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Theorem lt6abl 19607
Description: A group with fewer than 6 elements is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cygctb.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lt6abl ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem lt6abl
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
21grpbn0 18715 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
32adantr 482 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐵 ≠ ∅)
4 6re 12177 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
5 rexr 11135 . . . . . . . 8 (6 ∈ ℝ → 6 ∈ ℝ*)
6 pnfnlt 12979 . . . . . . . 8 (6 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 6)
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . 7 ¬ +∞ < 6
81fvexi 6852 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ V
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ V)
10 hashinf 14164 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
119, 10sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
1211breq1d 5114 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) < 6 ↔ +∞ < 6))
1312biimpd 228 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) < 6 → +∞ < 6))
1413impancom 453 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (¬ 𝐵 ∈ Fin → +∞ < 6))
157, 14mt3i 149 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐵 ∈ Fin)
16 hashnncl 14195 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
183, 17mpbird 257 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
19 nnuz 12736 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2018, 19eleqtrdi 2849 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘1))
21 6nn 12176 . . . . 5 6 ∈ ℕ
2221nnzi 12461 . . . 4 6 ∈ ℤ
2322a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 6 ∈ ℤ)
24 simpr 486 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) < 6)
25 elfzo2 13505 . . 3 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘1) ∧ 6 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) < 6))
2620, 23, 24, 25syl3anbrc 1344 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) ∈ (1..^6))
27 df-6 12154 . . . . . . 7 6 = (5 + 1)
2827oveq2i 7361 . . . . . 6 (1..^6) = (1..^(5 + 1))
2928eleq2i 2830 . . . . 5 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)))
30 5nn 12173 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ
3130, 19eleqtri 2837 . . . . . 6 5 ∈ (ℤ‘1)
32 fzosplitsni 13613 . . . . . 6 (5 ∈ (ℤ‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5)))
3331, 32ax-mp 5 . . . . 5 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5))
3429, 33bitri 275 . . . 4 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5))
35 df-5 12153 . . . . . . . . 9 5 = (4 + 1)
3635oveq2i 7361 . . . . . . . 8 (1..^5) = (1..^(4 + 1))
3736eleq2i 2830 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)))
38 4nn 12170 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
3938, 19eleqtri 2837 . . . . . . . 8 4 ∈ (ℤ‘1)
40 fzosplitsni 13613 . . . . . . . 8 (4 ∈ (ℤ‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4))
4237, 41bitri 275 . . . . . 6 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4))
43 df-4 12152 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
4443oveq2i 7361 . . . . . . . . . 10 (1..^4) = (1..^(3 + 1))
4544eleq2i 2830 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)))
46 3nn 12166 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
4746, 19eleqtri 2837 . . . . . . . . . 10 3 ∈ (ℤ‘1)
48 fzosplitsni 13613 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ (ℤ‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3)))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3))
5045, 49bitri 275 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3))
51 df-3 12151 . . . . . . . . . . . . 13 3 = (2 + 1)
5251oveq2i 7361 . . . . . . . . . . . 12 (1..^3) = (1..^(2 + 1))
5352eleq2i 2830 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)))
54 2eluzge1 12749 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (ℤ‘1)
55 fzosplitsni 13613 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ (ℤ‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2)))
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2))
5753, 56bitri 275 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2))
58 elsni 4602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝐵) ∈ {1} → (♯‘𝐵) = 1)
59 fzo12sn 13585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1..^2) = {1}
6058, 59eleq2s 2857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) → (♯‘𝐵) = 1)
6160adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (♯‘𝐵) = 1)
62 hash1 14233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (♯‘1o) = 1
6361, 62eqtr4di 2796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (♯‘𝐵) = (♯‘1o))
64 1nn0 12363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℕ0
6561, 64eqeltrdi 2847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
66 hashclb 14187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
678, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
6865, 67sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐵 ∈ Fin)
69 1onn 8554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1o ∈ ω
70 nnfi 9045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1o ∈ ω → 1o ∈ Fin)
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 1o ∈ Fin
72 hashen 14176 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 1o ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) = (♯‘1o) ↔ 𝐵 ≈ 1o))
7368, 71, 72sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → ((♯‘𝐵) = (♯‘1o) ↔ 𝐵 ≈ 1o))
7463, 73mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐵 ≈ 1o)
7510cyg 19605 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ CycGrp)
76 cygabl 19603 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Abel)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ Abel)
7874, 77syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐺 ∈ Abel)
7978ex 414 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) → 𝐺 ∈ Abel))
80 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐵) = 2 → (♯‘𝐵) = 2)
81 2prm 16504 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℙ
8280, 81eqeltrdi 2847 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐵) = 2 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
831prmcyg 19606 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)
8483, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ Abel)
8584ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → 𝐺 ∈ Abel))
8682, 85syl5 34 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 2 → 𝐺 ∈ Abel))
8779, 86jaod 858 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2) → 𝐺 ∈ Abel))
8857, 87biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) → 𝐺 ∈ Abel))
89 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐵) = 3 → (♯‘𝐵) = 3)
90 3prm 16506 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℙ
9189, 90eqeltrdi 2847 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐵) = 3 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
9291, 85syl5 34 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 3 → 𝐺 ∈ Abel))
9388, 92jaod 858 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3) → 𝐺 ∈ Abel))
9450, 93biimtrid 241 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) → 𝐺 ∈ Abel))
95 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Grp)
96 2z 12469 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
97 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (gEx‘𝐺) = (gEx‘𝐺)
98 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
991, 97, 98gexdvds2 19302 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 2 ∈ ℤ) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 ↔ ∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
10095, 96, 99sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 ↔ ∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
1011, 97gex2abl 19564 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (gEx‘𝐺) ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)
102101ex 414 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
103102adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
104100, 103sylbird 260 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
105 rexnal 3102 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥𝐵 ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 ↔ ¬ ∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)
10695adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ Grp)
107 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝑥𝐵)
1081, 98odcl 19253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐵 → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
109108ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
110 4nn0 12366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℕ0
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∈ ℕ0)
112 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (♯‘𝐵) = 4)
113112, 110eqeltrdi 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
114113, 67sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐵 ∈ Fin)
115114adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐵 ∈ Fin)
1161, 98oddvds2 19283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
117106, 115, 107, 116syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
118112adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (♯‘𝐵) = 4)
119117, 118breqtrd 5130 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4)
120 sq2 14029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2↑2) = 4
121 2nn0 12364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℕ0
12296a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 2 ∈ ℤ)
1231, 98odcl2 19282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
124106, 115, 107, 123syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
125 pccl 16657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0)
12681, 124, 125sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0)
127126nn0zd 12459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ)
128 df-2 12150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 = (1 + 1)
129 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)
130 dvdsexp 16146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1))
1311303expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0) → (1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1)))
13296, 126, 131sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1)))
133 1z 12467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℤ
134 eluz 12711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ↔ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
135127, 133, 134sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ↔ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
136 oveq2 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 2 → (2↑𝑛) = (2↑2))
137136, 120eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = 2 → (2↑𝑛) = 4)
138137breq2d 5116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 = 2 → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4))
139138rspcev 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 ∈ ℕ0 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛))
140121, 119, 139sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛))
141 pcprmpw2 16690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
14281, 124, 141sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
143140, 142mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
144143eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) = ((od‘𝐺)‘𝑥))
145 2cn 12162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℂ
146 exp1 13903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
147145, 146ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2↑1) = 2
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑1) = 2)
149144, 148breq12d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
150132, 135, 1493imtr3d 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1 → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
151129, 150mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1)
152 1re 11089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ
153126nn0red 12408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
154 ltnle 11168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
155152, 153, 154sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
156151, 155mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
157 nn0ltp1le 12495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℕ0 ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
15864, 126, 157sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
159156, 158mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
160128, 159eqbrtrid 5139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 2 ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
161 eluz2 12703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
162122, 127, 160, 161syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ‘2))
163 dvdsexp 16146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ‘2)) → (2↑2) ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
16496, 121, 162, 163mp3an12i 1466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑2) ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
165120, 164eqbrtrrid 5140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
166165, 143breqtrrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑥))
167 dvdseq 16132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) ∧ (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4 ∧ 4 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑥))) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 4)
168109, 111, 119, 166, 167syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 4)
169168, 118eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))
1701, 98, 106, 107, 169iscygodd 19600 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ CycGrp)
171170, 76syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ Abel)
172171rexlimdvaa 3152 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (∃𝑥𝐵 ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
173105, 172biimtrrid 242 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (¬ ∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
174104, 173pm2.61d 179 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Abel)
175174ex 414 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 4 → 𝐺 ∈ Abel))
17694, 175jaod 858 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Abel))
17742, 176biimtrid 241 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) → 𝐺 ∈ Abel))
178 id 22 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) = 5 → (♯‘𝐵) = 5)
179 5prm 16917 . . . . . . 7 5 ∈ ℙ
180178, 179eqeltrdi 2847 . . . . . 6 ((♯‘𝐵) = 5 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
181180, 85syl5 34 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 5 → 𝐺 ∈ Abel))
182177, 181jaod 858 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5) → 𝐺 ∈ Abel))
18334, 182biimtrid 241 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) → 𝐺 ∈ Abel))
184183imp 408 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^6)) → 𝐺 ∈ Abel)
18526, 184syldan 592 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  wral 3063  wrex 3072  Vcvv 3444  c0 4281  {csn 4585   class class class wbr 5104  cfv 6492  (class class class)co 7350  ωcom 7793  1oc1o 8373  cen 8814  Fincfn 8817  cc 10983  cr 10984  1c1 10986   + caddc 10988  +∞cpnf 11120  *cxr 11122   < clt 11123  cle 11124  cn 12087  2c2 12142  3c3 12143  4c4 12144  5c5 12145  6c6 12146  0cn0 12347  cz 12433  cuz 12697  ..^cfzo 13497  cexp 13897  chash 14159  cdvds 16072  cprime 16483   pCnt cpc 16644  Basecbs 17019  Grpcgrp 18684  odcod 19241  gExcgex 19242  Abelcabl 19498  CycGrpccyg 19589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-disj 5070  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8582  df-ec 8584  df-qs 8588  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-dju 9771  df-card 9809  df-acn 9812  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12553  df-uz 12698  df-q 12804  df-rp 12846  df-fz 13355  df-fzo 13498  df-fl 13627  df-mod 13705  df-seq 13837  df-exp 13898  df-hash 14160  df-cj 14919  df-re 14920  df-im 14921  df-sqrt 15055  df-abs 15056  df-clim 15306  df-sum 15507  df-dvds 16073  df-gcd 16311  df-prm 16484  df-pc 16645  df-sets 16972  df-slot 16990  df-ndx 17002  df-base 17020  df-ress 17049  df-plusg 17082  df-0g 17259  df-mgm 18433  df-sgrp 18482  df-mnd 18493  df-grp 18687  df-minusg 18688  df-sbg 18689  df-mulg 18808  df-subg 18860  df-eqg 18862  df-od 19245  df-gex 19246  df-cmn 19499  df-abl 19500  df-cyg 19590
This theorem is referenced by:  pgrple2abl  46232
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