Theorem prmop1 16967

Description: The primorial of a successor. (Contributed by AV, 28-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmop1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)))

Proof of Theorem prmop1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 12508	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2		prmoval 16962	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (#p‘(𝑁 + 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘(𝑁 + 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
4		nn0p1nn 12507	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
5		elnnuz 12862	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ↔ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
6	4, 5	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
7		elfzelz 13497	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 12663	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
9	8	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
10		1cnd 11205	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
11	9, 10	ifcld 4573	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℂ)
12		eleq1 2821	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 ∈ ℙ ↔ (𝑁 + 1) ∈ ℙ))
13		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
14	12, 13	ifbieq1d 4551	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1))
15	6, 11, 14	fprodm1 15907	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = (∏𝑘 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)))
16		nn0cn 12478	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
17		pncan1 11634	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
19	18	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...((𝑁 + 1) − 1)) = (1...𝑁))
20	19	prodeq1d 15861	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
21	20	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∏𝑘 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)))
22		prmoval 16962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
23	22	eqcomd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = (#p‘𝑁))
24	23	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = (#p‘𝑁))
25	24	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · (𝑁 + 1)) = ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
26		iftrue 4533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℙ → if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1) = (𝑁 + 1))
27	26	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℙ → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · (𝑁 + 1)))
28		iftrue 4533	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℙ → if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)) = ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
29	27, 28	eqeq12d 2748	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℙ → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)) ↔ (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · (𝑁 + 1)) = ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1))))
30	29	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)) ↔ (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · (𝑁 + 1)) = ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1))))
31	25, 30	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)))
32		fzfid 13934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
33		elfznn 13526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
34		1nn 12219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℕ)
36	33, 35	ifcld 4573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
38	32, 37	fprodnncl 15895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
39	38	nncnd 12224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℂ)
40	39	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℂ)
41	40	mulridd 11227	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 1) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
42	22	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
43	41, 42	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 1) = (#p‘𝑁))
44		iffalse 4536	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ → if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1) = 1)
45	44	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 1))
46		iffalse 4536	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ → if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)) = (#p‘𝑁))
47	45, 46	eqeq12d 2748	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)) ↔ (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 1) = (#p‘𝑁)))
48	47	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)) ↔ (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 1) = (#p‘𝑁)))
49	43, 48	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)))
50	31, 49	pm2.61ian 810	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)))
51	21, 50	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∏𝑘 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)))
52	3, 15, 51	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p‘𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p‘𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4527  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   − cmin 11440  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  ℤ_≥cuz 12818  ...cfz 13480  ∏cprod 15845  ℙcprime 16604  #_pcprmo 16960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-prod 15846  df-prmo 16961

This theorem is referenced by:  prmonn2  16968