iooelexlt - Mathbox for ML

	Mathbox for ML		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > iooelexlt		Structured version Visualization version GIF version

Theorem iooelexlt 37364

Description: An element of an open interval is not its smallest element. (Contributed by ML, 2-Aug-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
iooelexlt	⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)

Distinct variable groups: 𝑦,𝐴 𝑦,𝐵 𝑦,𝑋

**Proof of Theorem iooelexlt**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 13446	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
2	1	simpld 494	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
3		elxr 13159	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
4		19.3v 1980	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
5		ovex 7465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ V
6		nfcv 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐴 + 𝑋) / 2)
7		nfre1 3284	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋
8		elioore 13418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
9		readdcl 11239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
10	9	rehalfcld 12515	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ)
11	8, 10	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ)
12	11	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ^*)
14		eliooord 13447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵))
15	14	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑋)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝑋)
17		avglt1 12506	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2)))
18	8, 17	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝑋 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2)))
19	18	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2)))
20	16, 19	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2))
21	8	rexrd 11312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
23	1	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
25		avglt2 12507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
26	8, 25	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
27	26	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
28	16, 27	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋)
29	14	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑋 < 𝐵)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑋 < 𝐵)
31	13, 22, 24, 28, 30	xrlttrd 13202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)
32		elioo1 13428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ^ ∧ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)))
33	1, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)))
35	13, 20, 31, 34	mpbir3and 1342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
36	35, 28	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
37		eleq1 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵)))
38		breq1 5145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → (𝑦 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
39	37, 38	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋)))
40	36, 39	imbitrrid 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋)))
41		rspe 3248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
42	40, 41	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
43	6, 7, 42	spcimgf 3549	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ V → (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
44	5, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
45	4, 44	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
46	45	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
47		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵))
48		oveq1 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴(,)𝐵) = (+∞(,)𝐵))
49	48	eleq2d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵)))
50	49	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵)))
51		pnfxr 11316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
52		elioo2 13429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
53	51, 52	mpan 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
54	53	biimpd 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
55		elioore 13418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
56		rexr 11308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℝ^*)
57		pnfnlt 13171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → ¬ +∞ < 𝑋)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ¬ +∞ < 𝑋)
59	58	intn3an2d 1481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ¬ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵))
60	55, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵))
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
62	54, 61	pm2.65d 196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → ¬ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵))
63	23, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵))
64	63	pm2.21d 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
65	64	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
66	50, 65	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
67	47, 66	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
68	67	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
69		19.3v 1980	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞))
70		ovex 7465	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 − 1) ∈ V
71		nfcv 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑋 − 1)
72		peano2rem 11577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
73	8, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
74		mnflt 13166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 − 1))
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → -∞ < (𝑋 − 1))
76	73	rexrd 11312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ^*)
77	8	ltm1d 12201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) < 𝑋)
78	76, 21, 23, 77, 29	xrlttrd 13202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) < 𝐵)
79		mnfxr 11319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
80		elioo2 13429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → ((𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝑋 − 1) ∧ (𝑋 − 1) < 𝐵)))
81	79, 80	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → ((𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝑋 − 1) ∧ (𝑋 − 1) < 𝐵)))
82	23, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝑋 − 1) ∧ (𝑋 − 1) < 𝐵)))
83	73, 75, 78, 82	mpbir3and 1342	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵))
84	83	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵))
85		oveq1 7439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴(,)𝐵) = (-∞(,)𝐵))
86	85	eleq2d 2826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵)))
87	86	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵)))
88	84, 87	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵))
89	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝑋 − 1) < 𝑋)
90	88, 89	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋))
91	90	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋))
92		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 1) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵)))
93		breq1 5145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 1) → (𝑦 < 𝑋 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑋))
94	92, 93	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 1) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋)))
95	94	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋)))
96	91, 95	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋))
97	96, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
98	97	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 1) → ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
99	71, 7, 98	spcimgf 3549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 − 1) ∈ V → (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
100	70, 99	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
101	69, 100	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
102	101	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
103	46, 68, 102	3jaoi 1429	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
104	3, 103	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
105	2, 104	mpcom 38	1 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ w3o 1085 ∧ w3a 1086 ∀wal 1537 = wceq 1539 ∈ wcel 2107 ∃wrex 3069 Vcvv 3479 class class class wbr 5142 (class class class)co 7432 ℝcr 11155 1c1 11157 + caddc 11159 +∞cpnf 11293 -∞cmnf 11294 ℝ^*cxr 11295 < clt 11296 − cmin 11493 / cdiv 11921 2c2 12322 (,)cioo 13388

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1794 ax-4 1808 ax-5 1909 ax-6 1966 ax-7 2006 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2140 ax-11 2156 ax-12 2176 ax-ext 2707 ax-sep 5295 ax-nul 5305 ax-pow 5364 ax-pr 5431 ax-un 7756 ax-cnex 11212 ax-resscn 11213 ax-1cn 11214 ax-icn 11215 ax-addcl 11216 ax-addrcl 11217 ax-mulcl 11218 ax-mulrcl 11219 ax-mulcom 11220 ax-addass 11221 ax-mulass 11222 ax-distr 11223 ax-i2m1 11224 ax-1ne0 11225 ax-1rid 11226 ax-rnegex 11227 ax-rrecex 11228 ax-cnre 11229 ax-pre-lttri 11230 ax-pre-lttrn 11231 ax-pre-ltadd 11232 ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1779 df-nf 1783 df-sb 2064 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2815 df-nfc 2891 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3379 df-reu 3380 df-rab 3436 df-v 3481 df-sbc 3788 df-csb 3899 df-dif 3953 df-un 3955 df-in 3957 df-ss 3967 df-pss 3970 df-nul 4333 df-if 4525 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-op 4632 df-uni 4907 df-iun 4992 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5577 df-eprel 5583 df-po 5591 df-so 5592 df-fr 5636 df-we 5638 df-xp 5690 df-rel 5691 df-cnv 5692 df-co 5693 df-dm 5694 df-rn 5695 df-res 5696 df-ima 5697 df-pred 6320 df-ord 6386 df-on 6387 df-lim 6388 df-suc 6389 df-iota 6513 df-fun 6562 df-fn 6563 df-f 6564 df-f1 6565 df-fo 6566 df-f1o 6567 df-fv 6568 df-riota 7389 df-ov 7435 df-oprab 7436 df-mpo 7437 df-om 7889 df-1st 8015 df-2nd 8016 df-frecs 8307 df-wrecs 8338 df-recs 8412 df-rdg 8451 df-er 8746 df-en 8987 df-dom 8988 df-sdom 8989 df-pnf 11298 df-mnf 11299 df-xr 11300 df-ltxr 11301 df-le 11302 df-sub 11495 df-neg 11496 df-div 11922 df-nn 12268 df-2 12330 df-ioo 13392

This theorem is referenced by: relowlpssretop 37366

W3C validator