MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgapprmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgapprmo 16995
Description: Alternate proof of prmgap 16992: in contrast to prmgap 16992, where the gap starts at n! , the factorial of n, the gap starts at n#, the primorial of n. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 29-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
prmgapprmo βˆ€π‘› ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑛 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™)
Distinct variable group:   𝑛,𝑝,π‘ž,𝑧

Proof of Theorem prmgapprmo
Dummy variables 𝑖 𝑗 π‘˜ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑗)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜)) = (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑗)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜))
3 fzfid 13938 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ β„• β†’ (1...𝑗) ∈ Fin)
4 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑗)) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1)) = (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1)))
5 eleq1 2822 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = π‘˜ β†’ (π‘š ∈ β„™ ↔ π‘˜ ∈ β„™))
6 id 22 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = π‘˜ β†’ π‘š = π‘˜)
75, 6ifbieq1d 4553 . . . . . . . . . 10 (π‘š = π‘˜ β†’ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
87adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑗)) ∧ π‘š = π‘˜) β†’ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
9 elfznn 13530 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
109adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑗)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
11 1nn 12223 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„•
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (1...𝑗) β†’ 1 ∈ β„•)
139, 12ifcld 4575 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...𝑗) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ β„•)
1413adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑗)) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ β„•)
154, 8, 10, 14fvmptd 7006 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑗)) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
1615, 14eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑗)) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) ∈ β„•)
173, 16fprodnncl 15899 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑗)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) ∈ β„•)
182, 17fmpti 7112 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑗)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜)):β„•βŸΆβ„•
19 nnex 12218 . . . . . 6 β„• ∈ V
2019, 19elmap 8865 . . . . 5 ((𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑗)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜)) ∈ (β„• ↑m β„•) ↔ (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑗)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜)):β„•βŸΆβ„•)
2118, 20mpbir 230 . . . 4 (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑗)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜)) ∈ (β„• ↑m β„•)
2221a1i 11 . . 3 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑗)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜)) ∈ (β„• ↑m β„•))
23 prmgapprmolem 16994 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ 1 < (((#pβ€˜π‘›) + 𝑖) gcd 𝑖))
24 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑗)) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1)) = (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1)))
257adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑗)) ∧ π‘š = π‘˜) β†’ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
269adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑗)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
27 elfzelz 13501 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (1...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
28 1zzd 12593 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (1...𝑗) β†’ 1 ∈ β„€)
2927, 28ifcld 4575 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (1...𝑗) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ β„€)
3029adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑗)) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ β„€)
3124, 25, 26, 30fvmptd 7006 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑗)) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
3231prodeq2dv 15867 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑗)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) = βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑗)if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
3332mpteq2dva 5249 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑗)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜)) = (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑗)if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1)))
34 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑛 β†’ (1...𝑗) = (1...𝑛))
3534prodeq1d 15865 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑛 β†’ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑗)if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) = βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑛)if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
3635adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) ∧ 𝑗 = 𝑛) β†’ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑗)if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) = βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑛)if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
37 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
38 fzfid 13938 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ (1...𝑛) ∈ Fin)
39 elfznn 13530 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
4011a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ 1 ∈ β„•)
4139, 40ifcld 4575 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ β„•)
4241adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ β„•)
4338, 42fprodnncl 15899 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑛)if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ β„•)
4433, 36, 37, 43fvmptd 7006 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ ((𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑗)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜))β€˜π‘›) = βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑛)if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
45 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
46 prmoval 16966 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (#pβ€˜π‘›) = βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑛)if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (#pβ€˜π‘›) = βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑛)if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
4847eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑛)if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) = (#pβ€˜π‘›))
4948adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑛)if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) = (#pβ€˜π‘›))
5044, 49eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ ((𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑗)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜))β€˜π‘›) = (#pβ€˜π‘›))
5150oveq1d 7424 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ (((𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑗)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜))β€˜π‘›) + 𝑖) = ((#pβ€˜π‘›) + 𝑖))
5251oveq1d 7424 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ ((((𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑗)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜))β€˜π‘›) + 𝑖) gcd 𝑖) = (((#pβ€˜π‘›) + 𝑖) gcd 𝑖))
5323, 52breqtrrd 5177 . . . 4 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ 1 < ((((𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑗)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜))β€˜π‘›) + 𝑖) gcd 𝑖))
5453ralrimiva 3147 . . 3 (𝑛 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘– ∈ (2...𝑛)1 < ((((𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑗)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜))β€˜π‘›) + 𝑖) gcd 𝑖))
551, 22, 54prmgaplem8 16991 . 2 (𝑛 ∈ β„• β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑛 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™))
5655rgen 3064 1 βˆ€π‘› ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑛 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ‰ wnel 3047  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  βˆcprod 15849   gcd cgcd 16435  β„™cprime 16608  #pcprmo 16964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-prmo 16965
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator