Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0xp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0xp 45604
Description: Combine two generalized sums of nonnegative extended reals into a single generalized sum over the cartesian product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0xp.1 𝑘𝜑
sge0xp.z (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
sge0xp.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0xp.b (𝜑𝐵𝑊)
sge0xp.d ((𝜑𝑗𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0xp (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑧   𝐵,𝑗,𝑘,𝑧   𝑧,𝐶   𝐷,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐷(𝑧)   𝑉(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑊(𝑧,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem sge0xp
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0xp.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 vsnex 5429 . . . . . 6 {𝑗} ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑗} ∈ V)
4 sge0xp.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑊)
53, 4xpexd 7742 . . . 4 (𝜑 → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
65adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
7 disjsnxp 44219 . . . 4 Disj 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
87a1i 11 . . 3 (𝜑Disj 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
9 vex 3477 . . . . . . . 8 𝑗 ∈ V
10 elsnxp 6290 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ V → (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
1211biimpi 215 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
1312adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
14 sge0xp.1 . . . . . . . 8 𝑘𝜑
15 nfv 1916 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝐴
1614, 15nfan 1901 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
17 nfv 1916 . . . . . . 7 𝑘 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)
1816, 17nfan 1901 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
19 nfv 1916 . . . . . 6 𝑘 𝐷 ∈ (0[,]+∞)
20 sge0xp.z . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
21203ad2ant3 1134 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐷 = 𝐶)
22 sge0xp.d . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
23223expa 1117 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
24233adant3 1131 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
2521, 24eqeltrd 2832 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
26253exp 1118 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑘𝐵 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
2726adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → (𝑘𝐵 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
2818, 19, 27rexlimd 3262 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → (∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
2913, 28mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
30293impa 1109 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
311, 6, 8, 30sge0iunmpt 45593 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))))
32 iunxpconst 5748 . . . . . 6 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
3332eqcomi 2740 . . . . 5 (𝐴 × 𝐵) = 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
3433a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
3534mpteq1d 5243 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷) = (𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷))
3635fveq2d 6895 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))
37 nfv 1916 . . . 4 𝑗𝜑
38 nfv 1916 . . . . . 6 𝑧(𝜑𝑗𝐴)
394adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
40 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
41 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩) = (𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)
4240, 41projf1o 44355 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩):𝐵1-1-onto→({𝑗} × 𝐵))
43 eqidd 2732 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩) = (𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩))
44 opeq2 4874 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → ⟨𝑗, 𝑖⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
4544adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑖 = 𝑘) → ⟨𝑗, 𝑖⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
46 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘𝐵)
47 opex 5464 . . . . . . . . 9 𝑗, 𝑘⟩ ∈ V
4847a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ V)
4943, 45, 46, 48fvmptd 7005 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → ((𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)‘𝑘) = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
5049adantlr 712 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → ((𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)‘𝑘) = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
5138, 16, 20, 39, 42, 50, 29sge0f1o 45557 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
5251eqcomd 2737 . . . 4 ((𝜑𝑗𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))
5337, 52mpteq2da 5246 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) = (𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷))))
5453fveq2d 6895 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))))
5531, 36, 543eqtr4rd 2782 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wnf 1784  wcel 2105  wrex 3069  Vcvv 3473  {csn 4628  cop 4634   ciun 4997  Disj wdisj 5113  cmpt 5231   × cxp 5674  cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  +∞cpnf 11252  [,]cicc 13334  Σ^csumge0 45537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-ac2 10464  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-acn 9943  df-ac 10117  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-xadd 13100  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640  df-sumge0 45538
This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  45745
  Copyright terms: Public domain W3C validator