Theorem sge0xp 47265

Description: Combine two generalized sums of nonnegative extended reals into a single generalized sum over the cartesian product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0xp.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0xp.z	⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
sge0xp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0xp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0xp.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0xp	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑧   𝐵,𝑗,𝑘,𝑧   𝑧,𝐶   𝐷,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑗, 𝑘)   𝐷(𝑧)   𝑉(𝑧, 𝑗, 𝑘)   𝑊(𝑧, 𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem sge0xp

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0xp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		vsnex 5404	. . . . . 6 ⊢ {𝑗} ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑗} ∈ V)
4		sge0xp.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
5	3, 4	xpexd 7754	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
7		disjsnxp 45912	. . . 4 ⊢ Disj 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
9		vex 3457	. . . . . . 7 ⊢ 𝑗 ∈ V
10		elsnxp 6293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ V → (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
12	11	bilani 510	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
13		sge0xp.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
14		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
15	13, 14	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
16		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)
17	15, 16	nfan 1932	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
18		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐷 ∈ (0[,]+∞)
19		sge0xp.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
20	19	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐷 = 𝐶)
21		sge0xp.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
22	21	3expa 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
23	22	3adant3 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
24	20, 23	eqeltrd 2862	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
25	24	3exp 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐵 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
26	25	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → (𝑘 ∈ 𝐵 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
27	17, 18, 26	rexlimd 3271	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → (∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
28	12, 27	mpd 16	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
29	28	3impa 1127	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
30	1, 6, 8, 29	sge0iunmpt 47254	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))))
31		iunxpconst 5732	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
32	31	eqcomi 2771	. . . . 5 ⊢ (𝐴 × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
34	33	mpteq1d 5199	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷) = (𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷))
35	34	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))
36		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
37		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
38	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
39		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
40		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩) = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)
41	39, 40	projf1o 46036	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩):𝐵–1-1-onto→({𝑗} × 𝐵))
42		eqidd 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩) = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩))
43		opeq2 4837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ⟨𝑗, 𝑖⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
44	43	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 = 𝑘) → ⟨𝑗, 𝑖⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
45		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵)
46		opex 5443	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ V
47	46	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ V)
48	42, 44, 45, 47	fvmptd 6998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)‘𝑘) = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
49	48	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)‘𝑘) = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
50	37, 15, 19, 38, 41, 49, 28	sge0f1o 47218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
51	50	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))
52	36, 51	mpteq2da 5201	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷))))
53	52	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))))
54	30, 35, 53	3eqtr4rd 2808	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  Vcvv 3453  {csn 4587  ⟨cop 4593  ∪ ciun 4954  Disj wdisj 5074   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  +∞cpnf 11268  [,]cicc 13405  Σ^{^}csumge0 47198

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-xadd 13168  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-sum 15778  df-sumge0 47199

This theorem is used by:  ovnsubaddlem1  47406