MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsprmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsprmo 16984
Description: The primorial of a number is divisible by each prime less then or equal to the number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 28-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsprmo (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ (#pโ€˜๐‘)))
Distinct variable group:   ๐‘,๐‘

Proof of Theorem prmdvdsprmo
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 13943 . . . . . . 7 (1...๐‘) โˆˆ Fin
2 diffi 9181 . . . . . . 7 ((1...๐‘) โˆˆ Fin โ†’ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โˆˆ Fin)
31, 2mp1i 13 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โˆˆ Fin)
4 eldifi 4121 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘))
5 elfzelz 13507 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
7 1zzd 12597 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
86, 7ifcld 4569 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) โˆˆ โ„ค)
98adantl 481 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘})) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) โˆˆ โ„ค)
103, 9fprodzcl 15904 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘})if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) โˆˆ โ„ค)
11 prmz 16619 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1211adantl 481 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1312adantr 480 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
14 dvdsmul2 16229 . . . . 5 ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘})if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆฅ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘})if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท ๐‘))
1510, 13, 14syl2anc 583 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆฅ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘})if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท ๐‘))
16 nnnn0 12483 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
17 prmoval 16975 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (#pโ€˜๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1))
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (#pโ€˜๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1))
1918ad2antrr 723 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ (#pโ€˜๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1))
2019breq2d 5153 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆฅ (#pโ€˜๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1)))
21 neldifsnd 4791 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}))
22 disjsn 4710 . . . . . . . . 9 ((((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โˆฉ {๐‘}) = โˆ… โ†” ยฌ ๐‘ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}))
2321, 22sylibr 233 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ (((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โˆฉ {๐‘}) = โˆ…)
24 prmnn 16618 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2524adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2625anim1i 614 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘))
27 nnz 12583 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
28 fznn 13575 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘)))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘)))
3029ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘)))
3126, 30mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...๐‘))
32 difsnid 4808 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โˆช {๐‘}) = (1...๐‘))
3332eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (1...๐‘) = (((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โˆช {๐‘}))
3431, 33syl 17 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ (1...๐‘) = (((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โˆช {๐‘}))
35 fzfid 13944 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
36 1zzd 12597 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
375, 36ifcld 4569 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) โˆˆ โ„ค)
3837zcnd 12671 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) โˆˆ โ„‚)
3938adantl 481 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) โˆˆ โ„‚)
4023, 34, 35, 39fprodsplit 15916 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘})if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘}if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1)))
41 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
4225adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4342nncnd 12232 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
44 1cnd 11213 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4543, 44ifcld 4569 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ if(๐‘ โˆˆ โ„™, ๐‘, 1) โˆˆ โ„‚)
46 eleq1w 2810 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„™ โ†” ๐‘ โˆˆ โ„™))
47 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ๐‘˜ = ๐‘)
4846, 47ifbieq1d 4547 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) = if(๐‘ โˆˆ โ„™, ๐‘, 1))
4948prodsn 15912 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง if(๐‘ โˆˆ โ„™, ๐‘, 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘}if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) = if(๐‘ โˆˆ โ„™, ๐‘, 1))
5041, 45, 49syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘}if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) = if(๐‘ โˆˆ โ„™, ๐‘, 1))
51 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
5251iftrued 4531 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ if(๐‘ โˆˆ โ„™, ๐‘, 1) = ๐‘)
5352adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ if(๐‘ โˆˆ โ„™, ๐‘, 1) = ๐‘)
5450, 53eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘}if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) = ๐‘)
5554oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘})if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘}if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘})if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท ๐‘))
5640, 55eqtrd 2766 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘})if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท ๐‘))
5756breq2d 5153 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆฅ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) โ†” ๐‘ โˆฅ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘})if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท ๐‘)))
5820, 57bitrd 279 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆฅ (#pโ€˜๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘})if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท ๐‘)))
5915, 58mpbird 257 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆฅ (#pโ€˜๐‘))
6059ex 412 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ (#pโ€˜๐‘)))
6160ralrimiva 3140 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ (#pโ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055   โˆ– cdif 3940   โˆช cun 3941   โˆฉ cin 3942  โˆ…c0 4317  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  1c1 11113   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  ...cfz 13490  โˆcprod 15855   โˆฅ cdvds 16204  โ„™cprime 16615  #pcprmo 16973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-prod 15856  df-dvds 16205  df-prm 16616  df-prmo 16974
This theorem is referenced by:  prmdvdsprmop  16985
  Copyright terms: Public domain W3C validator