Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0xp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0xp 42925
 Description: Combine two generalized sums of nonnegative extended reals into a single generalized sum over the cartesian product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0xp.1 𝑘𝜑
sge0xp.z (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
sge0xp.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0xp.b (𝜑𝐵𝑊)
sge0xp.d ((𝜑𝑗𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0xp (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑧   𝐵,𝑗,𝑘,𝑧   𝑧,𝐶   𝐷,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐷(𝑧)   𝑉(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑊(𝑧,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem sge0xp
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0xp.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 snex 5315 . . . . . 6 {𝑗} ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑗} ∈ V)
4 sge0xp.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑊)
53, 4xpexd 7459 . . . 4 (𝜑 → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
65adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
7 disjsnxp 41555 . . . 4 Disj 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
87a1i 11 . . 3 (𝜑Disj 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
9 vex 3482 . . . . . . . 8 𝑗 ∈ V
10 elsnxp 6125 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ V → (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
1211biimpi 219 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
1312adantl 485 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
14 sge0xp.1 . . . . . . . 8 𝑘𝜑
15 nfv 1916 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝐴
1614, 15nfan 1901 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
17 nfv 1916 . . . . . . 7 𝑘 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)
1816, 17nfan 1901 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
19 nfv 1916 . . . . . 6 𝑘 𝐷 ∈ (0[,]+∞)
20 sge0xp.z . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
21203ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐷 = 𝐶)
22 sge0xp.d . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
23223expa 1115 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
24233adant3 1129 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
2521, 24eqeltrd 2916 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
26253exp 1116 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑘𝐵 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
2726adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → (𝑘𝐵 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
2818, 19, 27rexlimd 3309 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → (∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
2913, 28mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
30293impa 1107 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
311, 6, 8, 30sge0iunmpt 42914 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))))
32 iunxpconst 5607 . . . . . 6 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
3332eqcomi 2833 . . . . 5 (𝐴 × 𝐵) = 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
3433a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
3534mpteq1d 5138 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷) = (𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷))
3635fveq2d 6657 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))
37 nfv 1916 . . . 4 𝑗𝜑
38 nfv 1916 . . . . . 6 𝑧(𝜑𝑗𝐴)
394adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
40 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
41 eqid 2824 . . . . . . 7 (𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩) = (𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)
4240, 41projf1o 41681 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩):𝐵1-1-onto→({𝑗} × 𝐵))
43 eqidd 2825 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩) = (𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩))
44 opeq2 4787 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → ⟨𝑗, 𝑖⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
4544adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑖 = 𝑘) → ⟨𝑗, 𝑖⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
46 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘𝐵)
47 opex 5339 . . . . . . . . 9 𝑗, 𝑘⟩ ∈ V
4847a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ V)
4943, 45, 46, 48fvmptd 6758 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → ((𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)‘𝑘) = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
5049adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → ((𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)‘𝑘) = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
5138, 16, 20, 39, 42, 50, 29sge0f1o 42878 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
5251eqcomd 2830 . . . 4 ((𝜑𝑗𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))
5337, 52mpteq2da 5143 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) = (𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷))))
5453fveq2d 6657 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))))
5531, 36, 543eqtr4rd 2870 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3133  Vcvv 3479  {csn 4548  ⟨cop 4554  ∪ ciun 4902  Disj wdisj 5014   ↦ cmpt 5129   × cxp 5536  ‘cfv 6338  (class class class)co 7140  0cc0 10524  +∞cpnf 10659  [,]cicc 12729  Σ^csumge0 42858 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-inf2 9090  ax-ac2 9872  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-disj 5015  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-se 5498  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-isom 6347  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-oi 8960  df-card 9354  df-acn 9357  df-ac 9529  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-sum 15034  df-sumge0 42859 This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  43066
 Copyright terms: Public domain W3C validator