Theorem sge0xp 46857

Description: Combine two generalized sums of nonnegative extended reals into a single generalized sum over the cartesian product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0xp.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0xp.z	⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
sge0xp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0xp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0xp.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0xp	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑧   𝐵,𝑗,𝑘,𝑧   𝑧,𝐶   𝐷,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐷(𝑧)   𝑉(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑊(𝑧,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem sge0xp

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0xp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		vsnex 5377	. . . . . 6 ⊢ {𝑗} ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑗} ∈ V)
4		sge0xp.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
5	3, 4	xpexd 7705	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
7		disjsnxp 45501	. . . 4 ⊢ Disj 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
9		vex 3433	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑗 ∈ V
10		elsnxp 6255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ V → (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
12	11	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
14		sge0xp.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
15		nfv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
16	14, 15	nfan 1901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
17		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)
18	16, 17	nfan 1901	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
19		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐷 ∈ (0[,]+∞)
20		sge0xp.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
21	20	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐷 = 𝐶)
22		sge0xp.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
23	22	3expa 1119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
24	23	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
25	21, 24	eqeltrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
26	25	3exp 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐵 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → (𝑘 ∈ 𝐵 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
28	18, 19, 27	rexlimd 3244	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → (∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
29	13, 28	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
30	29	3impa 1110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
31	1, 6, 8, 30	sge0iunmpt 46846	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))))
32		iunxpconst 5704	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
33	32	eqcomi 2745	. . . . 5 ⊢ (𝐴 × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
35	34	mpteq1d 5175	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷) = (𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷))
36	35	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))
37		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
38		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
39	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
40		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
41		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩) = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)
42	40, 41	projf1o 45626	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩):𝐵–1-1-onto→({𝑗} × 𝐵))
43		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩) = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩))
44		opeq2 4817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ⟨𝑗, 𝑖⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
45	44	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 = 𝑘) → ⟨𝑗, 𝑖⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
46		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵)
47		opex 5416	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ V
48	47	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ V)
49	43, 45, 46, 48	fvmptd 6955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)‘𝑘) = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
50	49	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)‘𝑘) = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
51	38, 16, 20, 39, 42, 50, 29	sge0f1o 46810	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
52	51	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))
53	37, 52	mpteq2da 5177	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷))))
54	53	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))))
55	31, 36, 54	3eqtr4rd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  Vcvv 3429  {csn 4567  ⟨cop 4573  ∪ ciun 4933  Disj wdisj 5052   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  +∞cpnf 11176  [,]cicc 13301  Σ^{^}csumge0 46790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-acn 9866  df-ac 10038  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-xadd 13064  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-sumge0 46791

This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  46998