Theorem prmdvdsprmo 17013

Description: The primorial of a number is divisible by each prime less than or equal to the number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 28-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsprmo	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁)))

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsprmo

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 13937	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
2		diffi 9139	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∈ Fin)
3	1, 2	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∈ Fin)
4		eldifi 4094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
5		elfzelz 13485	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) → 𝑘 ∈ ℤ)
7		1zzd 12564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) → 1 ∈ ℤ)
8	6, 7	ifcld 4535	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ)
9	8	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ)
10	3, 9	fprodzcl 15920	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → ∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ)
11		prmz 16645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 𝑝 ∈ ℤ)
14		dvdsmul2 16248	. . . . 5 ⊢ ((∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → 𝑝 ∥ (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝))
15	10, 13, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 𝑝 ∥ (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝))
16		nnnn0 12449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
17		prmoval 17004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
19	18	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
20	19	breq2d 5119	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (𝑝 ∥ (#p‘𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
21		neldifsnd 4757	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑝 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}))
22		disjsn 4675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∩ {𝑝}) = ∅ ↔ ¬ 𝑝 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}))
23	21, 22	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∩ {𝑝}) = ∅)
24		prmnn 16644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
26	25	anim1i 615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝑁))
27		nnz 12550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
28		fznn 13553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)))
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (𝑝 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)))
31	26, 30	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 𝑝 ∈ (1...𝑁))
32		difsnid 4774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∪ {𝑝}) = (1...𝑁))
33	32	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∪ {𝑝}))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∪ {𝑝}))
35		fzfid 13938	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (1...𝑁) ∈ Fin)
36		1zzd 12564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
37	5, 36	ifcld 4535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 12639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℂ)
39	38	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℂ)
40	23, 34, 35, 39	fprodsplit 15932	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
41		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 𝑝 ∈ ℙ)
42	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 𝑝 ∈ ℕ)
43	42	nncnd 12202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 𝑝 ∈ ℂ)
44		1cnd 11169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
45	43, 44	ifcld 4535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1) ∈ ℂ)
46		eleq1w 2811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑝 → (𝑘 ∈ ℙ ↔ 𝑝 ∈ ℙ))
47		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑝 → 𝑘 = 𝑝)
48	46, 47	ifbieq1d 4513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑝 → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1))
49	48	prodsn 15928	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1) ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1))
50	41, 45, 49	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1))
51		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
52	51	iftrued 4496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1) = 𝑝)
53	52	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1) = 𝑝)
54	50, 53	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑝)
55	54	oveq2d 7403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)) = (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝))
56	40, 55	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝))
57	56	breq2d 5119	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (𝑝 ∥ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 𝑝 ∥ (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝)))
58	20, 57	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (𝑝 ∥ (#p‘𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝)))
59	15, 58	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))
60	59	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁)))
61	60	ralrimiva 3125	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913  ∅c0 4296  ifcif 4488  {csn 4589   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  ℂcc 11066  1c1 11069   · cmul 11073   ≤ cle 11209  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ...cfz 13468  ∏cprod 15869   ∥ cdvds 16222  ℙcprime 16641  #_pcprmo 17002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-prod 15870  df-dvds 16223  df-prm 16642  df-prmo 17003

This theorem is referenced by:  prmdvdsprmop  17014