Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0xp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0xp 45443
Description: Combine two generalized sums of nonnegative extended reals into a single generalized sum over the cartesian product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0xp.1 𝑘𝜑
sge0xp.z (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
sge0xp.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0xp.b (𝜑𝐵𝑊)
sge0xp.d ((𝜑𝑗𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0xp (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑧   𝐵,𝑗,𝑘,𝑧   𝑧,𝐶   𝐷,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐷(𝑧)   𝑉(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑊(𝑧,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem sge0xp
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0xp.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 vsnex 5428 . . . . . 6 {𝑗} ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑗} ∈ V)
4 sge0xp.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑊)
53, 4xpexd 7740 . . . 4 (𝜑 → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
65adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
7 disjsnxp 44058 . . . 4 Disj 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
87a1i 11 . . 3 (𝜑Disj 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
9 vex 3476 . . . . . . . 8 𝑗 ∈ V
10 elsnxp 6289 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ V → (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
1211biimpi 215 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
1312adantl 480 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
14 sge0xp.1 . . . . . . . 8 𝑘𝜑
15 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝐴
1614, 15nfan 1900 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
17 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑘 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)
1816, 17nfan 1900 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
19 nfv 1915 . . . . . 6 𝑘 𝐷 ∈ (0[,]+∞)
20 sge0xp.z . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
21203ad2ant3 1133 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐷 = 𝐶)
22 sge0xp.d . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
23223expa 1116 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
24233adant3 1130 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
2521, 24eqeltrd 2831 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
26253exp 1117 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑘𝐵 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
2726adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → (𝑘𝐵 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
2818, 19, 27rexlimd 3261 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → (∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
2913, 28mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
30293impa 1108 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
311, 6, 8, 30sge0iunmpt 45432 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))))
32 iunxpconst 5747 . . . . . 6 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
3332eqcomi 2739 . . . . 5 (𝐴 × 𝐵) = 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
3433a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
3534mpteq1d 5242 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷) = (𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷))
3635fveq2d 6894 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))
37 nfv 1915 . . . 4 𝑗𝜑
38 nfv 1915 . . . . . 6 𝑧(𝜑𝑗𝐴)
394adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
40 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
41 eqid 2730 . . . . . . 7 (𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩) = (𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)
4240, 41projf1o 44194 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩):𝐵1-1-onto→({𝑗} × 𝐵))
43 eqidd 2731 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩) = (𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩))
44 opeq2 4873 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → ⟨𝑗, 𝑖⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
4544adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑖 = 𝑘) → ⟨𝑗, 𝑖⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
46 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘𝐵)
47 opex 5463 . . . . . . . . 9 𝑗, 𝑘⟩ ∈ V
4847a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ V)
4943, 45, 46, 48fvmptd 7004 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → ((𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)‘𝑘) = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
5049adantlr 711 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → ((𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)‘𝑘) = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
5138, 16, 20, 39, 42, 50, 29sge0f1o 45396 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
5251eqcomd 2736 . . . 4 ((𝜑𝑗𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))
5337, 52mpteq2da 5245 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) = (𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷))))
5453fveq2d 6894 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))))
5531, 36, 543eqtr4rd 2781 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wnf 1783  wcel 2104  wrex 3068  Vcvv 3472  {csn 4627  cop 4633   ciun 4996  Disj wdisj 5112  cmpt 5230   × cxp 5673  cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  [,]cicc 13331  Σ^csumge0 45376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-sumge0 45377
This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  45584
  Copyright terms: Public domain W3C validator