MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  conngrv2edg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem conngrv2edg 30227
Description: A vertex in a connected graph with more than one vertex is incident with at least one edge. Formerly part of proof for vdgn0frgrv2 30327. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
conngrv2edg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
conngrv2edg.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
conngrv2edg ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁𝑒)
Distinct variable groups:   𝑒,𝐺   𝑒,𝐼   𝑒,𝑁
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem conngrv2edg
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑝 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 conngrv2edg.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21fvexi 6934 . . 3 𝑉 ∈ V
3 simp3 1138 . . 3 ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘𝑉))
4 simp2 1137 . . 3 ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 𝑁𝑉)
5 hashgt12el2 14472 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑁𝑉) → ∃𝑣𝑉 𝑁𝑣)
62, 3, 4, 5mp3an2i 1466 . 2 ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑣𝑉 𝑁𝑣)
71isconngr 30221 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ConnGraph → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉𝑓𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝))
8 oveq1 7455 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑁 → (𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏))
98breqd 5177 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑁 → (𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝))
1092exbidv 1923 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑁 → (∃𝑓𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝))
11 oveq2 7456 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑣 → (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣))
1211breqd 5177 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑣 → (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
13122exbidv 1923 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑣 → (∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
1410, 13rspc2v 3646 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝑉𝑣𝑉) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉𝑓𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 → ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
1514ad2ant2r 746 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣𝑉𝑁𝑣)) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉𝑓𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 → ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
16 pthontrlon 29783 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝𝑓(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑣)𝑝)
17 trlsonwlkon 29746 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑣)𝑝𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝)
18 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ ((𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣𝑉𝑁𝑣))) → 𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝)
19 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣𝑉𝑁𝑣)) → 𝑁𝑣)
20 wlkon2n0 29702 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝𝑁𝑣) → (♯‘𝑓) ≠ 0)
2119, 20sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ ((𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣𝑉𝑁𝑣))) → (♯‘𝑓) ≠ 0)
2218, 21jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ ((𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣𝑉𝑁𝑣))) → (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) ≠ 0))
2322ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → (((𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣𝑉𝑁𝑣)) → (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) ≠ 0)))
2416, 17, 233syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → (((𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣𝑉𝑁𝑣)) → (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) ≠ 0)))
25 conngrv2edg.i . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2625wlkonl1iedg 29701 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁𝑒)
2724, 26syl6com 37 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣𝑉𝑁𝑣)) → (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁𝑒))
2827exlimdvv 1933 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣𝑉𝑁𝑣)) → (∃𝑓𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁𝑒))
2915, 28syldc 48 . . . . . . . 8 (∀𝑎𝑉𝑏𝑉𝑓𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 → (((𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣𝑉𝑁𝑣)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁𝑒))
307, 29biimtrdi 253 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ ConnGraph → (𝐺 ∈ ConnGraph → (((𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣𝑉𝑁𝑣)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁𝑒)))
3130pm2.43i 52 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ConnGraph → (((𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣𝑉𝑁𝑣)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁𝑒))
3231expd 415 . . . . 5 (𝐺 ∈ ConnGraph → ((𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((𝑣𝑉𝑁𝑣) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁𝑒)))
33323impib 1116 . . . 4 ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((𝑣𝑉𝑁𝑣) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁𝑒))
3433expd 415 . . 3 ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (𝑣𝑉 → (𝑁𝑣 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁𝑒)))
3534rexlimdv 3159 . 2 ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (∃𝑣𝑉 𝑁𝑣 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁𝑒))
366, 35mpd 15 1 ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wex 1777  wcel 2108  wne 2946  wral 3067  wrex 3076  Vcvv 3488   class class class wbr 5166  ran crn 5701  cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   < clt 11324  chash 14379  Vtxcvtx 29031  iEdgciedg 29032  WalksOncwlkson 29633  TrailsOnctrlson 29727  PathsOncpthson 29750  ConnGraphcconngr 30218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-wlks 29635  df-wlkson 29636  df-trlson 29729  df-pthson 29754  df-conngr 30219
This theorem is referenced by:  vdn0conngrumgrv2  30228
  Copyright terms: Public domain W3C validator