iooelexlt - Mathbox for ML

	Mathbox for ML		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > iooelexlt		Structured version Visualization version GIF version

Theorem iooelexlt 37895

Description: An element of an open interval is not its smallest element. (Contributed by ML, 2-Aug-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
iooelexlt	⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)

Distinct variable groups: 𝑦,𝐴 𝑦,𝐵 𝑦,𝑋

**Proof of Theorem iooelexlt**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 13430	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
2	1	simpld 499	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
3		elxr 13140	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
4		19.3v 2009	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
5		ovex 7444	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ V
6		nfcv 2931	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐴 + 𝑋) / 2)
7		nfre1 3296	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋
8		elioore 13401	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
9		readdcl 11182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
10	9	rehalfcld 12490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ)
11	8, 10	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ)
12	11	ancoms 463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ^*)
14		eliooord 13431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵))
15	14	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑋)
16	15	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝑋)
17		avglt1 12481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2)))
18	8, 17	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝑋 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2)))
19	18	ancoms 463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2)))
20	16, 19	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2))
21	8	rexrd 11258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
22	21	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
23	1	simprd 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
24	23	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
25		avglt2 12482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
26	8, 25	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
27	26	ancoms 463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
28	16, 27	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋)
29	14	simprd 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑋 < 𝐵)
30	29	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑋 < 𝐵)
31	13, 22, 24, 28, 30	xrlttrd 13183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)
32		elioo1 13411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ^ ∧ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)))
33	1, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)))
34	33	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)))
35	13, 20, 31, 34	mpbir3and 1359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
36	35, 28	jca 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
37		eleq1 2857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵)))
38		breq1 5116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → (𝑦 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
39	37, 38	anbi12d 643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋)))
40	36, 39	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋)))
41		rspe 3261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
42	40, 41	syl6 36	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
43	6, 7, 42	spcimgf 3527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ V → (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
44	5, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
45	4, 44	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
46	45	expcom 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
47		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵))
48		oveq1 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴(,)𝐵) = (+∞(,)𝐵))
49	48	eleq2d 2855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵)))
50	49	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵)))
51		pnfxr 11262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
52		elioo2 13412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
53	51, 52	mpan 702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
54	53	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
55		elioore 13401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
56		rexr 11254	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℝ^*)
57		pnfnlt 13152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → ¬ +∞ < 𝑋)
58	56, 57	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ¬ +∞ < 𝑋)
59	58	intn3an2d 1508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ¬ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵))
60	55, 59	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵))
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
62	54, 61	pm2.65d 199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → ¬ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵))
63	23, 62	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵))
64	63	pm2.21d 122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
65	64	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
66	50, 65	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
67	47, 66	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
68	67	expcom 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
69		19.3v 2009	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞))
70		ovex 7444	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 − 1) ∈ V
71		nfcv 2931	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑋 − 1)
72		peano2rem 11524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
73	8, 72	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
74		mnflt 13147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 − 1))
75	73, 74	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → -∞ < (𝑋 − 1))
76	73	rexrd 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ^*)
77	8	ltm1d 12146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) < 𝑋)
78	76, 21, 23, 77, 29	xrlttrd 13183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) < 𝐵)
79		mnfxr 11265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
80		elioo2 13412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → ((𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝑋 − 1) ∧ (𝑋 − 1) < 𝐵)))
81	79, 80	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → ((𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝑋 − 1) ∧ (𝑋 − 1) < 𝐵)))
82	23, 81	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝑋 − 1) ∧ (𝑋 − 1) < 𝐵)))
83	73, 75, 78, 82	mpbir3and 1359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵))
84	83	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵))
85		oveq1 7418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴(,)𝐵) = (-∞(,)𝐵))
86	85	eleq2d 2855	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵)))
87	86	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵)))
88	84, 87	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵))
89	77	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝑋 − 1) < 𝑋)
90	88, 89	jca 520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋))
91	90	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋))
92		eleq1 2857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 1) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵)))
93		breq1 5116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 1) → (𝑦 < 𝑋 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑋))
94	92, 93	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 1) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋)))
95	94	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋)))
96	91, 95	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋))
97	96, 41	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
98	97	expcom 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 1) → ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
99	71, 7, 98	spcimgf 3527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 − 1) ∈ V → (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
100	70, 99	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
101	69, 100	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
102	101	expcom 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
103	46, 68, 102	3jaoi 1452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
104	3, 103	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
105	2, 104	mpcom 39	1 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∨ w3o 1100 ∧ w3a 1101 ∀wal 1565 = wceq 1567 ∈ wcel 2149 ∃wrex 3095 Vcvv 3463 class class class wbr 5113 (class class class)co 7411 ℝcr 11098 1c1 11100 + caddc 11102 +∞cpnf 11239 -∞cmnf 11240 ℝ^*cxr 11241 < clt 11242 − cmin 11440 / cdiv 11870 2c2 12294 (,)cioo 13371

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1822 ax-4 1836 ax-5 1937 ax-6 1994 ax-7 2035 ax-8 2151 ax-9 2159 ax-10 2182 ax-11 2198 ax-12 2219 ax-ext 2741 ax-sep 5261 ax-nul 5271 ax-pow 5337 ax-pr 5405 ax-un 7733 ax-cnex 11155 ax-resscn 11156 ax-1cn 11157 ax-icn 11158 ax-addcl 11159 ax-addrcl 11160 ax-mulcl 11161 ax-mulrcl 11162 ax-mulcom 11163 ax-addass 11164 ax-mulass 11165 ax-distr 11166 ax-i2m1 11167 ax-1ne0 11168 ax-1rid 11169 ax-rnegex 11170 ax-rrecex 11171 ax-cnre 11172 ax-pre-lttri 11173 ax-pre-lttrn 11174 ax-pre-ltadd 11175 ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1102 df-3an 1103 df-tru 1570 df-fal 1580 df-ex 1807 df-nf 1811 df-sb 2098 df-mo 2573 df-eu 2603 df-clab 2748 df-cleq 2761 df-clel 2844 df-nfc 2918 df-ne 2965 df-nel 3071 df-ral 3086 df-rex 3096 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3424 df-v 3465 df-sbc 3754 df-csb 3862 df-dif 3916 df-un 3918 df-in 3920 df-ss 3930 df-pss 3933 df-nul 4295 df-if 4493 df-pw 4569 df-sn 4595 df-pr 4597 df-op 4601 df-uni 4877 df-iun 4962 df-br 5114 df-opab 5178 df-mpt 5197 df-tr 5223 df-id 5557 df-eprel 5562 df-po 5570 df-so 5571 df-fr 5615 df-we 5617 df-xp 5668 df-rel 5669 df-cnv 5670 df-co 5671 df-dm 5672 df-rn 5673 df-res 5674 df-ima 5675 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7368 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7862 df-1st 7985 df-2nd 7986 df-frecs 8277 df-wrecs 8308 df-recs 8357 df-rdg 8396 df-er 8693 df-en 8943 df-dom 8944 df-sdom 8945 df-pnf 11244 df-mnf 11245 df-xr 11246 df-ltxr 11247 df-le 11248 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11871 df-nn 12233 df-2 12302 df-ioo 13375

This theorem is referenced by: relowlpssretop 37897

W3C validator