Theorem sge0xp 46434

Description: Combine two generalized sums of nonnegative extended reals into a single generalized sum over the cartesian product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0xp.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0xp.z	⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
sge0xp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0xp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0xp.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0xp	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑧   𝐵,𝑗,𝑘,𝑧   𝑧,𝐶   𝐷,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐷(𝑧)   𝑉(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑊(𝑧,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem sge0xp

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0xp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		vsnex 5392	. . . . . 6 ⊢ {𝑗} ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑗} ∈ V)
4		sge0xp.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
5	3, 4	xpexd 7730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
7		disjsnxp 45071	. . . 4 ⊢ Disj 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
9		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑗 ∈ V
10		elsnxp 6267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ V → (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
12	11	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
14		sge0xp.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
15		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
16	14, 15	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
17		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)
18	16, 17	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
19		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐷 ∈ (0[,]+∞)
20		sge0xp.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
21	20	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐷 = 𝐶)
22		sge0xp.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
23	22	3expa 1118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
24	23	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
25	21, 24	eqeltrd 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
26	25	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐵 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → (𝑘 ∈ 𝐵 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
28	18, 19, 27	rexlimd 3245	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → (∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
29	13, 28	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
30	29	3impa 1109	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
31	1, 6, 8, 30	sge0iunmpt 46423	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))))
32		iunxpconst 5714	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
33	32	eqcomi 2739	. . . . 5 ⊢ (𝐴 × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
35	34	mpteq1d 5200	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷) = (𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷))
36	35	fveq2d 6865	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))
37		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
38		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
39	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
40		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
41		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩) = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)
42	40, 41	projf1o 45198	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩):𝐵–1-1-onto→({𝑗} × 𝐵))
43		eqidd 2731	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩) = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩))
44		opeq2 4841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ⟨𝑗, 𝑖⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
45	44	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 = 𝑘) → ⟨𝑗, 𝑖⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
46		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵)
47		opex 5427	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ V
48	47	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ V)
49	43, 45, 46, 48	fvmptd 6978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)‘𝑘) = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
50	49	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)‘𝑘) = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
51	38, 16, 20, 39, 42, 50, 29	sge0f1o 46387	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
52	51	eqcomd 2736	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))
53	37, 52	mpteq2da 5202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷))))
54	53	fveq2d 6865	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))))
55	31, 36, 54	3eqtr4rd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  Vcvv 3450  {csn 4592  ⟨cop 4598  ∪ ciun 4958  Disj wdisj 5077   ↦ cmpt 5191   × cxp 5639  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  +∞cpnf 11212  [,]cicc 13316  Σ^{^}csumge0 46367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-ac2 10423  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10076  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-xadd 13080  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-sumge0 46368

This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  46575