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Theorem lt6abl 19083
 Description: A group with fewer than 6 elements is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cygctb.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lt6abl ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem lt6abl
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
21grpbn0 18199 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
32adantr 484 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐵 ≠ ∅)
4 6re 11764 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
5 rexr 10725 . . . . . . . 8 (6 ∈ ℝ → 6 ∈ ℝ*)
6 pnfnlt 12564 . . . . . . . 8 (6 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 6)
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . 7 ¬ +∞ < 6
81fvexi 6672 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ V
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ V)
10 hashinf 13745 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
119, 10sylan 583 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
1211breq1d 5042 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) < 6 ↔ +∞ < 6))
1312biimpd 232 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) < 6 → +∞ < 6))
1413impancom 455 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (¬ 𝐵 ∈ Fin → +∞ < 6))
157, 14mt3i 151 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐵 ∈ Fin)
16 hashnncl 13777 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
183, 17mpbird 260 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
19 nnuz 12321 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2018, 19eleqtrdi 2862 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘1))
21 6nn 11763 . . . . 5 6 ∈ ℕ
2221nnzi 12045 . . . 4 6 ∈ ℤ
2322a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 6 ∈ ℤ)
24 simpr 488 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) < 6)
25 elfzo2 13090 . . 3 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘1) ∧ 6 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) < 6))
2620, 23, 24, 25syl3anbrc 1340 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) ∈ (1..^6))
27 df-6 11741 . . . . . . 7 6 = (5 + 1)
2827oveq2i 7161 . . . . . 6 (1..^6) = (1..^(5 + 1))
2928eleq2i 2843 . . . . 5 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)))
30 5nn 11760 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ
3130, 19eleqtri 2850 . . . . . 6 5 ∈ (ℤ‘1)
32 fzosplitsni 13197 . . . . . 6 (5 ∈ (ℤ‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5)))
3331, 32ax-mp 5 . . . . 5 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5))
3429, 33bitri 278 . . . 4 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5))
35 df-5 11740 . . . . . . . . 9 5 = (4 + 1)
3635oveq2i 7161 . . . . . . . 8 (1..^5) = (1..^(4 + 1))
3736eleq2i 2843 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)))
38 4nn 11757 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
3938, 19eleqtri 2850 . . . . . . . 8 4 ∈ (ℤ‘1)
40 fzosplitsni 13197 . . . . . . . 8 (4 ∈ (ℤ‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4))
4237, 41bitri 278 . . . . . 6 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4))
43 df-4 11739 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
4443oveq2i 7161 . . . . . . . . . 10 (1..^4) = (1..^(3 + 1))
4544eleq2i 2843 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)))
46 3nn 11753 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
4746, 19eleqtri 2850 . . . . . . . . . 10 3 ∈ (ℤ‘1)
48 fzosplitsni 13197 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ (ℤ‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3)))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3))
5045, 49bitri 278 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3))
51 df-3 11738 . . . . . . . . . . . . 13 3 = (2 + 1)
5251oveq2i 7161 . . . . . . . . . . . 12 (1..^3) = (1..^(2 + 1))
5352eleq2i 2843 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)))
54 2eluzge1 12334 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (ℤ‘1)
55 fzosplitsni 13197 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ (ℤ‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2)))
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2))
5753, 56bitri 278 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2))
58 elsni 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝐵) ∈ {1} → (♯‘𝐵) = 1)
59 fzo12sn 13169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1..^2) = {1}
6058, 59eleq2s 2870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) → (♯‘𝐵) = 1)
6160adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (♯‘𝐵) = 1)
62 hash1 13815 . . . . . . . . . . . . . . 15 (♯‘1o) = 1
6361, 62eqtr4di 2811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (♯‘𝐵) = (♯‘1o))
64 1nn0 11950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℕ0
6561, 64eqeltrdi 2860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
66 hashclb 13769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
678, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
6865, 67sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐵 ∈ Fin)
69 1onn 8275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1o ∈ ω
70 nnfi 8750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1o ∈ ω → 1o ∈ Fin)
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 1o ∈ Fin
72 hashen 13757 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 1o ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) = (♯‘1o) ↔ 𝐵 ≈ 1o))
7368, 71, 72sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → ((♯‘𝐵) = (♯‘1o) ↔ 𝐵 ≈ 1o))
7463, 73mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐵 ≈ 1o)
7510cyg 19081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ CycGrp)
76 cygabl 19078 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Abel)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ Abel)
7874, 77syldan 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐺 ∈ Abel)
7978ex 416 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) → 𝐺 ∈ Abel))
80 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐵) = 2 → (♯‘𝐵) = 2)
81 2prm 16088 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℙ
8280, 81eqeltrdi 2860 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐵) = 2 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
831prmcyg 19082 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)
8483, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ Abel)
8584ex 416 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → 𝐺 ∈ Abel))
8682, 85syl5 34 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 2 → 𝐺 ∈ Abel))
8779, 86jaod 856 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2) → 𝐺 ∈ Abel))
8857, 87syl5bi 245 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) → 𝐺 ∈ Abel))
89 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐵) = 3 → (♯‘𝐵) = 3)
90 3prm 16090 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℙ
9189, 90eqeltrdi 2860 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐵) = 3 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
9291, 85syl5 34 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 3 → 𝐺 ∈ Abel))
9388, 92jaod 856 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3) → 𝐺 ∈ Abel))
9450, 93syl5bi 245 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) → 𝐺 ∈ Abel))
95 simpl 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Grp)
96 2z 12053 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
97 eqid 2758 . . . . . . . . . . . 12 (gEx‘𝐺) = (gEx‘𝐺)
98 eqid 2758 . . . . . . . . . . . 12 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
991, 97, 98gexdvds2 18777 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 2 ∈ ℤ) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 ↔ ∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
10095, 96, 99sylancl 589 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 ↔ ∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
1011, 97gex2abl 19039 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (gEx‘𝐺) ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)
102101ex 416 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
103102adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
104100, 103sylbird 263 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
105 rexnal 3165 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥𝐵 ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 ↔ ¬ ∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)
10695adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ Grp)
107 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝑥𝐵)
1081, 98odcl 18731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐵 → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
109108ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
110 4nn0 11953 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℕ0
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∈ ℕ0)
112 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (♯‘𝐵) = 4)
113112, 110eqeltrdi 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
114113, 67sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐵 ∈ Fin)
115114adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐵 ∈ Fin)
1161, 98oddvds2 18760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
117106, 115, 107, 116syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
118112adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (♯‘𝐵) = 4)
119117, 118breqtrd 5058 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4)
120 sq2 13610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2↑2) = 4
121 2nn0 11951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℕ0
12296a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 2 ∈ ℤ)
1231, 98odcl2 18759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
124106, 115, 107, 123syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
125 pccl 16241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0)
12681, 124, 125sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0)
127126nn0zd 12124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ)
128 df-2 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 = (1 + 1)
129 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)
130 dvdsexp 15729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1))
1311303expia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0) → (1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1)))
13296, 126, 131sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1)))
133 1z 12051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℤ
134 eluz 12296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ↔ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
135127, 133, 134sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 ∈ (ℤ‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ↔ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
136 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 2 → (2↑𝑛) = (2↑2))
137136, 120eqtrdi 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = 2 → (2↑𝑛) = 4)
138137breq2d 5044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 = 2 → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4))
139138rspcev 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 ∈ ℕ0 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛))
140121, 119, 139sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛))
141 pcprmpw2 16273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
14281, 124, 141sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
143140, 142mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
144143eqcomd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) = ((od‘𝐺)‘𝑥))
145 2cn 11749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℂ
146 exp1 13485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
147145, 146ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2↑1) = 2
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑1) = 2)
149144, 148breq12d 5045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
150132, 135, 1493imtr3d 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1 → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
151129, 150mtod 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1)
152 1re 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ
153126nn0red 11995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
154 ltnle 10758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
155152, 153, 154sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
156151, 155mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
157 nn0ltp1le 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℕ0 ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
15864, 126, 157sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
159156, 158mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
160128, 159eqbrtrid 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 2 ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
161 eluz2 12288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
162122, 127, 160, 161syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ‘2))
163 dvdsexp 15729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ‘2)) → (2↑2) ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
16496, 121, 162, 163mp3an12i 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑2) ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
165120, 164eqbrtrrid 5068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
166165, 143breqtrrd 5060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑥))
167 dvdseq 15715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) ∧ (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4 ∧ 4 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑥))) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 4)
168109, 111, 119, 166, 167syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 4)
169168, 118eqtr4d 2796 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))
1701, 98, 106, 107, 169iscygodd 19075 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ CycGrp)
171170, 76syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ Abel)
172171rexlimdvaa 3209 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (∃𝑥𝐵 ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
173105, 172syl5bir 246 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (¬ ∀𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
174104, 173pm2.61d 182 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Abel)
175174ex 416 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 4 → 𝐺 ∈ Abel))
17694, 175jaod 856 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Abel))
17742, 176syl5bi 245 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) → 𝐺 ∈ Abel))
178 id 22 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) = 5 → (♯‘𝐵) = 5)
179 5prm 16500 . . . . . . 7 5 ∈ ℙ
180178, 179eqeltrdi 2860 . . . . . 6 ((♯‘𝐵) = 5 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
181180, 85syl5 34 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 5 → 𝐺 ∈ Abel))
182177, 181jaod 856 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5) → 𝐺 ∈ Abel))
18334, 182syl5bi 245 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) → 𝐺 ∈ Abel))
184183imp 410 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^6)) → 𝐺 ∈ Abel)
18526, 184syldan 594 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  Vcvv 3409  ∅c0 4225  {csn 4522   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ωcom 7579  1oc1o 8105   ≈ cen 8524  Fincfn 8527  ℂcc 10573  ℝcr 10574  1c1 10576   + caddc 10578  +∞cpnf 10710  ℝ*cxr 10712   < clt 10713   ≤ cle 10714  ℕcn 11674  2c2 11729  3c3 11730  4c4 11731  5c5 11732  6c6 11733  ℕ0cn0 11934  ℤcz 12020  ℤ≥cuz 12282  ..^cfzo 13082  ↑cexp 13479  ♯chash 13740   ∥ cdvds 15655  ℙcprime 16067   pCnt cpc 16228  Basecbs 16541  Grpcgrp 18169  odcod 18719  gExcgex 18720  Abelcabl 18974  CycGrpccyg 19064 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-disj 4998  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-oadd 8116  df-omul 8117  df-er 8299  df-ec 8301  df-qs 8305  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-dju 9363  df-card 9401  df-acn 9404  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-mod 13287  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-sum 15091  df-dvds 15656  df-gcd 15894  df-prm 16068  df-pc 16229  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-0g 16773  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-mulg 18292  df-subg 18343  df-eqg 18345  df-od 18723  df-gex 18724  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-cyg 19065 This theorem is referenced by:  pgrple2abl  45134
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