Theorem prodeq1d 15976

Description: Equality deduction for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prodeq1d	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		prodeq1 15963	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570  ∏cprod 15959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-xp 5669  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-iota 6494  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-seq 14040  df-prod 15960

This theorem is referenced by:  prodeq12dv  15982  prodeq12rdv  15983  fprodf1o  16002  prodss  16003  fprod1  16019  fprodp1  16025  fprodfac  16029  fprodabs  16030  fprod2d  16037  fprodcom2  16040  risefacval  16064  fallfacval  16065  risefacval2  16066  fallfacval2  16067  risefacp1  16084  fallfacp1  16085  fallfacval4  16098  fprodefsum  16150  prmoval  17094  prmop1  17099  prmgapprmo  17123  gausslemma2dlem4  27514  breprexplema  34998  breprexplemc  35000  breprexp  35001  circlemethhgt  35011  bcprod  36211  aks4d1p1  42824  dvmptfprodlem  46641  dvmptfprod  46642  ovnval  47238  hoiprodp1  47285  hoidmv1le  47291  hspmbllem1  47323  fmtnorec2  48278