MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmop1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmop1 16971
Description: The primorial of a successor. (Contributed by AV, 28-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmop1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (#pโ€˜(๐‘ + 1)) = if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, ((#pโ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)), (#pโ€˜๐‘)))

Proof of Theorem prmop1
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 12512 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
2 prmoval 16966 . . 3 ((๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (#pโ€˜(๐‘ + 1)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1))
31, 2syl 17 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (#pโ€˜(๐‘ + 1)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1))
4 nn0p1nn 12511 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•)
5 elnnuz 12866 . . . 4 ((๐‘ + 1) โˆˆ โ„• โ†” (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
64, 5sylib 217 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
7 elfzelz 13501 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
87zcnd 12667 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
98adantl 483 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
10 1cnd 11209 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
119, 10ifcld 4575 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) โˆˆ โ„‚)
12 eleq1 2822 . . . 4 (๐‘˜ = (๐‘ + 1) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘ + 1) โˆˆ โ„™))
13 id 22 . . . 4 (๐‘˜ = (๐‘ + 1) โ†’ ๐‘˜ = (๐‘ + 1))
1412, 13ifbieq1d 4553 . . 3 (๐‘˜ = (๐‘ + 1) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) = if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, (๐‘ + 1), 1))
156, 11, 14fprodm1 15911 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, (๐‘ + 1), 1)))
16 nn0cn 12482 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
17 pncan1 11638 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘)
1918oveq2d 7425 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1)) = (1...๐‘))
2019prodeq1d 15865 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1))
2120oveq1d 7424 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, (๐‘ + 1), 1)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, (๐‘ + 1), 1)))
22 prmoval 16966 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (#pโ€˜๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1))
2322eqcomd 2739 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) = (#pโ€˜๐‘))
2423adantl 483 . . . . . 6 (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) = (#pโ€˜๐‘))
2524oveq1d 7424 . . . . 5 (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท (๐‘ + 1)) = ((#pโ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)))
26 iftrue 4535 . . . . . . . 8 ((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, (๐‘ + 1), 1) = (๐‘ + 1))
2726oveq2d 7425 . . . . . . 7 ((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, (๐‘ + 1), 1)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท (๐‘ + 1)))
28 iftrue 4535 . . . . . . 7 ((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, ((#pโ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)), (#pโ€˜๐‘)) = ((#pโ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)))
2927, 28eqeq12d 2749 . . . . . 6 ((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, (๐‘ + 1), 1)) = if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, ((#pโ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)), (#pโ€˜๐‘)) โ†” (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท (๐‘ + 1)) = ((#pโ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1))))
3029adantr 482 . . . . 5 (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, (๐‘ + 1), 1)) = if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, ((#pโ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)), (#pโ€˜๐‘)) โ†” (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท (๐‘ + 1)) = ((#pโ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1))))
3125, 30mpbird 257 . . . 4 (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, (๐‘ + 1), 1)) = if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, ((#pโ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)), (#pโ€˜๐‘)))
32 fzfid 13938 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
33 elfznn 13530 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
34 1nn 12223 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„•
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„•)
3633, 35ifcld 4575 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) โˆˆ โ„•)
3736adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) โˆˆ โ„•)
3832, 37fprodnncl 15899 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) โˆˆ โ„•)
3938nncnd 12228 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) โˆˆ โ„‚)
4039adantl 483 . . . . . . 7 ((ยฌ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) โˆˆ โ„‚)
4140mulridd 11231 . . . . . 6 ((ยฌ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท 1) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1))
4222adantl 483 . . . . . 6 ((ยฌ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (#pโ€˜๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1))
4341, 42eqtr4d 2776 . . . . 5 ((ยฌ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท 1) = (#pโ€˜๐‘))
44 iffalse 4538 . . . . . . . 8 (ยฌ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, (๐‘ + 1), 1) = 1)
4544oveq2d 7425 . . . . . . 7 (ยฌ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, (๐‘ + 1), 1)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท 1))
46 iffalse 4538 . . . . . . 7 (ยฌ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, ((#pโ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)), (#pโ€˜๐‘)) = (#pโ€˜๐‘))
4745, 46eqeq12d 2749 . . . . . 6 (ยฌ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, (๐‘ + 1), 1)) = if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, ((#pโ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)), (#pโ€˜๐‘)) โ†” (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท 1) = (#pโ€˜๐‘)))
4847adantr 482 . . . . 5 ((ยฌ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, (๐‘ + 1), 1)) = if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, ((#pโ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)), (#pโ€˜๐‘)) โ†” (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท 1) = (#pโ€˜๐‘)))
4943, 48mpbird 257 . . . 4 ((ยฌ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, (๐‘ + 1), 1)) = if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, ((#pโ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)), (#pโ€˜๐‘)))
5031, 49pm2.61ian 811 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, (๐‘ + 1), 1)) = if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, ((#pโ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)), (#pโ€˜๐‘)))
5121, 50eqtrd 2773 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...((๐‘ + 1) โˆ’ 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, ๐‘˜, 1) ยท if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, (๐‘ + 1), 1)) = if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, ((#pโ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)), (#pโ€˜๐‘)))
523, 15, 513eqtrd 2777 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (#pโ€˜(๐‘ + 1)) = if((๐‘ + 1) โˆˆ โ„™, ((#pโ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)), (#pโ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4529  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คโ‰ฅcuz 12822  ...cfz 13484  โˆcprod 15849  โ„™cprime 16608  #pcprmo 16964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850  df-prmo 16965
This theorem is referenced by:  prmonn2  16972
  Copyright terms: Public domain W3C validator