Theorem lt6abl 19824

Description: A group with fewer than 6 elements is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
cygctb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lt6abl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem lt6abl

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygctb.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	grpbn0 18896	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐵 ≠ ∅)
4		6re 12235	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
5		rexr 11178	. . . . . . . 8 ⊢ (6 ∈ ℝ → 6 ∈ ℝ*)
6		pnfnlt 13042	. . . . . . . 8 ⊢ (6 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 6)
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ ¬ +∞ < 6
8	1	fvexi 6848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ V)
10		hashinf 14258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
11	9, 10	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
12	11	breq1d 5108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) < 6 ↔ +∞ < 6))
13	12	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) < 6 → +∞ < 6))
14	13	impancom 451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (¬ 𝐵 ∈ Fin → +∞ < 6))
15	7, 14	mt3i 149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐵 ∈ Fin)
16		hashnncl 14289	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
18	3, 17	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
19		nnuz 12790	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
20	18, 19	eleqtrdi 2846	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘1))
21		6nn 12234	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
22	21	nnzi 12515	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℤ
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 6 ∈ ℤ)
24		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) < 6)
25		elfzo2 13578	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 6 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) < 6))
26	20, 23, 24, 25	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) ∈ (1..^6))
27		df-6 12212	. . . . . . 7 ⊢ 6 = (5 + 1)
28	27	oveq2i 7369	. . . . . 6 ⊢ (1..^6) = (1..^(5 + 1))
29	28	eleq2i 2828	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)))
30		5nn 12231	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
31	30, 19	eleqtri 2834	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘1)
32		fzosplitsni 13695	. . . . . 6 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5)))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5))
34	29, 33	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5))
35		df-5 12211	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 = (4 + 1)
36	35	oveq2i 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^5) = (1..^(4 + 1))
37	36	eleq2i 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)))
38		4nn 12228	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
39	38, 19	eleqtri 2834	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘1)
40		fzosplitsni 13695	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4)))
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4))
42	37, 41	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4))
43		df-4 12210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (3 + 1)
44	43	oveq2i 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1..^4) = (1..^(3 + 1))
45	44	eleq2i 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)))
46		3nn 12224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
47	46, 19	eleqtri 2834	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘1)
48		fzosplitsni 13695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3)))
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3))
50	45, 49	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3))
51		df-3 12209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 = (2 + 1)
52	51	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1..^3) = (1..^(2 + 1))
53	52	eleq2i 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)))
54		2eluzge1 12795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
55		fzosplitsni 13695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2)))
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2))
57	53, 56	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2))
58		elsni 4597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ {1} → (♯‘𝐵) = 1)
59		fzo12sn 13664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1..^2) = {1}
60	58, 59	eleq2s 2854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) → (♯‘𝐵) = 1)
61	60	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (♯‘𝐵) = 1)
62		hash1 14327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘1o) = 1
63	61, 62	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (♯‘𝐵) = (♯‘1o))
64		1nn0 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℕ0
65	61, 64	eqeltrdi 2844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
66		hashclb 14281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
67	8, 66	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
68	65, 67	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐵 ∈ Fin)
69		1onn 8568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1o ∈ ω
70		nnfi 9092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1o ∈ ω → 1o ∈ Fin)
71	69, 70	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1o ∈ Fin
72		hashen 14270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 1o ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) = (♯‘1o) ↔ 𝐵 ≈ 1o))
73	68, 71, 72	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → ((♯‘𝐵) = (♯‘1o) ↔ 𝐵 ≈ 1o))
74	63, 73	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐵 ≈ 1o)
75	1	0cyg 19822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ CycGrp)
76		cygabl 19820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Abel)
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ Abel)
78	74, 77	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐺 ∈ Abel)
79	78	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) → 𝐺 ∈ Abel))
80		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐵) = 2 → (♯‘𝐵) = 2)
81		2prm 16619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℙ
82	80, 81	eqeltrdi 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐵) = 2 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
83	1	prmcyg 19823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)
84	83, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ Abel)
85	84	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → 𝐺 ∈ Abel))
86	82, 85	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 2 → 𝐺 ∈ Abel))
87	79, 86	jaod 859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2) → 𝐺 ∈ Abel))
88	57, 87	biimtrid 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) → 𝐺 ∈ Abel))
89		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) = 3 → (♯‘𝐵) = 3)
90		3prm 16621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℙ
91	89, 90	eqeltrdi 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐵) = 3 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
92	91, 85	syl5 34	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 3 → 𝐺 ∈ Abel))
93	88, 92	jaod 859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3) → 𝐺 ∈ Abel))
94	50, 93	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) → 𝐺 ∈ Abel))
95		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Grp)
96		2z 12523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
97		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (gEx‘𝐺) = (gEx‘𝐺)
98		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
99	1, 97, 98	gexdvds2 19514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 2 ∈ ℤ) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
100	95, 96, 99	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
101	1, 97	gex2abl 19780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (gEx‘𝐺) ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)
102	101	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
104	100, 103	sylbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
105		rexnal 3088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)
106	95	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ Grp)
107		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
108	1, 98	odcl 19465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
109	108	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
110		4nn0 12420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ ℕ0
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∈ ℕ0)
112		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (♯‘𝐵) = 4)
113	112, 110	eqeltrdi 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
114	113, 67	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐵 ∈ Fin)
115	114	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐵 ∈ Fin)
116	1, 98	oddvds2 19495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
117	106, 115, 107, 116	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
118	112	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (♯‘𝐵) = 4)
119	117, 118	breqtrd 5124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4)
120		sq2 14120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2↑2) = 4
121		2nn0 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℕ0
122	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 2 ∈ ℤ)
123	1, 98	odcl2 19494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
124	106, 115, 107, 123	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
125		pccl 16777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0)
126	81, 124, 125	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0)
127	126	nn0zd 12513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ)
128		df-2 12208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 = (1 + 1)
129		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)
130		dvdsexp 16255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ (ℤ≥‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1))
131	130	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0) → (1 ∈ (ℤ≥‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1)))
132	96, 126, 131	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 ∈ (ℤ≥‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1)))
133		1z 12521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℤ
134		eluz 12765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ∈ (ℤ≥‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ↔ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
135	127, 133, 134	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 ∈ (ℤ≥‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ↔ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
136		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑𝑛) = (2↑2))
137	136, 120	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑𝑛) = 4)
138	137	breq2d 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑛 = 2 → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4))
139	138	rspcev 3576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛))
140	121, 119, 139	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛))
141		pcprmpw2 16810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
142	81, 124, 141	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
143	140, 142	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
144	143	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) = ((od‘𝐺)‘𝑥))
145		2cn 12220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℂ
146		exp1 13990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
147	145, 146	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (2↑1) = 2
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑1) = 2)
149	144, 148	breq12d 5111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
150	132, 135, 149	3imtr3d 293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1 → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
151	129, 150	mtod 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1)
152		1re 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℝ
153	126	nn0red 12463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
154		ltnle 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
155	152, 153, 154	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
156	151, 155	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
157		nn0ltp1le 12550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
158	64, 126, 157	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
159	156, 158	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
160	128, 159	eqbrtrid 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 2 ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
161		eluz2 12757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
162	122, 127, 160, 161	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ≥‘2))
163		dvdsexp 16255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑2) ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
164	96, 121, 162, 163	mp3an12i 1467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑2) ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
165	120, 164	eqbrtrrid 5134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
166	165, 143	breqtrrd 5126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑥))
167		dvdseq 16241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) ∧ (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4 ∧ 4 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑥))) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 4)
168	109, 111, 119, 166, 167	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 4)
169	168, 118	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))
170	1, 98, 106, 107, 169	iscygodd 19817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ CycGrp)
171	170, 76	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ Abel)
172	171	rexlimdvaa 3138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
173	105, 172	biimtrrid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
174	104, 173	pm2.61d 179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Abel)
175	174	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 4 → 𝐺 ∈ Abel))
176	94, 175	jaod 859	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Abel))
177	42, 176	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) → 𝐺 ∈ Abel))
178		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) = 5 → (♯‘𝐵) = 5)
179		5prm 17036	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℙ
180	178, 179	eqeltrdi 2844	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) = 5 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
181	180, 85	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 5 → 𝐺 ∈ Abel))
182	177, 181	jaod 859	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5) → 𝐺 ∈ Abel))
183	34, 182	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) → 𝐺 ∈ Abel))
184	183	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^6)) → 𝐺 ∈ Abel)
185	26, 184	syldan 591	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3440  ∅c0 4285  {csn 4580   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ωcom 7808  1_oc1o 8390   ≈ cen 8880  Fincfn 8883  ℂcc 11024  ℝcr 11025  1c1 11027   + caddc 11029  +∞cpnf 11163  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167  ℕcn 12145  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  5c5 12203  6c6 12204  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ..^cfzo 13570  ↑cexp 13984  ♯chash 14253   ∥ cdvds 16179  ℙcprime 16598   pCnt cpc 16764  Basecbs 17136  Grpcgrp 18863  odcod 19453  gExcgex 19454  Abelcabl 19710  CycGrpccyg 19806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-disj 5066  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-ec 8637  df-qs 8641  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-acn 9854  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-prm 16599  df-pc 16765  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-eqg 19055  df-od 19457  df-gex 19458  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-cyg 19807

This theorem is referenced by:  pgrple2abl  48621