MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmolefac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmolefac 16120
Description: The primorial of a positive integer is less than or equal to the factorial of the integer. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 29-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmolefac (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p𝑁) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem prmolefac
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 2015 . . 3 𝑘 𝑁 ∈ ℕ0
2 fzfid 13066 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
3 elfznn 12662 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
43adantl 475 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5 1nn 11362 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
65a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℕ)
74, 6ifcld 4350 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
87nnred 11366 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℝ)
9 ifeqor 4354 . . . 4 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 ∨ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1)
10 nnnn0 11625 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
1110nn0ge0d 11680 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑘)
123, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 0 ≤ 𝑘)
1312adantl 475 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ 𝑘)
14 breq2 4876 . . . . . 6 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → (0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 0 ≤ 𝑘))
1513, 14syl5ibr 238 . . . . 5 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
16 0le1 10874 . . . . . . 7 0 ≤ 1
17 breq2 4876 . . . . . . . 8 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → (0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 0 ≤ 1))
1817adantr 474 . . . . . . 7 ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁))) → (0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 0 ≤ 1))
1916, 18mpbiri 250 . . . . . 6 ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁))) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
2019ex 403 . . . . 5 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
2115, 20jaoi 890 . . . 4 ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 ∨ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
229, 21ax-mp 5 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
234nnred 11366 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
2423leidd 10917 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘𝑘)
25 breq1 4875 . . . . . 6 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘𝑘𝑘))
2624, 25syl5ibr 238 . . . . 5 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘))
274nnge1d 11398 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ≤ 𝑘)
28 breq1 4875 . . . . . 6 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ 𝑘))
2927, 28syl5ibr 238 . . . . 5 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘))
3026, 29jaoi 890 . . . 4 ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 ∨ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘))
319, 30ax-mp 5 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘)
321, 2, 8, 22, 23, 31fprodle 15098 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘)
33 prmoval 16107 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
34 fprodfac 15075 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘)
3532, 33, 343brtr4d 4904 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p𝑁) ≤ (!‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wo 880   = wceq 1658  wcel 2166  ifcif 4305   class class class wbr 4872  cfv 6122  (class class class)co 6904  0cc0 10251  1c1 10252  cle 10391  cn 11349  0cn0 11617  ...cfz 12618  !cfa 13352  cprod 15007  cprime 15756  #pcprmo 16105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-sup 8616  df-oi 8683  df-card 9077  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-rp 12112  df-ico 12468  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-seq 13095  df-exp 13154  df-fac 13353  df-hash 13410  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-clim 14595  df-prod 15008  df-prmo 16106
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator