MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmodvdslcmf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prmodvdslcmf 16984
Description: The primorial of a nonnegative integer divides the least common multiple of all positive integers less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.) (Revised by AV, 29-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmodvdslcmf (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (#pβ€˜π‘) βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁)))
Proof of Theorem prmodvdslcmf
Dummy variables π‘˜ π‘š π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmoval 16970 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (#pβ€˜π‘) = βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑁)if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
2 eqidd 2731 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1)) = (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1)))
3 simpr 483 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ π‘š = π‘˜) β†’ π‘š = π‘˜)
43eleq1d 2816 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ π‘š = π‘˜) β†’ (π‘š ∈ β„™ ↔ π‘˜ ∈ β„™))
54, 3ifbieq1d 4551 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ π‘š = π‘˜) β†’ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
6 elfznn 13534 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
7 1nn 12227 . . . . . . . 8 1 ∈ β„•
87a1i 11 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ 1 ∈ β„•)
96, 8ifcld 4573 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ β„•)
102, 5, 6, 9fvmptd 7004 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
1110eqcomd 2736 . . . 4 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) = ((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜))
1211prodeq2i 15867 . . 3 βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑁)if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) = βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑁)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜)
131, 12eqtrdi 2786 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (#pβ€˜π‘) = βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑁)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜))
14 fzfid 13942 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
15 fz1ssnn 13536 . . . 4 (1...𝑁) βŠ† β„•
1614, 15jctil 518 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((1...𝑁) βŠ† β„• ∧ (1...𝑁) ∈ Fin))
17 fzssz 13507 . . . . 5 (1...𝑁) βŠ† β„€
1817a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (1...𝑁) βŠ† β„€)
19 0nelfz1 13524 . . . . 5 0 βˆ‰ (1...𝑁)
2019a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 0 βˆ‰ (1...𝑁))
21 lcmfn0cl 16567 . . . 4 (((1...𝑁) βŠ† β„€ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin ∧ 0 βˆ‰ (1...𝑁)) β†’ (lcmβ€˜(1...𝑁)) ∈ β„•)
2218, 14, 20, 21syl3anc 1369 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (lcmβ€˜(1...𝑁)) ∈ β„•)
23 id 22 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„•)
247a1i 11 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„•)
2523, 24ifcld 4573 . . . . 5 (π‘š ∈ β„• β†’ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1) ∈ β„•)
2625adantl 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1) ∈ β„•)
2726fmpttd 7115 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1)):β„•βŸΆβ„•)
28 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (1...𝑁))
2928adantr 479 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ((1...𝑁) βˆ– {π‘˜})) β†’ π‘˜ ∈ (1...𝑁))
30 eldifi 4125 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((1...𝑁) βˆ– {π‘˜}) β†’ π‘₯ ∈ (1...𝑁))
3130adantl 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ((1...𝑁) βˆ– {π‘˜})) β†’ π‘₯ ∈ (1...𝑁))
32 eldif 3957 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ((1...𝑁) βˆ– {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ {π‘˜}))
33 velsn 4643 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ {π‘˜} ↔ π‘₯ = π‘˜)
3433biimpri 227 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘˜ β†’ π‘₯ ∈ {π‘˜})
3534equcoms 2021 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘₯ β†’ π‘₯ ∈ {π‘˜})
3635necon3bi 2965 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘₯ ∈ {π‘˜} β†’ π‘˜ β‰  π‘₯)
3732, 36simplbiim 503 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((1...𝑁) βˆ– {π‘˜}) β†’ π‘˜ β‰  π‘₯)
3837adantl 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ((1...𝑁) βˆ– {π‘˜})) β†’ π‘˜ β‰  π‘₯)
39 eqid 2730 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1)) = (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))
4039fvprmselgcd1 16982 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑁) ∧ π‘˜ β‰  π‘₯) β†’ (((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) gcd ((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘₯)) = 1)
4129, 31, 38, 40syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ((1...𝑁) βˆ– {π‘˜})) β†’ (((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) gcd ((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘₯)) = 1)
4241ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((1...𝑁) βˆ– {π‘˜})(((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) gcd ((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘₯)) = 1)
4342ralrimiva 3144 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘₯ ∈ ((1...𝑁) βˆ– {π‘˜})(((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) gcd ((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘₯)) = 1)
44 eqidd 2731 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1)) = (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1)))
45 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) ∧ π‘š = π‘˜) β†’ π‘š = π‘˜)
4645eleq1d 2816 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) ∧ π‘š = π‘˜) β†’ (π‘š ∈ β„™ ↔ π‘˜ ∈ β„™))
4746, 45ifbieq1d 4551 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) ∧ π‘š = π‘˜) β†’ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
4815, 28sselid 3979 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
4917, 28sselid 3979 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
50 1zzd 12597 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ 1 ∈ β„€)
5149, 50ifcld 4573 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ β„€)
5244, 47, 48, 51fvmptd 7004 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
53 breq1 5150 . . . . . 6 (π‘₯ = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) β†’ (π‘₯ βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁)) ↔ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁))))
5416adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1...𝑁) βŠ† β„• ∧ (1...𝑁) ∈ Fin))
55172a1i 12 . . . . . . . 8 ((1...𝑁) ∈ Fin β†’ ((1...𝑁) βŠ† β„• β†’ (1...𝑁) βŠ† β„€))
5655imdistanri 568 . . . . . . 7 (((1...𝑁) βŠ† β„• ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) β†’ ((1...𝑁) βŠ† β„€ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin))
57 dvdslcmf 16572 . . . . . . 7 (((1...𝑁) βŠ† β„€ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝑁)π‘₯ βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁)))
5854, 56, 573syl 18 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝑁)π‘₯ βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁)))
59 elfzuz2 13510 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
6059adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
61 eluzfz1 13512 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ∈ (1...𝑁))
6260, 61syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ 1 ∈ (1...𝑁))
6328, 62ifcld 4573 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ (1...𝑁))
6453, 58, 63rspcdva 3612 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁)))
6552, 64eqbrtrd 5169 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁)))
6665ralrimiva 3144 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁)))
67 coprmproddvds 16604 . . 3 ((((1...𝑁) βŠ† β„• ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) ∧ ((lcmβ€˜(1...𝑁)) ∈ β„• ∧ (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1)):β„•βŸΆβ„•) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘₯ ∈ ((1...𝑁) βˆ– {π‘˜})(((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) gcd ((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘₯)) = 1 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁)))) β†’ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑁)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁)))
6816, 22, 27, 43, 66, 67syl122anc 1377 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑁)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁)))
6913, 68eqbrtrd 5169 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (#pβ€˜π‘) βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   βˆ‰ wnel 3044  βˆ€wral 3059   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  βˆcprod 15853   βˆ₯ cdvds 16201   gcd cgcd 16439  lcmclcmf 16530  β„™cprime 16612  #pcprmo 16968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-prod 15854  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-lcmf 16532  df-prm 16613  df-prmo 16969
This theorem is referenced by:  prmolelcmf  16985
  Copyright terms: Public domain W3C validator