Theorem conngrv2edg 30678

Description: A vertex in a connected graph with more than one vertex is incident with at least one edge. Formerly part of proof for vdgn0frgrv2 30778. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
conngrv2edg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
conngrv2edg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
conngrv2edg	⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐺   𝑒,𝐼   𝑒,𝑁

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem conngrv2edg

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑝 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		conngrv2edg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6893	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘𝑉))
4		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 𝑁 ∈ 𝑉)
5		hashgt12el2 14491	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑁 ≠ 𝑣)
6	2, 3, 4, 5	mp3an2i 1495	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑁 ≠ 𝑣)
7	1	isconngr 30672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ConnGraph → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝))
8		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏))
9	8	breqd 5114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝))
10	9	2exbidv 1957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝))
11		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑣 → (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣))
12	11	breqd 5114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑣 → (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
13	12	2exbidv 1957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑣 → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
14	10, 13	rspc2v 3587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
15	14	ad2ant2r 760	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
16		pthontrlon 30215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → 𝑓(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑣)𝑝)
17		trlsonwlkon 30174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → 𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝)
18		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣))) → 𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝)
19		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → 𝑁 ≠ 𝑣)
20		wlkon2n0 30127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣) → (♯‘𝑓) ≠ 0)
21	19, 20	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣))) → (♯‘𝑓) ≠ 0)
22	18, 21	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣))) → (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) ≠ 0))
23	22	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) ≠ 0)))
24	16, 17, 23	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) ≠ 0)))
25		conngrv2edg.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
26	25	wlkonl1iedg 30126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)
27	24, 26	syl6com 38	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
28	27	exlimdvv 1967	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
29	15, 28	syldc 49	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
30	7, 29	biimtrdi 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ConnGraph → (𝐺 ∈ ConnGraph → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)))
31	30	pm2.43i 53	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ConnGraph → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
32	31	expd 421	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ ConnGraph → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)))
33	32	3impib 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
34	33	expd 421	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑁 ≠ 𝑣 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)))
35	34	rexlimdv 3161	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑁 ≠ 𝑣 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
36	6, 35	mpd 16	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   class class class wbr 5103  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11127  1c1 11128   < clt 11270  ♯chash 14397  Vtxcvtx 29456  iEdgciedg 29457  WalksOncwlkson 30060  TrailsOnctrlson 30156  PathsOncpthson 30179  ConnGraphcconngr 30669

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-word 14582  df-wlks 30062  df-wlkson 30063  df-trlson 30158  df-pthson 30183  df-conngr 30670

This theorem is used by:  vdn0conngrumgrv2  30679