Theorem lt6abl 19876

Description: A group with fewer than 6 elements is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
cygctb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lt6abl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem lt6abl

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygctb.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	grpbn0 18949	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐵 ≠ ∅)
4		6re 12330	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
5		rexr 11281	. . . . . . . 8 ⊢ (6 ∈ ℝ → 6 ∈ ℝ*)
6		pnfnlt 13144	. . . . . . . 8 ⊢ (6 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 6)
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ ¬ +∞ < 6
8	1	fvexi 6890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ V)
10		hashinf 14353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
11	9, 10	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
12	11	breq1d 5129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) < 6 ↔ +∞ < 6))
13	12	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) < 6 → +∞ < 6))
14	13	impancom 451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (¬ 𝐵 ∈ Fin → +∞ < 6))
15	7, 14	mt3i 149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐵 ∈ Fin)
16		hashnncl 14384	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
18	3, 17	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
19		nnuz 12895	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
20	18, 19	eleqtrdi 2844	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘1))
21		6nn 12329	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
22	21	nnzi 12616	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℤ
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 6 ∈ ℤ)
24		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) < 6)
25		elfzo2 13679	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 6 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) < 6))
26	20, 23, 24, 25	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) ∈ (1..^6))
27		df-6 12307	. . . . . . 7 ⊢ 6 = (5 + 1)
28	27	oveq2i 7416	. . . . . 6 ⊢ (1..^6) = (1..^(5 + 1))
29	28	eleq2i 2826	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)))
30		5nn 12326	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
31	30, 19	eleqtri 2832	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘1)
32		fzosplitsni 13794	. . . . . 6 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5)))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5))
34	29, 33	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5))
35		df-5 12306	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 = (4 + 1)
36	35	oveq2i 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^5) = (1..^(4 + 1))
37	36	eleq2i 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)))
38		4nn 12323	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
39	38, 19	eleqtri 2832	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘1)
40		fzosplitsni 13794	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4)))
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4))
42	37, 41	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4))
43		df-4 12305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (3 + 1)
44	43	oveq2i 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1..^4) = (1..^(3 + 1))
45	44	eleq2i 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)))
46		3nn 12319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
47	46, 19	eleqtri 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘1)
48		fzosplitsni 13794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3)))
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3))
50	45, 49	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3))
51		df-3 12304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 = (2 + 1)
52	51	oveq2i 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1..^3) = (1..^(2 + 1))
53	52	eleq2i 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)))
54		2eluzge1 12910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
55		fzosplitsni 13794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2)))
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2))
57	53, 56	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2))
58		elsni 4618	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ {1} → (♯‘𝐵) = 1)
59		fzo12sn 13764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1..^2) = {1}
60	58, 59	eleq2s 2852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) → (♯‘𝐵) = 1)
61	60	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (♯‘𝐵) = 1)
62		hash1 14422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘1o) = 1
63	61, 62	eqtr4di 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (♯‘𝐵) = (♯‘1o))
64		1nn0 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℕ0
65	61, 64	eqeltrdi 2842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
66		hashclb 14376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
67	8, 66	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
68	65, 67	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐵 ∈ Fin)
69		1onn 8652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1o ∈ ω
70		nnfi 9181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1o ∈ ω → 1o ∈ Fin)
71	69, 70	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1o ∈ Fin
72		hashen 14365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 1o ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) = (♯‘1o) ↔ 𝐵 ≈ 1o))
73	68, 71, 72	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → ((♯‘𝐵) = (♯‘1o) ↔ 𝐵 ≈ 1o))
74	63, 73	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐵 ≈ 1o)
75	1	0cyg 19874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ CycGrp)
76		cygabl 19872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Abel)
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ Abel)
78	74, 77	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐺 ∈ Abel)
79	78	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) → 𝐺 ∈ Abel))
80		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐵) = 2 → (♯‘𝐵) = 2)
81		2prm 16711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℙ
82	80, 81	eqeltrdi 2842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐵) = 2 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
83	1	prmcyg 19875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)
84	83, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ Abel)
85	84	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → 𝐺 ∈ Abel))
86	82, 85	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 2 → 𝐺 ∈ Abel))
87	79, 86	jaod 859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2) → 𝐺 ∈ Abel))
88	57, 87	biimtrid 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) → 𝐺 ∈ Abel))
89		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) = 3 → (♯‘𝐵) = 3)
90		3prm 16713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℙ
91	89, 90	eqeltrdi 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐵) = 3 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
92	91, 85	syl5 34	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 3 → 𝐺 ∈ Abel))
93	88, 92	jaod 859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3) → 𝐺 ∈ Abel))
94	50, 93	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) → 𝐺 ∈ Abel))
95		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Grp)
96		2z 12624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
97		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (gEx‘𝐺) = (gEx‘𝐺)
98		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
99	1, 97, 98	gexdvds2 19566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 2 ∈ ℤ) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
100	95, 96, 99	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
101	1, 97	gex2abl 19832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (gEx‘𝐺) ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)
102	101	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
104	100, 103	sylbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
105		rexnal 3089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)
106	95	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ Grp)
107		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
108	1, 98	odcl 19517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
109	108	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
110		4nn0 12520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ ℕ0
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∈ ℕ0)
112		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (♯‘𝐵) = 4)
113	112, 110	eqeltrdi 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
114	113, 67	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐵 ∈ Fin)
115	114	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐵 ∈ Fin)
116	1, 98	oddvds2 19547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
117	106, 115, 107, 116	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
118	112	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (♯‘𝐵) = 4)
119	117, 118	breqtrd 5145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4)
120		sq2 14215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2↑2) = 4
121		2nn0 12518	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℕ0
122	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 2 ∈ ℤ)
123	1, 98	odcl2 19546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
124	106, 115, 107, 123	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
125		pccl 16869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0)
126	81, 124, 125	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0)
127	126	nn0zd 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ)
128		df-2 12303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 = (1 + 1)
129		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)
130		dvdsexp 16347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ (ℤ≥‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1))
131	130	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0) → (1 ∈ (ℤ≥‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1)))
132	96, 126, 131	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 ∈ (ℤ≥‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1)))
133		1z 12622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℤ
134		eluz 12866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ∈ (ℤ≥‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ↔ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
135	127, 133, 134	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 ∈ (ℤ≥‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ↔ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
136		oveq2 7413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑𝑛) = (2↑2))
137	136, 120	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑𝑛) = 4)
138	137	breq2d 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑛 = 2 → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4))
139	138	rspcev 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛))
140	121, 119, 139	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛))
141		pcprmpw2 16902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
142	81, 124, 141	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
143	140, 142	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
144	143	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) = ((od‘𝐺)‘𝑥))
145		2cn 12315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℂ
146		exp1 14085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
147	145, 146	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (2↑1) = 2
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑1) = 2)
149	144, 148	breq12d 5132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
150	132, 135, 149	3imtr3d 293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1 → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
151	129, 150	mtod 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1)
152		1re 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℝ
153	126	nn0red 12563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
154		ltnle 11314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
155	152, 153, 154	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
156	151, 155	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
157		nn0ltp1le 12651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
158	64, 126, 157	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
159	156, 158	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
160	128, 159	eqbrtrid 5154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 2 ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
161		eluz2 12858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
162	122, 127, 160, 161	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ≥‘2))
163		dvdsexp 16347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑2) ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
164	96, 121, 162, 163	mp3an12i 1467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑2) ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
165	120, 164	eqbrtrrid 5155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
166	165, 143	breqtrrd 5147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑥))
167		dvdseq 16333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) ∧ (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4 ∧ 4 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑥))) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 4)
168	109, 111, 119, 166, 167	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 4)
169	168, 118	eqtr4d 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))
170	1, 98, 106, 107, 169	iscygodd 19869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ CycGrp)
171	170, 76	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ Abel)
172	171	rexlimdvaa 3142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
173	105, 172	biimtrrid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
174	104, 173	pm2.61d 179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Abel)
175	174	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 4 → 𝐺 ∈ Abel))
176	94, 175	jaod 859	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Abel))
177	42, 176	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) → 𝐺 ∈ Abel))
178		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) = 5 → (♯‘𝐵) = 5)
179		5prm 17128	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℙ
180	178, 179	eqeltrdi 2842	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) = 5 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
181	180, 85	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 5 → 𝐺 ∈ Abel))
182	177, 181	jaod 859	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5) → 𝐺 ∈ Abel))
183	34, 182	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) → 𝐺 ∈ Abel))
184	183	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^6)) → 𝐺 ∈ Abel)
185	26, 184	syldan 591	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3459  ∅c0 4308  {csn 4601   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ωcom 7861  1_oc1o 8473   ≈ cen 8956  Fincfn 8959  ℂcc 11127  ℝcr 11128  1c1 11130   + caddc 11132  +∞cpnf 11266  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270  ℕcn 12240  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  5c5 12298  6c6 12299  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ..^cfzo 13671  ↑cexp 14079  ♯chash 14348   ∥ cdvds 16272  ℙcprime 16690   pCnt cpc 16856  Basecbs 17228  Grpcgrp 18916  odcod 19505  gExcgex 19506  Abelcabl 19762  CycGrpccyg 19858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-disj 5087  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-ec 8721  df-qs 8725  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-dju 9915  df-card 9953  df-acn 9956  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-sum 15703  df-dvds 16273  df-gcd 16514  df-prm 16691  df-pc 16857  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-eqg 19108  df-od 19509  df-gex 19510  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-cyg 19859

This theorem is referenced by:  pgrple2abl  48340