Theorem prmdvdsprmo 16743

Description: The primorial of a number is divisible by each prime less then or equal to the number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 28-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsprmo	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁)))

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsprmo

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 13692	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
2		diffi 8962	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∈ Fin)
3	1, 2	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∈ Fin)
4		eldifi 4061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
5		elfzelz 13256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) → 𝑘 ∈ ℤ)
7		1zzd 12351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) → 1 ∈ ℤ)
8	6, 7	ifcld 4505	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ)
9	8	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ)
10	3, 9	fprodzcl 15664	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → ∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ)
11		prmz 16380	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
12	11	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
13	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 𝑝 ∈ ℤ)
14		dvdsmul2 15988	. . . . 5 ⊢ ((∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → 𝑝 ∥ (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝))
15	10, 13, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 𝑝 ∥ (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝))
16		nnnn0 12240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
17		prmoval 16734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
19	18	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
20	19	breq2d 5086	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (𝑝 ∥ (#p‘𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
21		neldifsnd 4726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑝 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}))
22		disjsn 4647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∩ {𝑝}) = ∅ ↔ ¬ 𝑝 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝}))
23	21, 22	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∩ {𝑝}) = ∅)
24		prmnn 16379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
26	25	anim1i 615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝑁))
27		nnz 12342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
28		fznn 13324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑝 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)))
30	29	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (𝑝 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)))
31	26, 30	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 𝑝 ∈ (1...𝑁))
32		difsnid 4743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∪ {𝑝}) = (1...𝑁))
33	32	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∪ {𝑝}))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∖ {𝑝}) ∪ {𝑝}))
35		fzfid 13693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (1...𝑁) ∈ Fin)
36		1zzd 12351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
37	5, 36	ifcld 4505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 12427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℂ)
39	38	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℂ)
40	23, 34, 35, 39	fprodsplit 15676	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
41		simplr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 𝑝 ∈ ℙ)
42	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 𝑝 ∈ ℕ)
43	42	nncnd 11989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 𝑝 ∈ ℂ)
44		1cnd 10970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
45	43, 44	ifcld 4505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1) ∈ ℂ)
46		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑝 → (𝑘 ∈ ℙ ↔ 𝑝 ∈ ℙ))
47		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑝 → 𝑘 = 𝑝)
48	46, 47	ifbieq1d 4483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑝 → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1))
49	48	prodsn 15672	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1) ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1))
50	41, 45, 49	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1))
51		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
52	51	iftrued 4467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1) = 𝑝)
53	52	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → if(𝑝 ∈ ℙ, 𝑝, 1) = 𝑝)
54	50, 53	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑝)
55	54	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · ∏𝑘 ∈ {𝑝}if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)) = (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝))
56	40, 55	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝))
57	56	breq2d 5086	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (𝑝 ∥ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 𝑝 ∥ (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝)))
58	20, 57	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → (𝑝 ∥ (#p‘𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (∏𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑝})if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 𝑝)))
59	15, 58	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁))
60	59	ex 413	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁)))
61	60	ralrimiva 3103	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 → 𝑝 ∥ (#p‘𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886  ∅c0 4256  ifcif 4459  {csn 4561   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℂcc 10869  1c1 10872   · cmul 10876   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ...cfz 13239  ∏cprod 15615   ∥ cdvds 15963  ℙcprime 16376  #_pcprmo 16732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-prod 15616  df-dvds 15964  df-prm 16377  df-prmo 16733

This theorem is referenced by:  prmdvdsprmop  16744