Theorem prodeq1d 15962

Description: Equality deduction for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prodeq1d	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		prodeq1 15949	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563  ∏cprod 15945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-iota 6481  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-seq 14026  df-prod 15946

This theorem is referenced by:  prodeq12dv  15968  prodeq12rdv  15969  fprodf1o  15988  prodss  15989  fprod1  16005  fprodp1  16011  fprodfac  16015  fprodabs  16016  fprod2d  16023  fprodcom2  16026  risefacval  16050  fallfacval  16051  risefacval2  16052  fallfacval2  16053  risefacp1  16071  fallfacp1  16072  fallfacval4  16085  fprodefsum  16137  prmoval  17081  prmop1  17086  prmgapprmo  17110  gausslemma2dlem4  27487  breprexplema  34929  breprexplemc  34931  breprexp  34932  circlemethhgt  34942  bcprod  36096  aks4d1p1  42700  dvmptfprodlem  46517  dvmptfprod  46518  ovnval  47114  hoiprodp1  47161  hoidmv1le  47167  hspmbllem1  47199  fmtnorec2  48151