Theorem conngrv2edg 30487

Description: A vertex in a connected graph with more than one vertex is incident with at least one edge. Formerly part of proof for vdgn0frgrv2 30587. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
conngrv2edg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
conngrv2edg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
conngrv2edg	⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐺   𝑒,𝐼   𝑒,𝑁

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem conngrv2edg

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑝 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		conngrv2edg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6896	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3		simp3 1154	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘𝑉))
4		simp2 1153	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 𝑁 ∈ 𝑉)
5		hashgt12el2 14460	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑁 ≠ 𝑣)
6	2, 3, 4, 5	mp3an2i 1492	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑁 ≠ 𝑣)
7	1	isconngr 30481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ConnGraph → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝))
8		oveq1 7418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏))
9	8	breqd 5124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝))
10	9	2exbidv 1951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝))
11		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑣 → (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣))
12	11	breqd 5124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑣 → (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
13	12	2exbidv 1951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑣 → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
14	10, 13	rspc2v 3601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
15	14	ad2ant2r 759	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
16		pthontrlon 30037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → 𝑓(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑣)𝑝)
17		trlsonwlkon 29998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → 𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝)
18		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣))) → 𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝)
19		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → 𝑁 ≠ 𝑣)
20		wlkon2n0 29955	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣) → (♯‘𝑓) ≠ 0)
21	19, 20	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣))) → (♯‘𝑓) ≠ 0)
22	18, 21	jca 520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣))) → (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) ≠ 0))
23	22	ex 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) ≠ 0)))
24	16, 17, 23	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) ≠ 0)))
25		conngrv2edg.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
26	25	wlkonl1iedg 29954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)
27	24, 26	syl6com 38	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
28	27	exlimdvv 1961	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
29	15, 28	syldc 49	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
30	7, 29	biimtrdi 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ConnGraph → (𝐺 ∈ ConnGraph → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)))
31	30	pm2.43i 53	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ConnGraph → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
32	31	expd 420	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ ConnGraph → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)))
33	32	3impib 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
34	33	expd 420	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑁 ≠ 𝑣 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)))
35	34	rexlimdv 3170	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑁 ≠ 𝑣 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
36	6, 35	mpd 16	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  Vcvv 3463   class class class wbr 5113  ran crn 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11100  1c1 11101   < clt 11243  ♯chash 14366  Vtxcvtx 29287  iEdgciedg 29288  WalksOncwlkson 29888  TrailsOnctrlson 29980  PathsOncpthson 30002  ConnGraphcconngr 30478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-wlks 29890  df-wlkson 29891  df-trlson 29982  df-pthson 30006  df-conngr 30479

This theorem is referenced by:  vdn0conngrumgrv2  30488