Theorem prodeq1d 15886

Description: Equality deduction for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prodeq1d	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		prodeq1 15873	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  ∏cprod 15869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-xp 5644  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-iota 6464  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-seq 13967  df-prod 15870

This theorem is referenced by:  prodeq12dv  15892  prodeq12rdv  15893  fprodf1o  15912  prodss  15913  fprod1  15929  fprodp1  15935  fprodfac  15939  fprodabs  15940  fprod2d  15947  fprodcom2  15950  risefacval  15974  fallfacval  15975  risefacval2  15976  fallfacval2  15977  risefacp1  15995  fallfacp1  15996  fallfacval4  16009  fprodefsum  16061  prmoval  17004  prmop1  17009  prmgapprmo  17033  gausslemma2dlem4  27280  breprexplema  34621  breprexplemc  34623  breprexp  34624  circlemethhgt  34634  bcprod  35725  aks4d1p1  42064  dvmptfprodlem  45942  dvmptfprod  45943  ovnval  46539  hoiprodp1  46586  hoidmv1le  46592  hspmbllem1  46624  fmtnorec2  47544