Theorem prodeq1d 15883

Description: Equality deduction for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prodeq1d	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		prodeq1 15870	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547  ∏cprod 15866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-xp 5631  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-iota 6448  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-seq 13962  df-prod 15867

This theorem is referenced by:  prodeq12dv  15889  prodeq12rdv  15890  fprodf1o  15909  prodss  15910  fprod1  15926  fprodp1  15932  fprodfac  15936  fprodabs  15937  fprod2d  15944  fprodcom2  15947  risefacval  15971  fallfacval  15972  risefacval2  15973  fallfacval2  15974  risefacp1  15992  fallfacp1  15993  fallfacval4  16006  fprodefsum  16058  prmoval  17002  prmop1  17007  prmgapprmo  17031  gausslemma2dlem4  27357  breprexplema  34821  breprexplemc  34823  breprexp  34824  circlemethhgt  34834  bcprod  35973  aks4d1p1  42568  dvmptfprodlem  46394  dvmptfprod  46395  ovnval  46991  hoiprodp1  47038  hoidmv1le  47044  hspmbllem1  47076  fmtnorec2  48028