MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmodvdslcmf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prmodvdslcmf 16976
Description: The primorial of a nonnegative integer divides the least common multiple of all positive integers less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.) (Revised by AV, 29-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmodvdslcmf (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (#pβ€˜π‘) βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁)))
Proof of Theorem prmodvdslcmf
Dummy variables π‘˜ π‘š π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmoval 16962 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (#pβ€˜π‘) = βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑁)if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
2 eqidd 2733 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1)) = (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1)))
3 simpr 485 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ π‘š = π‘˜) β†’ π‘š = π‘˜)
43eleq1d 2818 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ π‘š = π‘˜) β†’ (π‘š ∈ β„™ ↔ π‘˜ ∈ β„™))
54, 3ifbieq1d 4551 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ π‘š = π‘˜) β†’ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
6 elfznn 13526 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
7 1nn 12219 . . . . . . . 8 1 ∈ β„•
87a1i 11 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ 1 ∈ β„•)
96, 8ifcld 4573 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ β„•)
102, 5, 6, 9fvmptd 7002 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
1110eqcomd 2738 . . . 4 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) = ((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜))
1211prodeq2i 15859 . . 3 βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑁)if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) = βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑁)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜)
131, 12eqtrdi 2788 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (#pβ€˜π‘) = βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑁)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜))
14 fzfid 13934 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
15 fz1ssnn 13528 . . . 4 (1...𝑁) βŠ† β„•
1614, 15jctil 520 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((1...𝑁) βŠ† β„• ∧ (1...𝑁) ∈ Fin))
17 fzssz 13499 . . . . 5 (1...𝑁) βŠ† β„€
1817a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (1...𝑁) βŠ† β„€)
19 0nelfz1 13516 . . . . 5 0 βˆ‰ (1...𝑁)
2019a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 0 βˆ‰ (1...𝑁))
21 lcmfn0cl 16559 . . . 4 (((1...𝑁) βŠ† β„€ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin ∧ 0 βˆ‰ (1...𝑁)) β†’ (lcmβ€˜(1...𝑁)) ∈ β„•)
2218, 14, 20, 21syl3anc 1371 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (lcmβ€˜(1...𝑁)) ∈ β„•)
23 id 22 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„•)
247a1i 11 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„•)
2523, 24ifcld 4573 . . . . 5 (π‘š ∈ β„• β†’ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1) ∈ β„•)
2625adantl 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1) ∈ β„•)
2726fmpttd 7111 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1)):β„•βŸΆβ„•)
28 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (1...𝑁))
2928adantr 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ((1...𝑁) βˆ– {π‘˜})) β†’ π‘˜ ∈ (1...𝑁))
30 eldifi 4125 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((1...𝑁) βˆ– {π‘˜}) β†’ π‘₯ ∈ (1...𝑁))
3130adantl 482 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ((1...𝑁) βˆ– {π‘˜})) β†’ π‘₯ ∈ (1...𝑁))
32 eldif 3957 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ((1...𝑁) βˆ– {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ {π‘˜}))
33 velsn 4643 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ {π‘˜} ↔ π‘₯ = π‘˜)
3433biimpri 227 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘˜ β†’ π‘₯ ∈ {π‘˜})
3534equcoms 2023 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘₯ β†’ π‘₯ ∈ {π‘˜})
3635necon3bi 2967 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘₯ ∈ {π‘˜} β†’ π‘˜ β‰  π‘₯)
3732, 36simplbiim 505 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((1...𝑁) βˆ– {π‘˜}) β†’ π‘˜ β‰  π‘₯)
3837adantl 482 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ((1...𝑁) βˆ– {π‘˜})) β†’ π‘˜ β‰  π‘₯)
39 eqid 2732 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1)) = (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))
4039fvprmselgcd1 16974 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ (1...𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (1...𝑁) ∧ π‘˜ β‰  π‘₯) β†’ (((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) gcd ((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘₯)) = 1)
4129, 31, 38, 40syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ((1...𝑁) βˆ– {π‘˜})) β†’ (((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) gcd ((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘₯)) = 1)
4241ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((1...𝑁) βˆ– {π‘˜})(((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) gcd ((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘₯)) = 1)
4342ralrimiva 3146 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘₯ ∈ ((1...𝑁) βˆ– {π‘˜})(((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) gcd ((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘₯)) = 1)
44 eqidd 2733 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1)) = (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1)))
45 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) ∧ π‘š = π‘˜) β†’ π‘š = π‘˜)
4645eleq1d 2818 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) ∧ π‘š = π‘˜) β†’ (π‘š ∈ β„™ ↔ π‘˜ ∈ β„™))
4746, 45ifbieq1d 4551 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) ∧ π‘š = π‘˜) β†’ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
4815, 28sselid 3979 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
4917, 28sselid 3979 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
50 1zzd 12589 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ 1 ∈ β„€)
5149, 50ifcld 4573 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ β„€)
5244, 47, 48, 51fvmptd 7002 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
53 breq1 5150 . . . . . 6 (π‘₯ = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) β†’ (π‘₯ βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁)) ↔ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁))))
5416adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1...𝑁) βŠ† β„• ∧ (1...𝑁) ∈ Fin))
55172a1i 12 . . . . . . . 8 ((1...𝑁) ∈ Fin β†’ ((1...𝑁) βŠ† β„• β†’ (1...𝑁) βŠ† β„€))
5655imdistanri 570 . . . . . . 7 (((1...𝑁) βŠ† β„• ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) β†’ ((1...𝑁) βŠ† β„€ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin))
57 dvdslcmf 16564 . . . . . . 7 (((1...𝑁) βŠ† β„€ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝑁)π‘₯ βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁)))
5854, 56, 573syl 18 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝑁)π‘₯ βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁)))
59 elfzuz2 13502 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
6059adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
61 eluzfz1 13504 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ∈ (1...𝑁))
6260, 61syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ 1 ∈ (1...𝑁))
6328, 62ifcld 4573 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ (1...𝑁))
6453, 58, 63rspcdva 3613 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁)))
6552, 64eqbrtrd 5169 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁)))
6665ralrimiva 3146 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁)))
67 coprmproddvds 16596 . . 3 ((((1...𝑁) βŠ† β„• ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) ∧ ((lcmβ€˜(1...𝑁)) ∈ β„• ∧ (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1)):β„•βŸΆβ„•) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘₯ ∈ ((1...𝑁) βˆ– {π‘˜})(((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) gcd ((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘₯)) = 1 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁)))) β†’ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑁)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁)))
6816, 22, 27, 43, 66, 67syl122anc 1379 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑁)((π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, π‘š, 1))β€˜π‘˜) βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁)))
6913, 68eqbrtrd 5169 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (#pβ€˜π‘) βˆ₯ (lcmβ€˜(1...𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ‰ wnel 3046  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  0cc0 11106  1c1 11107  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  ...cfz 13480  βˆcprod 15845   βˆ₯ cdvds 16193   gcd cgcd 16431  lcmclcmf 16522  β„™cprime 16604  #pcprmo 16960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-prod 15846  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-lcmf 16524  df-prm 16605  df-prmo 16961
This theorem is referenced by:  prmolelcmf  16977
  Copyright terms: Public domain W3C validator