Theorem usgr2wlkspth 29836

Description: In a simple graph, any walk of length 2 between two different vertices is a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr2wlkspth	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ 𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃))

Proof of Theorem usgr2wlkspth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl31 1256	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
3		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)
4	2, 3	neeq12d 2994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
5	4	bicomd 223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
6	5	3anbi3d 1445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))))
7		usgr2wlkspthlem1 29834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → Fun ◡𝐹)
8	7	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → Fun ◡𝐹))
9	8	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → Fun ◡𝐹))
10	6, 9	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun ◡𝐹))
11	10	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun ◡𝐹))
12	11	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → Fun ◡𝐹)
13		istrl 29772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))
14	1, 12, 13	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
15		usgr2wlkspthlem2 29835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → Fun ◡𝑃)
16	15	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → Fun ◡𝑃))
17	16	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → Fun ◡𝑃))
18	6, 17	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun ◡𝑃))
19	18	3ad2ant3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun ◡𝑃))
20	19	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → Fun ◡𝑃)
21		isspth 29799	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
22	14, 20, 21	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
23		3simpc 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵))
24	23	3ad2ant3 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵))
26		3anass 1095	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
27	22, 25, 26	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵))
28		3simpa 1149	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
30		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
31	30	isspthonpth 29826	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
32	29, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
33	27, 32	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
34	33	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃))
35	30	wlkonprop 29734	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
36		3simpc 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
37	36	3anim1i 1153	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
38	35, 37	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
39	34, 38	syl11 33	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃))
40		spthonpthon 29828	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝐹(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
41		pthontrlon 29824	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
42		trlsonwlkon 29785	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
43	40, 41, 42	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
44	39, 43	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ 𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3441   class class class wbr 5099  ^◡ccnv 5624  Fun wfun 6487  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  0cc0 11030  2c2 12204  ♯chash 14257  Vtxcvtx 29073  USGraphcusgr 29226  Walkscwlks 29674  WalksOncwlkson 29675  Trailsctrls 29766  TrailsOnctrlson 29767  SPathscspths 29788  PathsOncpthson 29789  SPathsOncspthson 29790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-hash 14258  df-word 14441  df-concat 14498  df-s1 14524  df-s2 14775  df-s3 14776  df-edg 29125  df-uhgr 29135  df-upgr 29159  df-umgr 29160  df-uspgr 29227  df-usgr 29228  df-wlks 29677  df-wlkson 29678  df-trls 29768  df-trlson 29769  df-pths 29791  df-spths 29792  df-pthson 29793  df-spthson 29794

This theorem is referenced by:  usgr2trlspth  29838  wpthswwlks2on  30041