Theorem prmolefac 17017

Description: The primorial of a positive integer is less than or equal to the factorial of the integer. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 29-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmolefac	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem prmolefac

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑁 ∈ ℕ0
2		fzfid 13935	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
3		elfznn 13507	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5		1nn 12185	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℕ)
7	4, 6	ifcld 4513	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
8	7	nnred 12189	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℝ)
9		ifeqor 4518	. . . 4 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 ∨ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1)
10		nnnn0 12444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
11	10	nn0ge0d 12501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑘)
12	3, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 0 ≤ 𝑘)
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ 𝑘)
14		breq2 5089	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → (0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 0 ≤ 𝑘))
15	13, 14	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
16		0le1 11673	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
17		breq2 5089	. . . . . . . 8 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → (0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 0 ≤ 1))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁))) → (0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 0 ≤ 1))
19	16, 18	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁))) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
20	19	ex 412	. . . . 5 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
21	15, 20	jaoi 858	. . . 4 ⊢ ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 ∨ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
22	9, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
23	4	nnred 12189	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
24	23	leidd 11716	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ≤ 𝑘)
25		breq1 5088	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘 ↔ 𝑘 ≤ 𝑘))
26	24, 25	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘))
27	4	nnge1d 12225	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ≤ 𝑘)
28		breq1 5088	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ 𝑘))
29	27, 28	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘))
30	26, 29	jaoi 858	. . . 4 ⊢ ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 ∨ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘))
31	9, 30	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘)
32	1, 2, 8, 22, 23, 31	fprodle 15961	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘)
33		prmoval 17004	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
34		fprodfac 15938	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘)
35	32, 33, 34	3brtr4d 5117	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) ≤ (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4466   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ...cfz 13461  !cfa 14235  ∏cprod 15868  ℙcprime 16640  #_pcprmo 17002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-prod 15869  df-prmo 17003

This theorem is referenced by: (None)