iooelexlt - Mathbox for ML

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Theorem iooelexlt 35270

Description: An element of an open interval is not its smallest element. (Contributed by ML, 2-Aug-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
iooelexlt	⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)

Distinct variable groups: 𝑦,𝐴 𝑦,𝐵 𝑦,𝑋

**Proof of Theorem iooelexlt**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 12993	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
2	1	simpld 498	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
3		elxr 12708	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
4		19.3v 1990	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
5		ovex 7246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ V
6		nfcv 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐴 + 𝑋) / 2)
7		nfre1 3225	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋
8		elioore 12965	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
9		readdcl 10812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
10	9	rehalfcld 12077	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ)
11	8, 10	sylan2 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ)
12	11	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 10883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ^*)
14		eliooord 12994	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵))
15	14	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑋)
16	15	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝑋)
17		avglt1 12068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2)))
18	8, 17	sylan2 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝑋 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2)))
19	18	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2)))
20	16, 19	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2))
21	8	rexrd 10883	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
22	21	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ^*)
23	1	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
24	23	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
25		avglt2 12069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
26	8, 25	sylan2 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
27	26	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
28	16, 27	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋)
29	14	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑋 < 𝐵)
30	29	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑋 < 𝐵)
31	13, 22, 24, 28, 30	xrlttrd 12749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)
32		elioo1 12975	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ^ ∧ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)))
33	1, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)))
34	33	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 < ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝐵)))
35	13, 20, 31, 34	mpbir3and 1344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
36	35, 28	jca 515	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
37		eleq1 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵)))
38		breq1 5056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → (𝑦 < 𝑋 ↔ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋))
39	37, 38	anbi12d 634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) ↔ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝑋) / 2) < 𝑋)))
40	36, 39	syl5ibr 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋)))
41		rspe 3223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
42	40, 41	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 + 𝑋) / 2) → ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
43	6, 7, 42	spcimgf 3504	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝑋) / 2) ∈ V → (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
44	5, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
45	4, 44	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
46	45	expcom 417	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
47		simpl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵))
48		oveq1 7220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴(,)𝐵) = (+∞(,)𝐵))
49	48	eleq2d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵)))
50	49	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵)))
51		pnfxr 10887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
52		elioo2 12976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
53	51, 52	mpan 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
54	53	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
55		elioore 12965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
56		rexr 10879	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℝ^*)
57		pnfnlt 12720	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ^* → ¬ +∞ < 𝑋)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ¬ +∞ < 𝑋)
59	58	intn3an2d 1482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ¬ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵))
60	55, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵))
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ < 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
62	54, 61	pm2.65d 199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → ¬ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵))
63	23, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵))
64	63	pm2.21d 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
65	64	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑋 ∈ (+∞(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
66	50, 65	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
67	47, 66	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
68	67	expcom 417	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
69		19.3v 1990	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞))
70		ovex 7246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 − 1) ∈ V
71		nfcv 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑋 − 1)
72		peano2rem 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
73	8, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
74		mnflt 12715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 − 1))
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → -∞ < (𝑋 − 1))
76	73	rexrd 10883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ^*)
77	8	ltm1d 11764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) < 𝑋)
78	76, 21, 23, 77, 29	xrlttrd 12749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) < 𝐵)
79		mnfxr 10890	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
80		elioo2 12976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → ((𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝑋 − 1) ∧ (𝑋 − 1) < 𝐵)))
81	79, 80	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → ((𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝑋 − 1) ∧ (𝑋 − 1) < 𝐵)))
82	23, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝑋 − 1) ∧ (𝑋 − 1) < 𝐵)))
83	73, 75, 78, 82	mpbir3and 1344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵))
84	83	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵))
85		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴(,)𝐵) = (-∞(,)𝐵))
86	85	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵)))
87	86	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑋 − 1) ∈ (-∞(,)𝐵)))
88	84, 87	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵))
89	77	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝑋 − 1) < 𝑋)
90	88, 89	jca 515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋))
91	90	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋))
92		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 1) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵)))
93		breq1 5056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 1) → (𝑦 < 𝑋 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑋))
94	92, 93	anbi12d 634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 1) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋)))
95	94	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋) ↔ ((𝑋 − 1) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝑋 − 1) < 𝑋)))
96	91, 95	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 < 𝑋))
97	96, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) ∧ 𝑦 = (𝑋 − 1)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
98	97	expcom 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 1) → ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
99	71, 7, 98	spcimgf 3504	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 − 1) ∈ V → (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
100	70, 99	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
101	69, 100	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)
102	101	expcom 417	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
103	46, 68, 102	3jaoi 1429	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
104	3, 103	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋))
105	2, 104	mpcom 38	1 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑦 < 𝑋)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 399 ∨ w3o 1088 ∧ w3a 1089 ∀wal 1541 = wceq 1543 ∈ wcel 2110 ∃wrex 3062 Vcvv 3408 class class class wbr 5053 (class class class)co 7213 ℝcr 10728 1c1 10730 + caddc 10732 +∞cpnf 10864 -∞cmnf 10865 ℝ^*cxr 10866 < clt 10867 − cmin 11062 / cdiv 11489 2c2 11885 (,)cioo 12935

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1803 ax-4 1817 ax-5 1918 ax-6 1976 ax-7 2016 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2708 ax-sep 5192 ax-nul 5199 ax-pow 5258 ax-pr 5322 ax-un 7523 ax-cnex 10785 ax-resscn 10786 ax-1cn 10787 ax-icn 10788 ax-addcl 10789 ax-addrcl 10790 ax-mulcl 10791 ax-mulrcl 10792 ax-mulcom 10793 ax-addass 10794 ax-mulass 10795 ax-distr 10796 ax-i2m1 10797 ax-1ne0 10798 ax-1rid 10799 ax-rnegex 10800 ax-rrecex 10801 ax-cnre 10802 ax-pre-lttri 10803 ax-pre-lttrn 10804 ax-pre-ltadd 10805 ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 848 df-3or 1090 df-3an 1091 df-tru 1546 df-fal 1556 df-ex 1788 df-nf 1792 df-sb 2071 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3066 df-rex 3067 df-reu 3068 df-rmo 3069 df-rab 3070 df-v 3410 df-sbc 3695 df-csb 3812 df-dif 3869 df-un 3871 df-in 3873 df-ss 3883 df-nul 4238 df-if 4440 df-pw 4515 df-sn 4542 df-pr 4544 df-op 4548 df-uni 4820 df-iun 4906 df-br 5054 df-opab 5116 df-mpt 5136 df-id 5455 df-po 5468 df-so 5469 df-xp 5557 df-rel 5558 df-cnv 5559 df-co 5560 df-dm 5561 df-rn 5562 df-res 5563 df-ima 5564 df-iota 6338 df-fun 6382 df-fn 6383 df-f 6384 df-f1 6385 df-fo 6386 df-f1o 6387 df-fv 6388 df-riota 7170 df-ov 7216 df-oprab 7217 df-mpo 7218 df-1st 7761 df-2nd 7762 df-er 8391 df-en 8627 df-dom 8628 df-sdom 8629 df-pnf 10869 df-mnf 10870 df-xr 10871 df-ltxr 10872 df-le 10873 df-sub 11064 df-neg 11065 df-div 11490 df-2 11893 df-ioo 12939

This theorem is referenced by: relowlpssretop 35272

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