin)
115114adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐵 ∈ Fin)
1161, 98oddvds2 18250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
117106, 115, 107, 116syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
118112adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (♯‘𝐵) = 4)
119117, 118breqtrd 4837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4)
120 sq2 13170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2↑2) = 4
12196a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 2 ∈ ℤ)
122 2nn0 11559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℕ0
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 2 ∈ ℕ0)
1241, 98odcl2 18249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
125106, 115, 107, 124syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
126 pccl 15836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0)
12781, 125, 126sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0)
128127nn0zd 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ)
129 df-2 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 = (1 + 1)
130 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)
131 dvdsexp 15337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1))
1321313expia 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0) → (1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1)))
13396, 127, 132sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1)))
134 1z 11657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℤ
135 eluz 11903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ↔ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
136128, 134, 135sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ↔ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
137 oveq2 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 2 → (2↑𝑛) = (2↑2))
138137, 120syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = 2 → (2↑𝑛) = 4)
139138breq2d 4823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 = 2 → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4))
140139rspcev 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 ∈ ℕ0 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛))
141122, 119, 140sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛))
142 pcprmpw2 15868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
14381, 125, 142sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
144141, 143mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
145144eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) = ((od‘𝐺)‘𝑥))
146 2cn 11349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℂ
147 exp1 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
148146, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2↑1) = 2
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑1) = 2)
150145, 149breq12d 4824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
151133, 136, 1503imtr3d 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1 → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
152130, 151mtod 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1)
153 1re 10295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ
154127nn0red 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
155 ltnle 10373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
156153, 154, 155sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
157152, 156mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
158 nn0ltp1le 11685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℕ0 ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
15964, 127, 158sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
160157, 159mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
161129, 160syl5eqbr 4846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 2 ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
162 eluz2 11895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
163121, 128, 161, 162syl3anbrc 1443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ‘2))
164 dvdsexp 15337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ‘2)) → (2↑2) ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
165121, 123, 163, 164syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑2) ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
166120, 165syl5eqbrr 4847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
167166, 144breqtrrd 4839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑥))
168 dvdseq 15324 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) ∧ (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4 ∧ 4 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑥))) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 4)
169109, 111, 119, 167, 168syl22anc 867 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 4)
170169, 118eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))
1711, 98, 106, 107, 170iscygodd 18559 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ CycGrp)
172171, 76syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ Abel)
173172rexlimdvaa 3179 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (∃𝑥𝐵 ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
174105, 173syl5bir 234 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (¬ ∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
175104, 174pm2.61d 171 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Abel)
176175ex 401 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 4 → 𝐺 ∈ Abel))
17794, 176jaod 885 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Abel))
17842, 177syl5bi 233 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) → 𝐺 ∈ Abel))
179 id 22 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) = 5 → (♯‘𝐵) = 5)
180 5prm 16092 . . . . . . 7 5 ∈ ℙ
181179, 180syl6eqel 2852 . . . . . 6 ((♯‘𝐵) = 5 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
182181, 85syl5 34 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 5 → 𝐺 ∈ Abel))
183178, 182jaod 885 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5) → 𝐺 ∈ Abel))
18434, 183syl5bi 233 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) → 𝐺 ∈ Abel))
185184imp 395 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^6)) → 𝐺 ∈ Abel)
18626, 185syldan 585 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  c0 4081  {csn 4336   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6844  ωcom 7265  1𝑜c1o 7759  cen 8159  Fincfn 8162  cc 10189  cr 10190  1c1 10192   + caddc 10194  +∞cpnf 10327  *cxr 10329   < clt 10330  cle 10331  cn 11276  2c2 11329  3c3 11330  4c4 11331  5c5 11332  6c6 11333  0cn0 11540  cz 11626  cuz 11889  ..^cfzo 12676  cexp 13070  chash 13324  cdvds 15268  cprime 15668   pCnt cpc 15823  Basecbs 16133  Grpcgrp 17692  odcod 18211  gExcgex 18212  Abelcabl 18463  CycGrpccyg 18548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-disj 4780  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-2o 7767  df-oadd 7770  df-omul 7771  df-er 7949  df-ec 7951  df-qs 7955  df-map 8064  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-sup 8557  df-inf 8558  df-oi 8624  df-card 9018  df-acn 9021  df-cda 9245  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-7 11342  df-8 11343  df-9 11344  df-n0 11541  df-z 11627  df-dec 11744  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-fl 12804  df-mod 12880  df-seq 13012  df-exp 13071  df-hash 13325  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-clim 14507  df-sum 14705  df-dvds 15269  df-gcd 15501  df-prm 15669  df-pc 15824  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-sets 16140  df-ress 16141  df-plusg 16230  df-0g 16371  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-grp 17695  df-minusg 17696  df-sbg 17697  df-mulg 17811  df-subg 17858  df-eqg 17860  df-od 18215  df-gex 18216  df-cmn 18464  df-abl 18465  df-cyg 18549
This theorem is referenced by:  pgrple2abl  42818
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