Theorem prmo1 17221

Description: The primorial of 1. (Contributed by AV, 28-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmo1	⊢ (#p‘1) = 1

Proof of Theorem prmo1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12626	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		prmoval 17217	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (#p‘1) = ∏𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (#p‘1) = ∏𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)
4		1z 12730	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
5		ax-1cn 11262	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		1nprm 16860	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
7		eleq1 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
8	6, 7	mtbiri 330	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → ¬ 𝑘 ∈ ℙ)
9	8	iffalsed 4492	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1)
10	9	fprod1 16136	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1)
11	4, 5, 10	mp2an 705	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ (1...1)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1
12	3, 11	eqtri 2783	1 ⊢ (#p‘1) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ifcif 4481  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  1c1 11205  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  ...cfz 13643  ∏cprod 16078  ℙcprime 16852  #_pcprmo 17215

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-seq 14149  df-exp 14209  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661  df-prod 16079  df-dvds 16429  df-prm 16853  df-prmo 17216

This theorem is used by:  prmo2  17224