MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthontrlon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthontrlon 28160
Description: A path between two vertices is a trail between these vertices. (Contributed by AV, 24-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
pthontrlon (๐น(๐ด(PathsOnโ€˜๐บ)๐ต)๐‘ƒ โ†’ ๐น(๐ด(TrailsOnโ€˜๐บ)๐ต)๐‘ƒ)

Proof of Theorem pthontrlon
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 (Vtxโ€˜๐บ) = (Vtxโ€˜๐บ)
21pthsonprop 28157 . 2 (๐น(๐ด(PathsOnโ€˜๐บ)๐ต)๐‘ƒ โ†’ ((๐บ โˆˆ V โˆง ๐ด โˆˆ (Vtxโ€˜๐บ) โˆง ๐ต โˆˆ (Vtxโ€˜๐บ)) โˆง (๐น โˆˆ V โˆง ๐‘ƒ โˆˆ V) โˆง (๐น(๐ด(TrailsOnโ€˜๐บ)๐ต)๐‘ƒ โˆง ๐น(Pathsโ€˜๐บ)๐‘ƒ)))
3 simp3l 1201 . 2 (((๐บ โˆˆ V โˆง ๐ด โˆˆ (Vtxโ€˜๐บ) โˆง ๐ต โˆˆ (Vtxโ€˜๐บ)) โˆง (๐น โˆˆ V โˆง ๐‘ƒ โˆˆ V) โˆง (๐น(๐ด(TrailsOnโ€˜๐บ)๐ต)๐‘ƒ โˆง ๐น(Pathsโ€˜๐บ)๐‘ƒ)) โ†’ ๐น(๐ด(TrailsOnโ€˜๐บ)๐ต)๐‘ƒ)
42, 3syl 17 1 (๐น(๐ด(PathsOnโ€˜๐บ)๐ต)๐‘ƒ โ†’ ๐น(๐ด(TrailsOnโ€˜๐บ)๐ต)๐‘ƒ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1087   โˆˆ wcel 2104  Vcvv 3437   class class class wbr 5081  โ€˜cfv 6458  (class class class)co 7307  Vtxcvtx 27411  TrailsOnctrlson 28104  Pathscpths 28125  PathsOncpthson 28127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-pthson 28131
This theorem is referenced by:  uhgrwkspth  28168  usgr2wlkspth  28172  wspthneq1eq2  28270  conngrv2edg  28604
  Copyright terms: Public domain W3C validator