MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsprmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsprmo 17076
Description: The primorial of a number is divisible by each prime less then or equal to the number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 28-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsprmo (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁)))
Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsprmo
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 14010 . . . . . . 7 (1...𝑁) ∈ Fin
2 diffi 9214 . . . . . . 7 ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∈ Fin)
31, 2mp1i 13 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∈ Fin)
4 eldifi 4141 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
5 elfzelz 13561 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) → 𝑘 ∈ ℤ)
7 1zzd 12646 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) → 1 ∈ ℤ)
86, 7ifcld 4577 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ)
98adantl 481 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ)
103, 9fprodzcl 15987 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → ∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ)
11 prmz 16709 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
1211adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
1312adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → 𝑝 ∈ ℤ)
14 dvdsmul2 16313 . . . . 5 ((∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → 𝑝 ∥ (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝))
1510, 13, 14syl2anc 584 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → 𝑝 ∥ (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝))
16 nnnn0 12531 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
17 prmoval 17067 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (#p𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
1918ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → (#p𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
2019breq2d 5160 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → (𝑝 ∥ (#p𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
21 neldifsnd 4798 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → ¬ 𝑝 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}))
22 disjsn 4716 . . . . . . . . 9 ((((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∩ {𝑝}) = ∅ ↔ ¬ 𝑝 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}))
2321, 22sylibr 234 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → (((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∩ {𝑝}) = ∅)
24 prmnn 16708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
2524adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
2625anim1i 615 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝𝑁))
27 nnz 12632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
28 fznn 13629 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝𝑁)))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝𝑁)))
3029ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → (𝑝 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝𝑁)))
3126, 30mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → 𝑝 ∈ (1...𝑁))
32 difsnid 4815 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∪ {𝑝}) = (1...𝑁))
3332eqcomd 2741 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∪ {𝑝}))
3431, 33syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∪ {𝑝}))
35 fzfid 14011 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → (1...𝑁) ∈ Fin)
36 1zzd 12646 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
375, 36ifcld 4577 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ)
3837zcnd 12721 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℂ)
3938adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℂ)
4023, 34, 35, 39fprodsplit 15999 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
41 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → 𝑝 ∈ ℙ)
4225adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → 𝑝 ∈ ℕ)
4342nncnd 12280 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → 𝑝 ∈ ℂ)
44 1cnd 11254 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → 1 ∈ ℂ)
4543, 44ifcld 4577 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1) ∈ ℂ)
46 eleq1w 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑝 → (𝑘 ∈ ℙ ↔ 𝑝 ∈ ℙ))
47 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑝𝑘 = 𝑝)
4846, 47ifbieq1d 4555 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑝 → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1))
4948prodsn 15995 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1) ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1))
5041, 45, 49syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1))
51 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
5251iftrued 4539 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1) = 𝑝)
5352adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1) = 𝑝)
5450, 53eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑝)
5554oveq2d 7447 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)) = (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝))
5640, 55eqtrd 2775 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝))
5756breq2d 5160 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → (𝑝 ∥ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 𝑝 ∥ (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝)))
5820, 57bitrd 279 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → (𝑝 ∥ (#p𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝)))
5915, 58mpbird 257 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → 𝑝 ∥ (#p𝑁))
6059ex 412 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁)))
6160ralrimiva 3144 1 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  c0 4339  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  1c1 11154   · cmul 11158  cle 11294  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  ...cfz 13544  cprod 15936  cdvds 16287  cprime 16705  #pcprmo 17065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-prod 15937  df-dvds 16288  df-prm 16706  df-prmo 17066
This theorem is referenced by:  prmdvdsprmop  17077
  Copyright terms: Public domain W3C validator