iooelexlt - Mathbox for ML

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Theorem iooelexlt 38067

Description: An element of an open interval is not its smallest element. (Contributed by ML, 2-Aug-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
iooelexlt	⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)

Distinct variable groups: 𝑦,𝐴 𝑦,𝐵 𝑦,𝑋

**Proof of Theorem iooelexlt**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 13449	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
2	1	simpld 500	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
3		elxr 13159	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
4		19.3v 2015	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
5		ovex 7452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ V
6		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐴 + 𝑋) / 2)
7		nfre1 3292	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋
8		elioore 13420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
9		readdcl 11200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
10	9	rehalfcld 12508	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ)
11	8, 10	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ)
12	11	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ^*)
14		eliooord 13450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵))
15	14	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑋)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝑋)
17		avglt1 12499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2)))
18	8, 17	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝑋 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2)))
19	18	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2)))
20	16, 19	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2))
21	8	rexrd 11276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
22	21	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
23	1	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
24	23	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
25		avglt2 12500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
26	8, 25	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
27	26	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
28	16, 27	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋)
29	14	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑋 < 𝐵)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑋 < 𝐵)
31	13, 22, 24, 28, 30	xrlttrd 13202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)
32		elioo1 13430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ^ ∧ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)))
33	1, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)))
34	33	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)))
35	13, 20, 31, 34	mpbir3and 1361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
36	35, 28	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
37		eleq1 2853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵)))
38		breq1 5114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → (𝑦 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
39	37, 38	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋)))
40	36, 39	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋)))
41		rspe 3257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
42	40, 41	syl6 36	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
43	6, 7, 42	spcimgf 3520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ V → (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
44	5, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
45	4, 44	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
46	45	expcom 419	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
47		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵))
48		oveq1 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴(,)𝐵) = (+∞(,)𝐵))
49	48	eleq2d 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵)))
50	49	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵)))
51		pnfxr 11280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
52		elioo2 13431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
53	51, 52	mpan 703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
54	53	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
55		elioore 13420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
56		rexr 11272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℝ^*)
57		pnfnlt 13171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → ¬ +∞ < 𝑋)
58	56, 57	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ¬ +∞ < 𝑋)
59	58	intn3an2d 1511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ¬ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵))
60	55, 59	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵))
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
62	54, 61	pm2.65d 199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → ¬ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵))
63	23, 62	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵))
64	63	pm2.21d 122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
65	64	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
66	50, 65	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
67	47, 66	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
68	67	expcom 419	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
69		19.3v 2015	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞))
70		ovex 7452	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 − 1) ∈ V
71		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑋 − 1)
72		peano2rem 11542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
73	8, 72	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
74		mnflt 13166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 − 1))
75	73, 74	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → -∞ < (𝑋 − 1))
76	73	rexrd 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ^*)
77	8	ltm1d 12164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) < 𝑋)
78	76, 21, 23, 77, 29	xrlttrd 13202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) < 𝐵)
79		mnfxr 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
80		elioo2 13431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → ((𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝑋 − 1) ∧ (𝑋 − 1) < 𝐵)))
81	79, 80	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → ((𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝑋 − 1) ∧ (𝑋 − 1) < 𝐵)))
82	23, 81	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝑋 − 1) ∧ (𝑋 − 1) < 𝐵)))
83	73, 75, 78, 82	mpbir3and 1361	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵))
84	83	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵))
85		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴(,)𝐵) = (-∞(,)𝐵))
86	85	eleq2d 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵)))
87	86	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵)))
88	84, 87	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵))
89	77	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝑋 − 1) < 𝑋)
90	88, 89	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋))
91	90	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋))
92		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 1) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵)))
93		breq1 5114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 1) → (𝑦 < 𝑋 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑋))
94	92, 93	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 1) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋)))
95	94	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋)))
96	91, 95	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋))
97	96, 41	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
98	97	expcom 419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 1) → ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
99	71, 7, 98	spcimgf 3520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 − 1) ∈ V → (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
100	70, 99	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
101	69, 100	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
102	101	expcom 419	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
103	46, 68, 102	3jaoi 1454	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
104	3, 103	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
105	2, 104	mpcom 39	1 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ w3o 1102 ∧ w3a 1103 ∀wal 1568 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 ∃wrex 3091 Vcvv 3457 class class class wbr 5111 (class class class)co 7419 ℝcr 11116 1c1 11118 + caddc 11120 +∞cpnf 11257 -∞cmnf 11258 ℝ^*cxr 11259 < clt 11260 − cmin 11458 / cdiv 11888 2c2 12312 (,)cioo 13390

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2737 ax-sep 5259 ax-nul 5271 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7742 ax-cnex 11173 ax-resscn 11174 ax-1cn 11175 ax-icn 11176 ax-addcl 11177 ax-addrcl 11178 ax-mulcl 11179 ax-mulrcl 11180 ax-mulcom 11181 ax-addass 11182 ax-mulass 11183 ax-distr 11184 ax-i2m1 11185 ax-1ne0 11186 ax-1rid 11187 ax-rnegex 11188 ax-rrecex 11189 ax-cnre 11190 ax-pre-lttri 11191 ax-pre-lttrn 11192 ax-pre-ltadd 11193 ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3067 df-ral 3082 df-rex 3092 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3419 df-v 3459 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4287 df-if 4490 df-pw 4566 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4875 df-iun 4960 df-br 5112 df-opab 5176 df-mpt 5195 df-tr 5221 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6306 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6496 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7376 df-ov 7422 df-oprab 7423 df-mpo 7424 df-om 7869 df-1st 7992 df-2nd 7993 df-frecs 8284 df-wrecs 8315 df-recs 8364 df-rdg 8403 df-er 8700 df-en 8950 df-dom 8951 df-sdom 8952 df-pnf 11262 df-mnf 11263 df-xr 11264 df-ltxr 11265 df-le 11266 df-sub 11460 df-neg 11461 df-div 11889 df-nn 12251 df-2 12320 df-ioo 13394

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