Theorem prmolefac 16747

Description: The primorial of a positive integer is less than or equal to the factorial of the integer. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 29-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmolefac	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem prmolefac

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1917	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑁 ∈ ℕ0
2		fzfid 13693	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
3		elfznn 13285	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
4	3	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5		1nn 11984	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℕ)
7	4, 6	ifcld 4505	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
8	7	nnred 11988	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℝ)
9		ifeqor 4510	. . . 4 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 ∨ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1)
10		nnnn0 12240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
11	10	nn0ge0d 12296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑘)
12	3, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 0 ≤ 𝑘)
13	12	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ 𝑘)
14		breq2 5078	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → (0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 0 ≤ 𝑘))
15	13, 14	syl5ibr 245	. . . . 5 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
16		0le1 11498	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
17		breq2 5078	. . . . . . . 8 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → (0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 0 ≤ 1))
18	17	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁))) → (0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 0 ≤ 1))
19	16, 18	mpbiri 257	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁))) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
20	19	ex 413	. . . . 5 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
21	15, 20	jaoi 854	. . . 4 ⊢ ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 ∨ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
22	9, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
23	4	nnred 11988	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
24	23	leidd 11541	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ≤ 𝑘)
25		breq1 5077	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘 ↔ 𝑘 ≤ 𝑘))
26	24, 25	syl5ibr 245	. . . . 5 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘))
27	4	nnge1d 12021	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ≤ 𝑘)
28		breq1 5077	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ 𝑘))
29	27, 28	syl5ibr 245	. . . . 5 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘))
30	26, 29	jaoi 854	. . . 4 ⊢ ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 ∨ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘))
31	9, 30	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘)
32	1, 2, 8, 22, 23, 31	fprodle 15706	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘)
33		prmoval 16734	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
34		fprodfac 15683	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘)
35	32, 33, 34	3brtr4d 5106	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) ≤ (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ifcif 4459   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ...cfz 13239  !cfa 13987  ∏cprod 15615  ℙcprime 16376  #_pcprmo 16732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-prod 15616  df-prmo 16733

This theorem is referenced by: (None)