Theorem conngrv2edg 30219

Description: A vertex in a connected graph with more than one vertex is incident with at least one edge. Formerly part of proof for vdgn0frgrv2 30319. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
conngrv2edg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
conngrv2edg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
conngrv2edg	⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐺   𝑒,𝐼   𝑒,𝑁

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem conngrv2edg

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑝 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		conngrv2edg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6846	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘𝑉))
4		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 𝑁 ∈ 𝑉)
5		hashgt12el2 14344	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑁 ≠ 𝑣)
6	2, 3, 4, 5	mp3an2i 1468	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑁 ≠ 𝑣)
7	1	isconngr 30213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ConnGraph → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝))
8		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏))
9	8	breqd 5107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝))
10	9	2exbidv 1925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝))
11		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑣 → (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏) = (𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣))
12	11	breqd 5107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑣 → (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
13	12	2exbidv 1925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑣 → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
14	10, 13	rspc2v 3585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
15	14	ad2ant2r 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝))
16		pthontrlon 29769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → 𝑓(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑣)𝑝)
17		trlsonwlkon 29730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(𝑁(TrailsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → 𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝)
18		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣))) → 𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝)
19		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → 𝑁 ≠ 𝑣)
20		wlkon2n0 29687	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣) → (♯‘𝑓) ≠ 0)
21	19, 20	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣))) → (♯‘𝑓) ≠ 0)
22	18, 21	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣))) → (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) ≠ 0))
23	22	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) ≠ 0)))
24	16, 17, 23	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) ≠ 0)))
25		conngrv2edg.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
26	25	wlkonl1iedg 29686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓(𝑁(WalksOn‘𝐺)𝑣)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)
27	24, 26	syl6com 37	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
28	27	exlimdvv 1935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑁(PathsOn‘𝐺)𝑣)𝑝 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
29	15, 28	syldc 48	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑎(PathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
30	7, 29	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ConnGraph → (𝐺 ∈ ConnGraph → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)))
31	30	pm2.43i 52	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ConnGraph → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
32	31	expd 415	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ ConnGraph → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)))
33	32	3impib 1116	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
34	33	expd 415	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑁 ≠ 𝑣 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)))
35	34	rexlimdv 3133	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑁 ≠ 𝑣 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
36	6, 35	mpd 15	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  Vcvv 3438   class class class wbr 5096  ran crn 5623  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  1c1 11025   < clt 11164  ♯chash 14251  Vtxcvtx 29018  iEdgciedg 29019  WalksOncwlkson 29620  TrailsOnctrlson 29712  PathsOncpthson 29734  ConnGraphcconngr 30210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-hash 14252  df-word 14435  df-wlks 29622  df-wlkson 29623  df-trlson 29714  df-pthson 29738  df-conngr 30211

This theorem is referenced by:  vdn0conngrumgrv2  30220