Theorem lt6abl 19870

Description: A group with fewer than 6 elements is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
cygctb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lt6abl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem lt6abl

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygctb.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	grpbn0 18942	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐵 ≠ ∅)
4		6re 12271	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
5		rexr 11191	. . . . . . . 8 ⊢ (6 ∈ ℝ → 6 ∈ ℝ*)
6		pnfnlt 13079	. . . . . . . 8 ⊢ (6 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 6)
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ ¬ +∞ < 6
8	1	fvexi 6854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ V)
10		hashinf 14297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
11	9, 10	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
12	11	breq1d 5095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) < 6 ↔ +∞ < 6))
13	12	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) < 6 → +∞ < 6))
14	13	impancom 451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (¬ 𝐵 ∈ Fin → +∞ < 6))
15	7, 14	mt3i 149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐵 ∈ Fin)
16		hashnncl 14328	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
18	3, 17	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
19		nnuz 12827	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
20	18, 19	eleqtrdi 2846	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘1))
21		6nn 12270	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
22	21	nnzi 12551	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℤ
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 6 ∈ ℤ)
24		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) < 6)
25		elfzo2 13616	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 6 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) < 6))
26	20, 23, 24, 25	syl3anbrc 1345	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → (♯‘𝐵) ∈ (1..^6))
27		df-6 12248	. . . . . . 7 ⊢ 6 = (5 + 1)
28	27	oveq2i 7378	. . . . . 6 ⊢ (1..^6) = (1..^(5 + 1))
29	28	eleq2i 2828	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)))
30		5nn 12267	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
31	30, 19	eleqtri 2834	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘1)
32		fzosplitsni 13734	. . . . . 6 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5)))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(5 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5))
34	29, 33	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5))
35		df-5 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 = (4 + 1)
36	35	oveq2i 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^5) = (1..^(4 + 1))
37	36	eleq2i 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)))
38		4nn 12264	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
39	38, 19	eleqtri 2834	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘1)
40		fzosplitsni 13734	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4)))
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(4 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4))
42	37, 41	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4))
43		df-4 12246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (3 + 1)
44	43	oveq2i 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1..^4) = (1..^(3 + 1))
45	44	eleq2i 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)))
46		3nn 12260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
47	46, 19	eleqtri 2834	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘1)
48		fzosplitsni 13734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3)))
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(3 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3))
50	45, 49	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3))
51		df-3 12245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 = (2 + 1)
52	51	oveq2i 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1..^3) = (1..^(2 + 1))
53	52	eleq2i 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ↔ (♯‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)))
54		2eluzge1 12832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
55		fzosplitsni 13734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2)))
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^(2 + 1)) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2))
57	53, 56	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2))
58		elsni 4584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ {1} → (♯‘𝐵) = 1)
59		fzo12sn 13703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1..^2) = {1}
60	58, 59	eleq2s 2854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) → (♯‘𝐵) = 1)
61	60	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (♯‘𝐵) = 1)
62		hash1 14366	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘1o) = 1
63	61, 62	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (♯‘𝐵) = (♯‘1o))
64		1nn0 12453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℕ0
65	61, 64	eqeltrdi 2844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
66		hashclb 14320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
67	8, 66	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
68	65, 67	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐵 ∈ Fin)
69		1onn 8576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1o ∈ ω
70		nnfi 9102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1o ∈ ω → 1o ∈ Fin)
71	69, 70	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1o ∈ Fin
72		hashen 14309	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 1o ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) = (♯‘1o) ↔ 𝐵 ≈ 1o))
73	68, 71, 72	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → ((♯‘𝐵) = (♯‘1o) ↔ 𝐵 ≈ 1o))
74	63, 73	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐵 ≈ 1o)
75	1	0cyg 19868	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ CycGrp)
76		cygabl 19866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Abel)
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1o) → 𝐺 ∈ Abel)
78	74, 77	syldan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^2)) → 𝐺 ∈ Abel)
79	78	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) → 𝐺 ∈ Abel))
80		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐵) = 2 → (♯‘𝐵) = 2)
81		2prm 16661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℙ
82	80, 81	eqeltrdi 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐵) = 2 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
83	1	prmcyg 19869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)
84	83, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ Abel)
85	84	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → 𝐺 ∈ Abel))
86	82, 85	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 2 → 𝐺 ∈ Abel))
87	79, 86	jaod 860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^2) ∨ (♯‘𝐵) = 2) → 𝐺 ∈ Abel))
88	57, 87	biimtrid 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) → 𝐺 ∈ Abel))
89		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) = 3 → (♯‘𝐵) = 3)
90		3prm 16663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℙ
91	89, 90	eqeltrdi 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐵) = 3 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
92	91, 85	syl5 34	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 3 → 𝐺 ∈ Abel))
93	88, 92	jaod 860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^3) ∨ (♯‘𝐵) = 3) → 𝐺 ∈ Abel))
94	50, 93	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) → 𝐺 ∈ Abel))
95		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Grp)
96		2z 12559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
97		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (gEx‘𝐺) = (gEx‘𝐺)
98		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
99	1, 97, 98	gexdvds2 19560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 2 ∈ ℤ) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
100	95, 96, 99	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
101	1, 97	gex2abl 19826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (gEx‘𝐺) ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)
102	101	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → ((gEx‘𝐺) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
104	100, 103	sylbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
105		rexnal 3089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)
106	95	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ Grp)
107		simprl 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
108	1, 98	odcl 19511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
109	108	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
110		4nn0 12456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ ℕ0
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∈ ℕ0)
112		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (♯‘𝐵) = 4)
113	112, 110	eqeltrdi 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
114	113, 67	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐵 ∈ Fin)
115	114	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐵 ∈ Fin)
116	1, 98	oddvds2 19541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
117	106, 115, 107, 116	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
118	112	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (♯‘𝐵) = 4)
119	117, 118	breqtrd 5111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4)
120		sq2 14159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2↑2) = 4
121		2nn0 12454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℕ0
122	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 2 ∈ ℤ)
123	1, 98	odcl2 19540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
124	106, 115, 107, 123	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
125		pccl 16820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0)
126	81, 124, 125	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0)
127	126	nn0zd 12549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ)
128		df-2 12244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 = (1 + 1)
129		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)
130		dvdsexp 16297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ (ℤ≥‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1))
131	130	3expia 1122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0) → (1 ∈ (ℤ≥‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1)))
132	96, 126, 131	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 ∈ (ℤ≥‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1)))
133		1z 12557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℤ
134		eluz 12802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ∈ (ℤ≥‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ↔ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
135	127, 133, 134	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 ∈ (ℤ≥‘(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ↔ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
136		oveq2 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑𝑛) = (2↑2))
137	136, 120	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑𝑛) = 4)
138	137	breq2d 5097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑛 = 2 → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4))
139	138	rspcev 3564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛))
140	121, 119, 139	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛))
141		pcprmpw2 16853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
142	81, 124, 141	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (2↑𝑛) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))))
143	140, 142	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
144	143	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) = ((od‘𝐺)‘𝑥))
145		2cn 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℂ
146		exp1 14029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
147	145, 146	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (2↑1) = 2
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑1) = 2)
149	144, 148	breq12d 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))) ∥ (2↑1) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
150	132, 135, 149	3imtr3d 293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1 → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2))
151	129, 150	mtod 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1)
152		1re 11144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℝ
153	126	nn0red 12499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
154		ltnle 11225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
155	152, 153, 154	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ ¬ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 1))
156	151, 155	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
157		nn0ltp1le 12587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℕ0) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
158	64, 126, 157	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 < (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ↔ (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
159	156, 158	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (1 + 1) ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
160	128, 159	eqbrtrid 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 2 ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)))
161		eluz2 12794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
162	122, 127, 160, 161	syl3anbrc 1345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ≥‘2))
163		dvdsexp 16297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ (2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑2) ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
164	96, 121, 162, 163	mp3an12i 1468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → (2↑2) ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
165	120, 164	eqbrtrrid 5121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∥ (2↑(2 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑥))))
166	165, 143	breqtrrd 5113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 4 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑥))
167		dvdseq 16283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) ∧ (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 4 ∧ 4 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑥))) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 4)
168	109, 111, 119, 166, 167	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 4)
169	168, 118	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))
170	1, 98, 106, 107, 169	iscygodd 19863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ CycGrp)
171	170, 76	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2)) → 𝐺 ∈ Abel)
172	171	rexlimdvaa 3139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
173	105, 172	biimtrrid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ 2 → 𝐺 ∈ Abel))
174	104, 173	pm2.61d 179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Abel)
175	174	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 4 → 𝐺 ∈ Abel))
176	94, 175	jaod 860	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^4) ∨ (♯‘𝐵) = 4) → 𝐺 ∈ Abel))
177	42, 176	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) → 𝐺 ∈ Abel))
178		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) = 5 → (♯‘𝐵) = 5)
179		5prm 17079	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℙ
180	178, 179	eqeltrdi 2844	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) = 5 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
181	180, 85	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) = 5 → 𝐺 ∈ Abel))
182	177, 181	jaod 860	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((♯‘𝐵) ∈ (1..^5) ∨ (♯‘𝐵) = 5) → 𝐺 ∈ Abel))
183	34, 182	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((♯‘𝐵) ∈ (1..^6) → 𝐺 ∈ Abel))
184	183	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ (1..^6)) → 𝐺 ∈ Abel)
185	26, 184	syldan 592	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  Vcvv 3429  ∅c0 4273  {csn 4567   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ωcom 7817  1_oc1o 8398   ≈ cen 8890  Fincfn 8893  ℂcc 11036  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041  +∞cpnf 11176  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  5c5 12239  6c6 12240  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ..^cfzo 13608  ↑cexp 14023  ♯chash 14292   ∥ cdvds 16221  ℙcprime 16640   pCnt cpc 16807  Basecbs 17179  Grpcgrp 18909  odcod 19499  gExcgex 19500  Abelcabl 19756  CycGrpccyg 19852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-ec 8645  df-qs 8649  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641  df-pc 16808  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-eqg 19101  df-od 19503  df-gex 19504  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-cyg 19853

This theorem is referenced by:  pgrple2abl  48841