Theorem sge0xp 47532

Description: Combine two generalized sums of nonnegative extended reals into a single generalized sum over the cartesian product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0xp.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0xp.z	⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
sge0xp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0xp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0xp.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0xp	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑧   𝐵,𝑗,𝑘,𝑧   𝑧,𝐶   𝐷,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑗, 𝑘)   𝐷(𝑧)   𝑉(𝑧, 𝑗, 𝑘)   𝑊(𝑧, 𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem sge0xp

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0xp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		vsnex 5392	. . . . . 6 ⊢ {𝑗} ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑗} ∈ V)
4		sge0xp.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
5	3, 4	xpexd 7765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
7		disjsnxp 46180	. . . 4 ⊢ Disj 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
9		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑗 ∈ V
10		elsnxp 6294	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ V → (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
12	11	bilani 510	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
13		sge0xp.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
14		nfv 1946	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
15	13, 14	nfan 1931	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
16		nfv 1946	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)
17	15, 16	nfan 1931	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
18		nfv 1946	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐷 ∈ (0[,]+∞)
19		sge0xp.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
20	19	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐷 = 𝐶)
21		sge0xp.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
22	21	3expa 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
23	22	3adant3 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
24	20, 23	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
25	24	3exp 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐵 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
26	25	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → (𝑘 ∈ 𝐵 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
27	17, 18, 26	rexlimd 3269	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → (∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
28	12, 27	mpd 16	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
29	28	3impa 1127	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
30	1, 6, 8, 29	sge0iunmpt 47521	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))))
31		iunxpconst 5723	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
32	31	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ (𝐴 × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
34	33	mpteq1d 5194	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷) = (𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷))
35	34	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))
36		nfv 1946	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
37		nfv 1946	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
38	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
39		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
40		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩) = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)
41	39, 40	projf1o 46304	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩):𝐵–1-1-onto→({𝑗} × 𝐵))
42		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩) = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩))
43		opeq2 4840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ⟨𝑗, 𝑖⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
44	43	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 = 𝑘) → ⟨𝑗, 𝑖⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
45		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵)
46		opex 5431	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ V
47	46	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ V)
48	42, 44, 45, 47	fvmptd 7001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)‘𝑘) = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
49	48	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)‘𝑘) = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
50	37, 15, 19, 38, 41, 49, 28	sge0f1o 47485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
51	50	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))
52	36, 51	mpteq2da 5196	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷))))
53	52	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))))
54	30, 35, 53	3eqtr4rd 2806	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  {csn 4584  ⟨cop 4834  ∪ ciun 4950  Disj wdisj 5069   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  +∞cpnf 11343  [,]cicc 13482  Σ^{^}csumge0 47465

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-xadd 13245  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-sum 15859  df-sumge0 47466

This theorem is used by:  ovnsubaddlem1  47673