Theorem conngrv2edg 27974

Description: A vertex in a connected graph with more than one vertex is incident with at least one edge. Formerly part of proof for vdgn0frgrv2 28074. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
conngrv2edg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
conngrv2edg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
conngrv2edg	⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐺   𝑒,𝐼   𝑒,𝑁

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem conngrv2edg

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑝 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		conngrv2edg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6684	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3		simp3 1134	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘𝑉))
4		simp2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 𝑁 ∈ 𝑉)
5		hashgt12el2 13785	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑁 ≠ 𝑣)
6	2, 3, 4, 5	mp3an2i 1462	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑁 ≠ 𝑣)
7	1	isconngr 27968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ConnGraph → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝))
8		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏))
9	8	breqd 5077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝))
10	9	2exbidv 1925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝))
11		oveq2 7164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑣 → (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣))
12	11	breqd 5077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑣 → (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
13	12	2exbidv 1925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑣 → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
14	10, 13	rspc2v 3633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
15	14	ad2ant2r 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
16		pthontrlon 27528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → 𝑓(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑣)𝑝)
17		trlsonwlkon 27491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → 𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝)
18		simpl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣))) → 𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝)
19		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → 𝑁 ≠ 𝑣)
20		wlkon2n0 27448	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣) → (♯‘𝑓) ≠ 0)
21	19, 20	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣))) → (♯‘𝑓) ≠ 0)
22	18, 21	jca 514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣))) → (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) ≠ 0))
23	22	ex 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) ≠ 0)))
24	16, 17, 23	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) ≠ 0)))
25		conngrv2edg.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
26	25	wlkonl1iedg 27447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)
27	24, 26	syl6com 37	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
28	27	exlimdvv 1935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
29	15, 28	syldc 48	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
30	7, 29	syl6bi 255	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ConnGraph → (𝐺 ∈ ConnGraph → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)))
31	30	pm2.43i 52	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ConnGraph → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
32	31	expd 418	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ ConnGraph → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)))
33	32	3impib 1112	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
34	33	expd 418	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑁 ≠ 𝑣 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)))
35	34	rexlimdv 3283	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑁 ≠ 𝑣 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
36	6, 35	mpd 15	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  Vcvv 3494   class class class wbr 5066  ran crn 5556  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537  1c1 10538   < clt 10675  ♯chash 13691  Vtxcvtx 26781  iEdgciedg 26782  WalksOncwlkson 27379  TrailsOnctrlson 27473  PathsOncpthson 27495  ConnGraphcconngr 27965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-hash 13692  df-word 13863  df-wlks 27381  df-wlkson 27382  df-trls 27474  df-trlson 27475  df-pths 27497  df-pthson 27499  df-conngr 27966

This theorem is referenced by:  vdn0conngrumgrv2  27975