MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsprmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsprmo 16922
Description: The primorial of a number is divisible by each prime less then or equal to the number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 28-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsprmo (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ (#pโ€˜๐‘)))
Distinct variable group:   ๐‘,๐‘

Proof of Theorem prmdvdsprmo
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 13886 . . . . . . 7 (1...๐‘) โˆˆ Fin
2 diffi 9129 . . . . . . 7 ((1...๐‘) โˆˆ Fin โ†’ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โˆˆ Fin)
31, 2mp1i 13 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โˆˆ Fin)
4 eldifi 4090 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘))
5 elfzelz 13450 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
7 1zzd 12542 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
86, 7ifcld 4536 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) โˆˆ โ„ค)
98adantl 483 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘})) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) โˆˆ โ„ค)
103, 9fprodzcl 15845 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘})if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) โˆˆ โ„ค)
11 prmz 16559 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1211adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1312adantr 482 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
14 dvdsmul2 16169 . . . . 5 ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘})if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆฅ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘})if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท ๐‘))
1510, 13, 14syl2anc 585 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆฅ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘})if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท ๐‘))
16 nnnn0 12428 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
17 prmoval 16913 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (#pโ€˜๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1))
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (#pโ€˜๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1))
1918ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ (#pโ€˜๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1))
2019breq2d 5121 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆฅ (#pโ€˜๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1)))
21 neldifsnd 4757 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}))
22 disjsn 4676 . . . . . . . . 9 ((((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โˆฉ {๐‘}) = โˆ… โ†” ยฌ ๐‘ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}))
2321, 22sylibr 233 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ (((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โˆฉ {๐‘}) = โˆ…)
24 prmnn 16558 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2524adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2625anim1i 616 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘))
27 nnz 12528 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
28 fznn 13518 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘)))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘)))
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘)))
3126, 30mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...๐‘))
32 difsnid 4774 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โˆช {๐‘}) = (1...๐‘))
3332eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (1...๐‘) = (((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โˆช {๐‘}))
3431, 33syl 17 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ (1...๐‘) = (((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โˆช {๐‘}))
35 fzfid 13887 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
36 1zzd 12542 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
375, 36ifcld 4536 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) โˆˆ โ„ค)
3837zcnd 12616 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) โˆˆ โ„‚)
3938adantl 483 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) โˆˆ โ„‚)
4023, 34, 35, 39fprodsplit 15857 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘})if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘}if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1)))
41 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
4225adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4342nncnd 12177 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
44 1cnd 11158 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4543, 44ifcld 4536 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ if(๐‘ โˆˆ โ„™, ๐‘, 1) โˆˆ โ„‚)
46 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„™ โ†” ๐‘ โˆˆ โ„™))
47 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ๐‘˜ = ๐‘)
4846, 47ifbieq1d 4514 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) = if(๐‘ โˆˆ โ„™, ๐‘, 1))
4948prodsn 15853 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง if(๐‘ โˆˆ โ„™, ๐‘, 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘}if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) = if(๐‘ โˆˆ โ„™, ๐‘, 1))
5041, 45, 49syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘}if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) = if(๐‘ โˆˆ โ„™, ๐‘, 1))
51 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
5251iftrued 4498 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ if(๐‘ โˆˆ โ„™, ๐‘, 1) = ๐‘)
5352adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ if(๐‘ โˆˆ โ„™, ๐‘, 1) = ๐‘)
5450, 53eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘}if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) = ๐‘)
5554oveq2d 7377 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘})if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘}if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘})if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท ๐‘))
5640, 55eqtrd 2773 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘})if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท ๐‘))
5756breq2d 5121 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆฅ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) โ†” ๐‘ โˆฅ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘})if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท ๐‘)))
5820, 57bitrd 279 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆฅ (#pโ€˜๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘})if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท ๐‘)))
5915, 58mpbird 257 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆฅ (#pโ€˜๐‘))
6059ex 414 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ (#pโ€˜๐‘)))
6160ralrimiva 3140 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ (#pโ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061   โˆ– cdif 3911   โˆช cun 3912   โˆฉ cin 3913  โˆ…c0 4286  ifcif 4490  {csn 4590   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  โ„‚cc 11057  1c1 11060   ยท cmul 11064   โ‰ค cle 11198  โ„•cn 12161  โ„•0cn0 12421  โ„คcz 12507  ...cfz 13433  โˆcprod 15796   โˆฅ cdvds 16144  โ„™cprime 16555  #pcprmo 16911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-prod 15797  df-dvds 16145  df-prm 16556  df-prmo 16912
This theorem is referenced by:  prmdvdsprmop  16923
  Copyright terms: Public domain W3C validator