Theorem prmolefac 17229

Description: The primorial of a positive integer is less than or equal to the factorial of the integer. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 29-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmolefac	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem prmolefac

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1946	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑁 ∈ ℕ0
2		fzfid 14119	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
3		elfznn 13690	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
4	3	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5		1nn 12349	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℕ)
7	4, 6	ifcld 4528	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
8	7	nnred 12353	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℝ)
9		ifeqor 4533	. . . 4 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 ∨ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1)
10		nnnn0 12616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
11	10	nn0ge0d 12673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑘)
12	3, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 0 ≤ 𝑘)
13	12	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ 𝑘)
14		breq2 5106	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → (0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 0 ≤ 𝑘))
15	13, 14	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
16		0le1 11842	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
17		breq2 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → (0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 0 ≤ 1))
18	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁))) → (0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 0 ≤ 1))
19	16, 18	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁))) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
20	19	ex 418	. . . . 5 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
21	15, 20	jaoi 871	. . . 4 ⊢ ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 ∨ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
22	9, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
23	4	nnred 12353	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
24	23	leidd 11885	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ≤ 𝑘)
25		breq1 5105	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘 ↔ 𝑘 ≤ 𝑘))
26	24, 25	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘))
27	4	nnge1d 12389	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ≤ 𝑘)
28		breq1 5105	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ 𝑘))
29	27, 28	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘))
30	26, 29	jaoi 871	. . . 4 ⊢ ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 ∨ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘))
31	9, 30	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘)
32	1, 2, 8, 22, 23, 31	fprodle 16168	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘)
33		prmoval 17216	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
34		fprodfac 16145	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘)
35	32, 33, 34	3brtr4d 5136	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) ≤ (!‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ifcif 4481   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204   ≤ cle 11347  ℕcn 12338  ℕ₀cn0 12609  ...cfz 13642  !cfa 14420  ∏cprod 16077  ℙcprime 16851  #_pcprmo 17214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-ico 13485  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-prod 16078  df-prmo 17215

This theorem is used by: (None)