iooelexlt - Mathbox for ML

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Theorem iooelexlt 37350

Description: An element of an open interval is not its smallest element. (Contributed by ML, 2-Aug-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
iooelexlt	⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)

Distinct variable groups: 𝑦,𝐴 𝑦,𝐵 𝑦,𝑋

**Proof of Theorem iooelexlt**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 13365	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
2	1	simpld 494	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
3		elxr 13076	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
4		19.3v 1982	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
5		ovex 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ V
6		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐴 + 𝑋) / 2)
7		nfre1 3262	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋
8		elioore 13336	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
9		readdcl 11151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
10	9	rehalfcld 12429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ)
11	8, 10	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ)
12	11	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ^*)
14		eliooord 13366	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵))
15	14	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑋)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝑋)
17		avglt1 12420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2)))
18	8, 17	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝑋 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2)))
19	18	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2)))
20	16, 19	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2))
21	8	rexrd 11224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
23	1	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
25		avglt2 12421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
26	8, 25	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
27	26	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
28	16, 27	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋)
29	14	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑋 < 𝐵)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑋 < 𝐵)
31	13, 22, 24, 28, 30	xrlttrd 13119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)
32		elioo1 13346	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ^ ∧ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)))
33	1, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)))
35	13, 20, 31, 34	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
36	35, 28	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
37		eleq1 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵)))
38		breq1 5110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → (𝑦 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
39	37, 38	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋)))
40	36, 39	imbitrrid 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋)))
41		rspe 3227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
42	40, 41	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
43	6, 7, 42	spcimgf 3516	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ V → (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
44	5, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
45	4, 44	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
46	45	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
47		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵))
48		oveq1 7394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴(,)𝐵) = (+∞(,)𝐵))
49	48	eleq2d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵)))
50	49	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵)))
51		pnfxr 11228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
52		elioo2 13347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
53	51, 52	mpan 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
54	53	biimpd 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
55		elioore 13336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
56		rexr 11220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℝ^*)
57		pnfnlt 13088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → ¬ +∞ < 𝑋)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ¬ +∞ < 𝑋)
59	58	intn3an2d 1482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ¬ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵))
60	55, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵))
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
62	54, 61	pm2.65d 196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → ¬ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵))
63	23, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵))
64	63	pm2.21d 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
65	64	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
66	50, 65	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
67	47, 66	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
68	67	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
69		19.3v 1982	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞))
70		ovex 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 − 1) ∈ V
71		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑋 − 1)
72		peano2rem 11489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
73	8, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
74		mnflt 13083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 − 1))
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → -∞ < (𝑋 − 1))
76	73	rexrd 11224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ^*)
77	8	ltm1d 12115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) < 𝑋)
78	76, 21, 23, 77, 29	xrlttrd 13119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) < 𝐵)
79		mnfxr 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
80		elioo2 13347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → ((𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝑋 − 1) ∧ (𝑋 − 1) < 𝐵)))
81	79, 80	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → ((𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝑋 − 1) ∧ (𝑋 − 1) < 𝐵)))
82	23, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝑋 − 1) ∧ (𝑋 − 1) < 𝐵)))
83	73, 75, 78, 82	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵))
84	83	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵))
85		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴(,)𝐵) = (-∞(,)𝐵))
86	85	eleq2d 2814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵)))
87	86	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵)))
88	84, 87	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵))
89	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝑋 − 1) < 𝑋)
90	88, 89	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋))
91	90	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋))
92		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 1) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵)))
93		breq1 5110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 1) → (𝑦 < 𝑋 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑋))
94	92, 93	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 1) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋)))
95	94	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋)))
96	91, 95	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋))
97	96, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
98	97	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 1) → ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
99	71, 7, 98	spcimgf 3516	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 − 1) ∈ V → (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
100	70, 99	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
101	69, 100	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
102	101	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
103	46, 68, 102	3jaoi 1430	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
104	3, 103	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
105	2, 104	mpcom 38	1 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ w3o 1085 ∧ w3a 1086 ∀wal 1538 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ∃wrex 3053 Vcvv 3447 class class class wbr 5107 (class class class)co 7387 ℝcr 11067 1c1 11069 + caddc 11071 +∞cpnf 11205 -∞cmnf 11206 ℝ^*cxr 11207 < clt 11208 − cmin 11405 / cdiv 11835 2c2 12241 (,)cioo 13306

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711 ax-cnex 11124 ax-resscn 11125 ax-1cn 11126 ax-icn 11127 ax-addcl 11128 ax-addrcl 11129 ax-mulcl 11130 ax-mulrcl 11131 ax-mulcom 11132 ax-addass 11133 ax-mulass 11134 ax-distr 11135 ax-i2m1 11136 ax-1ne0 11137 ax-1rid 11138 ax-rnegex 11139 ax-rrecex 11140 ax-cnre 11141 ax-pre-lttri 11142 ax-pre-lttrn 11143 ax-pre-ltadd 11144 ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3934 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4872 df-iun 4957 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5533 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5591 df-we 5593 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6274 df-ord 6335 df-on 6336 df-lim 6337 df-suc 6338 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-mpo 7392 df-om 7843 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-frecs 8260 df-wrecs 8291 df-recs 8340 df-rdg 8378 df-er 8671 df-en 8919 df-dom 8920 df-sdom 8921 df-pnf 11210 df-mnf 11211 df-xr 11212 df-ltxr 11213 df-le 11214 df-sub 11407 df-neg 11408 df-div 11836 df-nn 12187 df-2 12249 df-ioo 13310

This theorem is referenced by: relowlpssretop 37352

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