Theorem prodeq1d 15845

Description: Equality deduction for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prodeq1d	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		prodeq1 15832	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  ∏cprod 15828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-xp 5629  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-iota 6442  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-seq 13927  df-prod 15829

This theorem is referenced by:  prodeq12dv  15851  prodeq12rdv  15852  fprodf1o  15871  prodss  15872  fprod1  15888  fprodp1  15894  fprodfac  15898  fprodabs  15899  fprod2d  15906  fprodcom2  15909  risefacval  15933  fallfacval  15934  risefacval2  15935  fallfacval2  15936  risefacp1  15954  fallfacp1  15955  fallfacval4  15968  fprodefsum  16020  prmoval  16963  prmop1  16968  prmgapprmo  16992  gausslemma2dlem4  27296  breprexplema  34597  breprexplemc  34599  breprexp  34600  circlemethhgt  34610  bcprod  35710  aks4d1p1  42049  dvmptfprodlem  45926  dvmptfprod  45927  ovnval  46523  hoiprodp1  46570  hoidmv1le  46576  hspmbllem1  46608  fmtnorec2  47528