Theorem sge0xp 47383

Description: Combine two generalized sums of nonnegative extended reals into a single generalized sum over the cartesian product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0xp.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0xp.z	⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
sge0xp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0xp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0xp.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0xp	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑧   𝐵,𝑗,𝑘,𝑧   𝑧,𝐶   𝐷,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑗, 𝑘)   𝐷(𝑧)   𝑉(𝑧, 𝑗, 𝑘)   𝑊(𝑧, 𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem sge0xp

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0xp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		vsnex 5393	. . . . . 6 ⊢ {𝑗} ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑗} ∈ V)
4		sge0xp.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
5	3, 4	xpexd 7754	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
7		disjsnxp 46030	. . . 4 ⊢ Disj 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
9		vex 3455	. . . . . . 7 ⊢ 𝑗 ∈ V
10		elsnxp 6287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ V → (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
12	11	bilani 510	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
13		sge0xp.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
14		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
15	13, 14	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
16		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)
17	15, 16	nfan 1932	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
18		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐷 ∈ (0[,]+∞)
19		sge0xp.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
20	19	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐷 = 𝐶)
21		sge0xp.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
22	21	3expa 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
23	22	3adant3 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
24	20, 23	eqeltrd 2861	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
25	24	3exp 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐵 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
26	25	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → (𝑘 ∈ 𝐵 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
27	17, 18, 26	rexlimd 3270	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → (∃𝑘 ∈ 𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
28	12, 27	mpd 16	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
29	28	3impa 1127	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
30	1, 6, 8, 29	sge0iunmpt 47372	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))))
31		iunxpconst 5724	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
32	31	eqcomi 2770	. . . . 5 ⊢ (𝐴 × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
34	33	mpteq1d 5195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷) = (𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷))
35	34	fveq2d 6881	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))
36		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
37		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
38	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
39		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
40		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩) = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)
41	39, 40	projf1o 46154	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩):𝐵–1-1-onto→({𝑗} × 𝐵))
42		eqidd 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩) = (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩))
43		opeq2 4834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ⟨𝑗, 𝑖⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
44	43	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 = 𝑘) → ⟨𝑗, 𝑖⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
45		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵)
46		opex 5432	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ V
47	46	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ V)
48	42, 44, 45, 47	fvmptd 6993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)‘𝑘) = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
49	48	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)‘𝑘) = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
50	37, 15, 19, 38, 41, 49, 28	sge0f1o 47336	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
51	50	eqcomd 2767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))
52	36, 51	mpteq2da 5197	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷))))
53	52	fveq2d 6881	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))))
54	30, 35, 53	3eqtr4rd 2807	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  Vcvv 3451  {csn 4584  ⟨cop 4590  ∪ ciun 4951  Disj wdisj 5070   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  0cc0 11181  +∞cpnf 11321  [,]cicc 13460  Σ^{^}csumge0 47316

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-xadd 13223  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-sum 15834  df-sumge0 47317

This theorem is used by:  ovnsubaddlem1  47524