MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  conngrv2edg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem conngrv2edg 29486
Description: A vertex in a connected graph with more than one vertex is incident with at least one edge. Formerly part of proof for vdgn0frgrv2 29586. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
conngrv2edg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
conngrv2edg.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
conngrv2edg ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)
Distinct variable groups:   𝑒,𝐺   𝑒,𝐼   𝑒,𝑁
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem conngrv2edg
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑓 𝑝 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 conngrv2edg.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
21fvexi 6905 . . 3 𝑉 ∈ V
3 simp3 1138 . . 3 ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ 1 < (β™―β€˜π‘‰))
4 simp2 1137 . . 3 ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ 𝑁 ∈ 𝑉)
5 hashgt12el2 14385 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝑁 β‰  𝑣)
62, 3, 4, 5mp3an2i 1466 . 2 ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝑁 β‰  𝑣)
71isconngr 29480 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ConnGraph β†’ (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘Ž(PathsOnβ€˜πΊ)𝑏)𝑝))
8 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (π‘Ž(PathsOnβ€˜πΊ)𝑏) = (𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑏))
98breqd 5159 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝑓(π‘Ž(PathsOnβ€˜πΊ)𝑏)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑏)𝑝))
1092exbidv 1927 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘Ž(PathsOnβ€˜πΊ)𝑏)𝑝 ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑏)𝑝))
11 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑣 β†’ (𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑏) = (𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑣))
1211breqd 5159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑣 β†’ (𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑏)𝑝 ↔ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑣)𝑝))
13122exbidv 1927 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑣 β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑏)𝑝 ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑣)𝑝))
1410, 13rspc2v 3622 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘Ž(PathsOnβ€˜πΊ)𝑏)𝑝 β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑣)𝑝))
1514ad2ant2r 745 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 β‰  𝑣)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘Ž(PathsOnβ€˜πΊ)𝑏)𝑝 β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑣)𝑝))
16 pthontrlon 29042 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑣)𝑝 β†’ 𝑓(𝑁(TrailsOnβ€˜πΊ)𝑣)𝑝)
17 trlsonwlkon 29005 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓(𝑁(TrailsOnβ€˜πΊ)𝑣)𝑝 β†’ 𝑓(𝑁(WalksOnβ€˜πΊ)𝑣)𝑝)
18 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓(𝑁(WalksOnβ€˜πΊ)𝑣)𝑝 ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 β‰  𝑣))) β†’ 𝑓(𝑁(WalksOnβ€˜πΊ)𝑣)𝑝)
19 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 β‰  𝑣)) β†’ 𝑁 β‰  𝑣)
20 wlkon2n0 28961 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓(𝑁(WalksOnβ€˜πΊ)𝑣)𝑝 ∧ 𝑁 β‰  𝑣) β†’ (β™―β€˜π‘“) β‰  0)
2119, 20sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓(𝑁(WalksOnβ€˜πΊ)𝑣)𝑝 ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 β‰  𝑣))) β†’ (β™―β€˜π‘“) β‰  0)
2218, 21jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓(𝑁(WalksOnβ€˜πΊ)𝑣)𝑝 ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 β‰  𝑣))) β†’ (𝑓(𝑁(WalksOnβ€˜πΊ)𝑣)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) β‰  0))
2322ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓(𝑁(WalksOnβ€˜πΊ)𝑣)𝑝 β†’ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 β‰  𝑣)) β†’ (𝑓(𝑁(WalksOnβ€˜πΊ)𝑣)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) β‰  0)))
2416, 17, 233syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑣)𝑝 β†’ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 β‰  𝑣)) β†’ (𝑓(𝑁(WalksOnβ€˜πΊ)𝑣)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) β‰  0)))
25 conngrv2edg.i . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
2625wlkonl1iedg 28960 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓(𝑁(WalksOnβ€˜πΊ)𝑣)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) β‰  0) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)
2724, 26syl6com 37 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 β‰  𝑣)) β†’ (𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑣)𝑝 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
2827exlimdvv 1937 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 β‰  𝑣)) β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(𝑁(PathsOnβ€˜πΊ)𝑣)𝑝 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
2915, 28syldc 48 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘Ž(PathsOnβ€˜πΊ)𝑏)𝑝 β†’ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 β‰  𝑣)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
307, 29syl6bi 252 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ ConnGraph β†’ (𝐺 ∈ ConnGraph β†’ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 β‰  𝑣)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)))
3130pm2.43i 52 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ConnGraph β†’ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 β‰  𝑣)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
3231expd 416 . . . . 5 (𝐺 ∈ ConnGraph β†’ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 β‰  𝑣) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)))
33323impib 1116 . . . 4 ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 β‰  𝑣) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
3433expd 416 . . 3 ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (𝑁 β‰  𝑣 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)))
3534rexlimdv 3153 . 2 ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝑁 β‰  𝑣 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒))
366, 35mpd 15 1 ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran 𝐼 𝑁 ∈ 𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   class class class wbr 5148  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11250  β™―chash 14292  Vtxcvtx 28294  iEdgciedg 28295  WalksOncwlkson 28892  TrailsOnctrlson 28986  PathsOncpthson 29009  ConnGraphcconngr 29477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-hash 14293  df-word 14467  df-wlks 28894  df-wlkson 28895  df-trlson 28988  df-pthson 29013  df-conngr 29478
This theorem is referenced by:  vdn0conngrumgrv2  29487
  Copyright terms: Public domain W3C validator