Theorem prmdvdsprmo 17008

Description: The primorial of a number is divisible by each prime less then or equal to the number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 28-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsprmo	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁)))

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsprmo

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 13967	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
2		diffi 9200	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∈ Fin)
3	1, 2	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∈ Fin)
4		eldifi 4119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
5		elfzelz 13531	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) → 𝑘 ∈ ℤ)
7		1zzd 12621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) → 1 ∈ ℤ)
8	6, 7	ifcld 4570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ)
9	8	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ)
10	3, 9	fprodzcl 15928	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → ∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ)
11		prmz 16643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
12	11	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
13	12	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 𝑝 ∈ ℤ)
14		dvdsmul2 16253	. . . . 5 ⊢ ((∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → 𝑝 ∥ (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝))
15	10, 13, 14	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 𝑝 ∥ (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝))
16		nnnn0 12507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
17		prmoval 16999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
19	18	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
20	19	breq2d 5155	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (𝑝 ∥ (#p‘𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
21		neldifsnd 4792	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑝 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}))
22		disjsn 4711	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∩ {𝑝}) = ∅ ↔ ¬ 𝑝 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}))
23	21, 22	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∩ {𝑝}) = ∅)
24		prmnn 16642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
25	24	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
26	25	anim1i 613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝑁))
27		nnz 12607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
28		fznn 13599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)))
30	29	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (𝑝 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)))
31	26, 30	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 𝑝 ∈ (1...𝑁))
32		difsnid 4809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∪ {𝑝}) = (1...𝑁))
33	32	eqcomd 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∪ {𝑝}))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∪ {𝑝}))
35		fzfid 13968	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (1...𝑁) ∈ Fin)
36		1zzd 12621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
37	5, 36	ifcld 4570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 12695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℂ)
39	38	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℂ)
40	23, 34, 35, 39	fprodsplit 15940	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
41		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 𝑝 ∈ ℙ)
42	25	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 𝑝 ∈ ℕ)
43	42	nncnd 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 𝑝 ∈ ℂ)
44		1cnd 11237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
45	43, 44	ifcld 4570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1) ∈ ℂ)
46		eleq1w 2808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑝 → (𝑘 ∈ ℙ ↔ 𝑝 ∈ ℙ))
47		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑝 → 𝑘 = 𝑝)
48	46, 47	ifbieq1d 4548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑝 → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1))
49	48	prodsn 15936	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1) ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1))
50	41, 45, 49	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1))
51		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
52	51	iftrued 4532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1) = 𝑝)
53	52	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1) = 𝑝)
54	50, 53	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑝)
55	54	oveq2d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)) = (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝))
56	40, 55	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝))
57	56	breq2d 5155	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (𝑝 ∥ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 𝑝 ∥ (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝)))
58	20, 57	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (𝑝 ∥ (#p‘𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝)))
59	15, 58	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))
60	59	ex 411	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁)))
61	60	ralrimiva 3136	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051   ∖ cdif 3937   ∪ cun 3938   ∩ cin 3939  ∅c0 4318  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5143  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  Fincfn 8960  ℂcc 11134  1c1 11137   · cmul 11141   ≤ cle 11277  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12586  ...cfz 13514  ∏cprod 15879   ∥ cdvds 16228  ℙcprime 16639  #_pcprmo 16997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-prod 15880  df-dvds 16229  df-prm 16640  df-prmo 16998

This theorem is referenced by:  prmdvdsprmop  17009