Theorem prodeq1d 15933

Description: Equality deduction for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prodeq1d	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		prodeq1 15920	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559  ∏cprod 15916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-xp 5651  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-iota 6473  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-seq 14012  df-prod 15917

This theorem is referenced by:  prodeq12dv  15939  prodeq12rdv  15940  fprodf1o  15959  prodss  15960  fprod1  15976  fprodp1  15982  fprodfac  15986  fprodabs  15987  fprod2d  15994  fprodcom2  15997  risefacval  16021  fallfacval  16022  risefacval2  16023  fallfacval2  16024  risefacp1  16042  fallfacp1  16043  fallfacval4  16056  fprodefsum  16108  prmoval  17052  prmop1  17057  prmgapprmo  17081  gausslemma2dlem4  27410  breprexplema  34888  breprexplemc  34890  breprexp  34891  circlemethhgt  34901  bcprod  36052  aks4d1p1  42657  dvmptfprodlem  46482  dvmptfprod  46483  ovnval  47079  hoiprodp1  47126  hoidmv1le  47132  hspmbllem1  47164  fmtnorec2  48116