MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsprmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsprmo 16874
Description: The primorial of a number is divisible by each prime less then or equal to the number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 28-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsprmo (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁)))
Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsprmo
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 13831 . . . . . . 7 (1...𝑁) ∈ Fin
2 diffi 9081 . . . . . . 7 ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∈ Fin)
31, 2mp1i 13 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∈ Fin)
4 eldifi 4084 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
5 elfzelz 13395 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) → 𝑘 ∈ ℤ)
7 1zzd 12492 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) → 1 ∈ ℤ)
86, 7ifcld 4530 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ)
98adantl 482 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ)
103, 9fprodzcl 15797 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → ∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ)
11 prmz 16511 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
1211adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
1312adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → 𝑝 ∈ ℤ)
14 dvdsmul2 16121 . . . . 5 ((∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → 𝑝 ∥ (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝))
1510, 13, 14syl2anc 584 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → 𝑝 ∥ (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝))
16 nnnn0 12378 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
17 prmoval 16865 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (#p𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
1918ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → (#p𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
2019breq2d 5115 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → (𝑝 ∥ (#p𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
21 neldifsnd 4751 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → ¬ 𝑝 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}))
22 disjsn 4670 . . . . . . . . 9 ((((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∩ {𝑝}) = ∅ ↔ ¬ 𝑝 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}))
2321, 22sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → (((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∩ {𝑝}) = ∅)
24 prmnn 16510 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
2524adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
2625anim1i 615 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝𝑁))
27 nnz 12478 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
28 fznn 13463 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝𝑁)))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝𝑁)))
3029ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → (𝑝 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝𝑁)))
3126, 30mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → 𝑝 ∈ (1...𝑁))
32 difsnid 4768 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∪ {𝑝}) = (1...𝑁))
3332eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∪ {𝑝}))
3431, 33syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∪ {𝑝}))
35 fzfid 13832 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → (1...𝑁) ∈ Fin)
36 1zzd 12492 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
375, 36ifcld 4530 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ)
3837zcnd 12566 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℂ)
3938adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℂ)
4023, 34, 35, 39fprodsplit 15809 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
41 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → 𝑝 ∈ ℙ)
4225adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → 𝑝 ∈ ℕ)
4342nncnd 12127 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → 𝑝 ∈ ℂ)
44 1cnd 11108 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → 1 ∈ ℂ)
4543, 44ifcld 4530 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1) ∈ ℂ)
46 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑝 → (𝑘 ∈ ℙ ↔ 𝑝 ∈ ℙ))
47 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑝𝑘 = 𝑝)
4846, 47ifbieq1d 4508 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑝 → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1))
4948prodsn 15805 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1) ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1))
5041, 45, 49syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1))
51 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
5251iftrued 4492 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1) = 𝑝)
5352adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1) = 𝑝)
5450, 53eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑝)
5554oveq2d 7367 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)) = (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝))
5640, 55eqtrd 2777 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝))
5756breq2d 5115 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → (𝑝 ∥ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 𝑝 ∥ (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝)))
5820, 57bitrd 278 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → (𝑝 ∥ (#p𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝)))
5915, 58mpbird 256 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑁) → 𝑝 ∥ (#p𝑁))
6059ex 413 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁)))
6160ralrimiva 3141 1 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝 ∥ (#p𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  cdif 3905  cun 3906  cin 3907  c0 4280  ifcif 4484  {csn 4584   class class class wbr 5103  cfv 6493  (class class class)co 7351  Fincfn 8841  cc 11007  1c1 11010   · cmul 11014  cle 11148  cn 12111  0cn0 12371  cz 12457  ...cfz 13378  cprod 15748  cdvds 16096  cprime 16507  #pcprmo 16863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-rp 12870  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14185  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-clim 15330  df-prod 15749  df-dvds 16097  df-prm 16508  df-prmo 16864
This theorem is referenced by:  prmdvdsprmop  16875
  Copyright terms: Public domain W3C validator