Theorem usgr2wlkspth 29779

Description: In a simple graph, any walk of length 2 between two different vertices is a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr2wlkspth	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ 𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃))

Proof of Theorem usgr2wlkspth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl31 1255	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
3		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)
4	2, 3	neeq12d 3002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
5	4	bicomd 223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
6	5	3anbi3d 1444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))))
7		usgr2wlkspthlem1 29777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → Fun ◡𝐹)
8	7	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → Fun ◡𝐹))
9	8	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → Fun ◡𝐹))
10	6, 9	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun ◡𝐹))
11	10	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun ◡𝐹))
12	11	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → Fun ◡𝐹)
13		istrl 29714	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))
14	1, 12, 13	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
15		usgr2wlkspthlem2 29778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → Fun ◡𝑃)
16	15	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → Fun ◡𝑃))
17	16	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → Fun ◡𝑃))
18	6, 17	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun ◡𝑃))
19	18	3ad2ant3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun ◡𝑃))
20	19	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → Fun ◡𝑃)
21		isspth 29742	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
22	14, 20, 21	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
23		3simpc 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵))
24	23	3ad2ant3 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵))
26		3anass 1095	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
27	22, 25, 26	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵))
28		3simpa 1149	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
30		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
31	30	isspthonpth 29769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
32	29, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
33	27, 32	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
34	33	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃))
35	30	wlkonprop 29676	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
36		3simpc 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
37	36	3anim1i 1153	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
38	35, 37	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
39	34, 38	syl11 33	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃))
40		spthonpthon 29771	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝐹(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
41		pthontrlon 29767	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
42		trlsonwlkon 29728	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
43	40, 41, 42	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
44	39, 43	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ 𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  ^◡ccnv 5684  Fun wfun 6555  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  2c2 12321  ♯chash 14369  Vtxcvtx 29013  USGraphcusgr 29166  Walkscwlks 29614  WalksOncwlkson 29615  Trailsctrls 29708  TrailsOnctrlson 29709  SPathscspths 29731  PathsOncpthson 29732  SPathsOncspthson 29733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-edg 29065  df-uhgr 29075  df-upgr 29099  df-umgr 29100  df-uspgr 29167  df-usgr 29168  df-wlks 29617  df-wlkson 29618  df-trls 29710  df-trlson 29711  df-pths 29734  df-spths 29735  df-pthson 29736  df-spthson 29737

This theorem is referenced by:  usgr2trlspth  29781  wpthswwlks2on  29981