MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmolefac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmolefac 16385
Description: The primorial of a positive integer is less than or equal to the factorial of the integer. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 29-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmolefac (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p𝑁) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem prmolefac
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1914 . . 3 𝑘 𝑁 ∈ ℕ0
2 fzfid 13344 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
3 elfznn 12939 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
43adantl 484 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5 1nn 11652 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
65a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℕ)
74, 6ifcld 4515 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
87nnred 11656 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℝ)
9 ifeqor 4519 . . . 4 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 ∨ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1)
10 nnnn0 11907 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
1110nn0ge0d 11961 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑘)
123, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 0 ≤ 𝑘)
1312adantl 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ 𝑘)
14 breq2 5073 . . . . . 6 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → (0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 0 ≤ 𝑘))
1513, 14syl5ibr 248 . . . . 5 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
16 0le1 11166 . . . . . . 7 0 ≤ 1
17 breq2 5073 . . . . . . . 8 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → (0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 0 ≤ 1))
1817adantr 483 . . . . . . 7 ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁))) → (0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 0 ≤ 1))
1916, 18mpbiri 260 . . . . . 6 ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁))) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
2019ex 415 . . . . 5 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
2115, 20jaoi 853 . . . 4 ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 ∨ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
229, 21ax-mp 5 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
234nnred 11656 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
2423leidd 11209 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘𝑘)
25 breq1 5072 . . . . . 6 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘𝑘𝑘))
2624, 25syl5ibr 248 . . . . 5 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘))
274nnge1d 11688 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ≤ 𝑘)
28 breq1 5072 . . . . . 6 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ 𝑘))
2927, 28syl5ibr 248 . . . . 5 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘))
3026, 29jaoi 853 . . . 4 ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 ∨ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘))
319, 30ax-mp 5 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘)
321, 2, 8, 22, 23, 31fprodle 15353 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘)
33 prmoval 16372 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
34 fprodfac 15330 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘)
3532, 33, 343brtr4d 5101 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p𝑁) ≤ (!‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843   = wceq 1536  wcel 2113  ifcif 4470   class class class wbr 5069  cfv 6358  (class class class)co 7159  0cc0 10540  1c1 10541  cle 10679  cn 11641  0cn0 11900  ...cfz 12895  !cfa 13636  cprod 15262  cprime 16018  #pcprmo 16370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-ico 12747  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-prod 15263  df-prmo 16371
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator