Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooelexlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooelexlt 35907
Description: An element of an open interval is not its smallest element. (Contributed by ML, 2-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
iooelexlt (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑋

Proof of Theorem iooelexlt
StepHypRef Expression
1 eliooxr 13333 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
21simpld 496 . 2 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 elxr 13047 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
4 19.3v 1986 . . . . . 6 (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
5 ovex 7396 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ V
6 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑦((𝐴 + 𝑋) / 2)
7 nfre1 3267 . . . . . . . 8 𝑦𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋
8 elioore 13305 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
9 readdcl 11144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
109rehalfcld 12410 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ)
118, 10sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ)
1211ancoms 460 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ)
1312rexrd 11215 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ*)
14 eliooord 13334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑋𝑋 < 𝐵))
1514simpld 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑋)
1615adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝑋)
17 avglt1 12401 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2)))
188, 17sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝑋𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2)))
1918ancoms 460 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2)))
2016, 19mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2))
218rexrd 11215 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ*)
2221adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ*)
231simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2423adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25 avglt2 12402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
268, 25sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
2726ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
2816, 27mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋)
2914simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑋 < 𝐵)
3029adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑋 < 𝐵)
3113, 22, 24, 28, 30xrlttrd 13089 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)
32 elioo1 13315 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ*𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)))
331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ*𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)))
3433adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ*𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)))
3513, 20, 31, 34mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
3635, 28jca 513 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
37 eleq1 2821 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵)))
38 breq1 5114 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → (𝑦 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
3937, 38anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋)))
4036, 39syl5ibr 246 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋)))
41 rspe 3231 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
4240, 41syl6 35 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
436, 7, 42spcimgf 3550 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ V → (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
445, 43ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
454, 44sylbir 234 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
4645expcom 415 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
47 simpl 484 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵))
48 oveq1 7370 . . . . . . . . 9 (𝐴 = +∞ → (𝐴(,)𝐵) = (+∞(,)𝐵))
4948eleq2d 2819 . . . . . . . 8 (𝐴 = +∞ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵)))
5049adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵)))
51 pnfxr 11219 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
52 elioo2 13316 . . . . . . . . . . . . 13 ((+∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋𝑋 < 𝐵)))
5351, 52mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋𝑋 < 𝐵)))
5453biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋𝑋 < 𝐵)))
55 elioore 13305 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
56 rexr 11211 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℝ*)
57 pnfnlt 13059 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑋)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℝ → ¬ +∞ < 𝑋)
5958intn3an2d 1481 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℝ → ¬ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋𝑋 < 𝐵))
6055, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋𝑋 < 𝐵))
6160a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋𝑋 < 𝐵)))
6254, 61pm2.65d 195 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵))
6323, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵))
6463pm2.21d 121 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
6564adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
6650, 65sylbid 239 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
6747, 66mpd 15 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
6867expcom 415 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
69 19.3v 1986 . . . . . 6 (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞))
70 ovex 7396 . . . . . . 7 (𝑋 − 1) ∈ V
71 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑦(𝑋 − 1)
72 peano2rem 11478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
738, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
74 mnflt 13054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 − 1) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 − 1))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → -∞ < (𝑋 − 1))
7673rexrd 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ*)
778ltm1d 12097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) < 𝑋)
7876, 21, 23, 77, 29xrlttrd 13089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) < 𝐵)
79 mnfxr 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -∞ ∈ ℝ*
80 elioo2 13316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝑋 − 1) ∧ (𝑋 − 1) < 𝐵)))
8179, 80mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℝ* → ((𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝑋 − 1) ∧ (𝑋 − 1) < 𝐵)))
8223, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝑋 − 1) ∧ (𝑋 − 1) < 𝐵)))
8373, 75, 78, 82mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵))
8483adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵))
85 oveq1 7370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = -∞ → (𝐴(,)𝐵) = (-∞(,)𝐵))
8685eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = -∞ → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵)))
8786adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵)))
8884, 87mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵))
8977adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝑋 − 1) < 𝑋)
9088, 89jca 513 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋))
9190adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋))
92 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑋 − 1) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵)))
93 breq1 5114 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑋 − 1) → (𝑦 < 𝑋 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑋))
9492, 93anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑋 − 1) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋)))
9594adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋)))
9691, 95mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋))
9796, 41syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
9897expcom 415 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑋 − 1) → ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
9971, 7, 98spcimgf 3550 . . . . . . 7 ((𝑋 − 1) ∈ V → (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
10070, 99ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
10169, 100sylbir 234 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
102101expcom 415 . . . 4 (𝐴 = -∞ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
10346, 68, 1023jaoi 1428 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
1043, 103sylbi 216 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
1052, 104mpcom 38 1 (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3o 1087  w3a 1088  wal 1540   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3070  Vcvv 3447   class class class wbr 5111  (class class class)co 7363  cr 11060  1c1 11062   + caddc 11064  +∞cpnf 11196  -∞cmnf 11197  *cxr 11198   < clt 11199  cmin 11395   / cdiv 11822  2c2 12218  (,)cioo 13275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-mulcom 11125  ax-addass 11126  ax-mulass 11127  ax-distr 11128  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-1rid 11131  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136  ax-pre-ltadd 11137  ax-pre-mulgt0 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4872  df-iun 4962  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-id 5537  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7319  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-er 8656  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-sub 11397  df-neg 11398  df-div 11823  df-2 12226  df-ioo 13279
This theorem is referenced by:  relowlpssretop  35909
  Copyright terms: Public domain W3C validator