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Theorem lt6abl 19763

Description: A group with fewer than 6 elements is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
cygctb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
lt6abl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem lt6abl Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygctb.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	grpbn0 18851	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
3	2	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐵 ≠ ∅)
4		6re 12302	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
5		rexr 11260	. . . . . . . 8 ⊢ (6 ∈ ℝ → 6 ∈ ℝ^*)
6		pnfnlt 13108	. . . . . . . 8 ⊢ (6 ∈ ℝ^* → ¬ +∞ < 6)
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ ¬ +∞ < 6
8	1	fvexi 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ V)
10		hashinf 14295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
11	9, 10	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
12	11	breq1d 5159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) < 6 ↔ +∞ < 6))
13	12	biimpd 228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) < 6 → +∞ < 6))
14	13	impancom 453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (¬ 𝐵 ∈ Fin → +∞ < 6))
15	7, 14	mt3i 149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐵 ∈ Fin)
16		hashnncl 14326	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
18	3, 17	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
19		nnuz 12865	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
20	18, 19	eleqtrdi 2844	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ_≥‘1))
21		6nn 12301	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
22	21	nnzi 12586	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℤ
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 6 ∈ ℤ)
24		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) < 6)
25		elfzo2 13635	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (ℤ_≥‘1) ∧ 6 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) < 6))
26	20, 23, 24, 25	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) ∈ (1..^6))
27		df-6 12279	. . . . . . 7 ⊢ 6 = (5 + 1)
28	27	oveq2i 7420	. . . . . 6 ⊢ (1..^6) = (1..^(5 + 1))
29	28	eleq2i 2826	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)))
30		5nn 12298	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
31	30, 19	eleqtri 2832	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ (ℤ_≥‘1)
32		fzosplitsni 13743	. . . . . 6 ⊢ (5 ∈ (ℤ_≥‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5)))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5))
34	29, 33	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5))
35		df-5 12278	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 = (4 + 1)
36	35	oveq2i 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^5) = (1..^(4 + 1))
37	36	eleq2i 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)))
38		4nn 12295	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
39	38, 19	eleqtri 2832	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ (ℤ_≥‘1)
40		fzosplitsni 13743	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ (ℤ_≥‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4)))
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4))
42	37, 41	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4))
43		df-4 12277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (3 + 1)
44	43	oveq2i 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1..^4) = (1..^(3 + 1))
45	44	eleq2i 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)))
46		3nn 12291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
47	46, 19	eleqtri 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ (ℤ_≥‘1)
48		fzosplitsni 13743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ (ℤ_≥‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3)))
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3))
50	45, 49	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3))
51		df-3 12276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 = (2 + 1)
52	51	oveq2i 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1..^3) = (1..^(2 + 1))
53	52	eleq2i 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)))
54		2eluzge1 12878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ (ℤ_≥‘1)
55		fzosplitsni 13743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ (ℤ_≥‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2)))
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2))
57	53, 56	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2))
58		elsni 4646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ {1} → (♯‘𝐵) = 1)
59		fzo12sn 13715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1..^2) = {1}
60	58, 59	eleq2s 2852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) → (♯‘𝐵) = 1)
61	60	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (♯‘𝐵) = 1)
62		hash1 14364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘1_o) = 1
63	61, 62	eqtr4di 2791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (♯‘𝐵) = (♯‘1_o))
64		1nn0 12488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
65	61, 64	eqeltrdi 2842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
66		hashclb 14318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀))
67	8, 66	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
68	65, 67	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐵 ∈ Fin)
69		1onn 8639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1_o ∈ ω
70		nnfi 9167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1_o ∈ ω → 1_o ∈ Fin)
71	69, 70	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1_o ∈ Fin
72		hashen 14307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 1_o ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) = (♯‘1_o) ↔ 𝐵 ≈ 1_o))
73	68, 71, 72	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → ((♯‘𝐵) = (♯‘1_o) ↔ 𝐵 ≈ 1_o))
74	63, 73	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐵 ≈ 1_o)
75	1	0cyg 19761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1_o) → 𝐺 ∈ CycGrp)
76		cygabl 19759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Abel)
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1_o) → 𝐺 ∈ Abel)
78	74, 77	syldan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐺 ∈ Abel)
79	78	ex 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) → 𝐺 ∈ Abel))
80		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐵) = 2 → (♯‘𝐵) = 2)
81		2prm 16629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℙ
82	80, 81	eqeltrdi 2842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐵) = 2 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
83	1	prmcyg 19762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)
84	83, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ Abel)
85	84	ex 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → 𝐺 ∈ Abel))
86	82, 85	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 2 → 𝐺 ∈ Abel))
87	79, 86	jaod 858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2) → 𝐺 ∈ Abel))
88	57, 87	biimtrid 241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) → 𝐺 ∈ Abel))
89		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) = 3 → (♯‘𝐵) = 3)
90		3prm 16631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℙ
91	89, 90	eqeltrdi 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐵) = 3 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
92	91, 85	syl5 34	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 3 → 𝐺 ∈ Abel))
93	88, 92	jaod 858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3) → 𝐺 ∈ Abel))
94	50, 93	biimtrid 241	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) → 𝐺 ∈ Abel))
95		simpl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Grp)
96		2z 12594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
97		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (gEx‘𝐺) = (gEx‘𝐺)
98		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
99	1, 97, 98	gexdvds2 19453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 2 ∈ ℤ) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
100	95, 96, 99	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
101	1, 97	gex2abl 19719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (gEx‘𝐺) ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)
102	101	ex 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
103	102	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
104	100, 103	sylbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
105		rexnal 3101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)
106	95	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ Grp)
107		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
108	1, 98	odcl 19404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ₀)
109	108	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ₀)
110		4nn0 12491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∈ ℕ₀)
112		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (♯‘𝐵) = 4)
113	112, 110	eqeltrdi 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
114	113, 67	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐵 ∈ Fin)
115	114	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐵 ∈ Fin)
116	1, 98	oddvds2 19434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
117	106, 115, 107, 116	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
118	112	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (♯‘𝐵) = 4)
119	117, 118	breqtrd 5175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4)
120		sq2 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2↑2) = 4
121		2nn0 12489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
122	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 2 ∈ ℤ)
123	1, 98	odcl2 19433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
124	106, 115, 107, 123	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
125		pccl 16782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ₀)
126	81, 124, 125	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ₀)
127	126	nn0zd 12584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ)
128		df-2 12275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 = (1 + 1)
129		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)
130		dvdsexp 16271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ₀ ∧ 1 ∈ (ℤ_≥‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1))
131	130	3expia 1122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ₀) → (1 ∈ (ℤ_≥‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1)))
132	96, 126, 131	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 ∈ (ℤ_≥‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1)))
133		1z 12592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℤ
134		eluz 12836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ∈ (ℤ_≥‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ↔ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
135	127, 133, 134	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 ∈ (ℤ_≥‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ↔ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
136		oveq2 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑𝑛) = (2↑2))
137	136, 120	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑𝑛) = 4)
138	137	breq2d 5161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑛 = 2 → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4))
139	138	rspcev 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((2 ∈ ℕ₀ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4) → ∃𝑛 ∈ ℕ₀ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛))
140	121, 119, 139	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ∃𝑛 ∈ ℕ₀ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛))
141		pcprmpw2 16815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ₀ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
142	81, 124, 141	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (∃𝑛 ∈ ℕ₀ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
143	140, 142	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
144	143	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) = ((od‘𝐺)‘𝑥))
145		2cn 12287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℂ
146		exp1 14033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
147	145, 146	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (2↑1) = 2
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑1) = 2)
149	144, 148	breq12d 5162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
150	132, 135, 149	3imtr3d 293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1 → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
151	129, 150	mtod 197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1)
152		1re 11214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℝ
153	126	nn0red 12533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
154		ltnle 11293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
155	152, 153, 154	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
156	151, 155	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
157		nn0ltp1le 12620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℕ₀ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ₀) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
158	64, 126, 157	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
159	156, 158	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
160	128, 159	eqbrtrid 5184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 2 ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
161		eluz2 12828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
162	122, 127, 160, 161	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ_≥‘2))
163		dvdsexp 16271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ₀ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ_≥‘2)) → (2↑2) ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
164	96, 121, 162, 163	mp3an12i 1466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑2) ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
165	120, 164	eqbrtrrid 5185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
166	165, 143	breqtrrd 5177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑥))
167		dvdseq 16257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ₀ ∧ 4 ∈ ℕ₀) ∧ (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4 ∧ 4 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑥))) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 4)
168	109, 111, 119, 166, 167	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 4)
169	168, 118	eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))
170	1, 98, 106, 107, 169	iscygodd 19756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ CycGrp)
171	170, 76	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ Abel)
172	171	rexlimdvaa 3157	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
173	105, 172	biimtrrid 242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
174	104, 173	pm2.61d 179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Abel)
175	174	ex 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 4 → 𝐺 ∈ Abel))
176	94, 175	jaod 858	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Abel))
177	42, 176	biimtrid 241	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) → 𝐺 ∈ Abel))
178		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) = 5 → (♯‘𝐵) = 5)
179		5prm 17042	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℙ
180	178, 179	eqeltrdi 2842	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) = 5 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
181	180, 85	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 5 → 𝐺 ∈ Abel))
182	177, 181	jaod 858	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5) → 𝐺 ∈ Abel))
183	34, 182	biimtrid 241	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) → 𝐺 ∈ Abel))
184	183	imp 408	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^6)) → 𝐺 ∈ Abel)
185	26, 184	syldan 592	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 397 ∨ wo 846 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2941 ∀wral 3062 ∃wrex 3071 Vcvv 3475 ∅c0 4323 {csn 4629 class class class wbr 5149 ‘cfv 6544 (class class class)co 7409 ωcom 7855 1_oc1o 8459 ≈ cen 8936 Fincfn 8939 ℂcc 11108 ℝcr 11109 1c1 11111 + caddc 11113 +∞cpnf 11245 ℝ^*cxr 11247 < clt 11248 ≤ cle 11249 ℕcn 12212 2c2 12267 3c3 12268 4c4 12269 5c5 12270 6c6 12271 ℕ₀cn0 12472 ℤcz 12558 ℤ_≥cuz 12822 ..^cfzo 13627 ↑cexp 14027 ♯chash 14290 ∥ cdvds 16197 ℙcprime 16608 pCnt cpc 16769 Basecbs 17144 Grpcgrp 18819 odcod 19392 gExcgex 19393 Abelcabl 19649 CycGrpccyg 19745

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5286 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-inf2 9636 ax-cnex 11166 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187 ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-int 4952 df-iun 5000 df-disj 5115 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-se 5633 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-isom 6553 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-om 7856 df-1st 7975 df-2nd 7976 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8371 df-rdg 8410 df-1o 8466 df-2o 8467 df-oadd 8470 df-omul 8471 df-er 8703 df-ec 8705 df-qs 8709 df-map 8822 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-sup 9437 df-inf 9438 df-oi 9505 df-dju 9896 df-card 9934 df-acn 9937 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 df-div 11872 df-nn 12213 df-2 12275 df-3 12276 df-4 12277 df-5 12278 df-6 12279 df-7 12280 df-8 12281 df-9 12282 df-n0 12473 df-z 12559 df-dec 12678 df-uz 12823 df-q 12933 df-rp 12975 df-fz 13485 df-fzo 13628 df-fl 13757 df-mod 13835 df-seq 13967 df-exp 14028 df-hash 14291 df-cj 15046 df-re 15047 df-im 15048 df-sqrt 15182 df-abs 15183 df-clim 15432 df-sum 15633 df-dvds 16198 df-gcd 16436 df-prm 16609 df-pc 16770 df-sets 17097 df-slot 17115 df-ndx 17127 df-base 17145 df-ress 17174 df-plusg 17210 df-0g 17387 df-mgm 18561 df-sgrp 18610 df-mnd 18626 df-grp 18822 df-minusg 18823 df-sbg 18824 df-mulg 18951 df-subg 19003 df-eqg 19005 df-od 19396 df-gex 19397 df-cmn 19650 df-abl 19651 df-cyg 19746

This theorem is referenced by: pgrple2abl 47041

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