MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmop1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmop1 16739
Description: The primorial of a successor. (Contributed by AV, 28-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmop1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)))

Proof of Theorem prmop1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 12273 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2 prmoval 16734 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (#p‘(𝑁 + 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘(𝑁 + 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
4 nn0p1nn 12272 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
5 elnnuz 12622 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ↔ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1))
64, 5sylib 217 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1))
7 elfzelz 13256 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
87zcnd 12427 . . . . 5 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
98adantl 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
10 1cnd 10970 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
119, 10ifcld 4505 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℂ)
12 eleq1 2826 . . . 4 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 ∈ ℙ ↔ (𝑁 + 1) ∈ ℙ))
13 id 22 . . . 4 (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
1412, 13ifbieq1d 4483 . . 3 (𝑘 = (𝑁 + 1) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1))
156, 11, 14fprodm1 15677 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = (∏𝑘 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)))
16 nn0cn 12243 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
17 pncan1 11399 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
1918oveq2d 7291 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...((𝑁 + 1) − 1)) = (1...𝑁))
2019prodeq1d 15631 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
2120oveq1d 7290 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∏𝑘 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)))
22 prmoval 16734 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
2322eqcomd 2744 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = (#p𝑁))
2423adantl 482 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = (#p𝑁))
2524oveq1d 7290 . . . . 5 (((𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · (𝑁 + 1)) = ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)))
26 iftrue 4465 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℙ → if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1) = (𝑁 + 1))
2726oveq2d 7291 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ ℙ → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · (𝑁 + 1)))
28 iftrue 4465 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ ℙ → if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)) = ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)))
2927, 28eqeq12d 2754 . . . . . 6 ((𝑁 + 1) ∈ ℙ → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)) ↔ (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · (𝑁 + 1)) = ((#p𝑁) · (𝑁 + 1))))
3029adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)) ↔ (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · (𝑁 + 1)) = ((#p𝑁) · (𝑁 + 1))))
3125, 30mpbird 256 . . . 4 (((𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)))
32 fzfid 13693 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
33 elfznn 13285 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
34 1nn 11984 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℕ)
3633, 35ifcld 4505 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
3736adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
3832, 37fprodnncl 15665 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
3938nncnd 11989 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℂ)
4039adantl 482 . . . . . . 7 ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℂ)
4140mulid1d 10992 . . . . . 6 ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 1) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
4222adantl 482 . . . . . 6 ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#p𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
4341, 42eqtr4d 2781 . . . . 5 ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 1) = (#p𝑁))
44 iffalse 4468 . . . . . . . 8 (¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ → if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1) = 1)
4544oveq2d 7291 . . . . . . 7 (¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 1))
46 iffalse 4468 . . . . . . 7 (¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ → if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)) = (#p𝑁))
4745, 46eqeq12d 2754 . . . . . 6 (¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)) ↔ (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 1) = (#p𝑁)))
4847adantr 481 . . . . 5 ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)) ↔ (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 1) = (#p𝑁)))
4943, 48mpbird 256 . . . 4 ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)))
5031, 49pm2.61ian 809 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)))
5121, 50eqtrd 2778 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∏𝑘 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)))
523, 15, 513eqtrd 2782 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  ifcif 4459  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  cmin 11205  cn 11973  0cn0 12233  cuz 12582  ...cfz 13239  cprod 15615  cprime 16376  #pcprmo 16732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-prod 15616  df-prmo 16733
This theorem is referenced by:  prmonn2  16740
  Copyright terms: Public domain W3C validator