MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wspthneq1eq2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wspthneq1eq2 29114
Description: Two simple paths with identical sequences of vertices start and end at the same vertices. (Contributed by AV, 14-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
wspthneq1eq2 ((𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐡) ∧ 𝑃 ∈ (𝐢(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐷)) β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷))
Proof of Theorem wspthneq1eq2
Dummy variables 𝑓 β„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
21wspthnonp 29113 . 2 (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐡) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃)))
31wspthnonp 29113 . 2 (𝑃 ∈ (𝐢(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐷) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐷 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐢(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐷) ∧ βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)))
4 simp3r 1203 . . 3 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃)) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃)
5 simp3r 1203 . . 3 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐷 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐢(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐷) ∧ βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)) β†’ βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
6 spthonpthon 29008 . . . . . . . . . 10 (𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ 𝑓(𝐴(PathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃)
7 spthonpthon 29008 . . . . . . . . . 10 (β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 β†’ β„Ž(𝐢(PathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
86, 7anim12i 614 . . . . . . . . 9 ((𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃) β†’ (𝑓(𝐴(PathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(PathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃))
9 pthontrlon 29004 . . . . . . . . . 10 (𝑓(𝐴(PathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ 𝑓(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃)
10 pthontrlon 29004 . . . . . . . . . 10 (β„Ž(𝐢(PathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 β†’ β„Ž(𝐢(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
11 trlsonwlkon 28967 . . . . . . . . . . 11 (𝑓(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ 𝑓(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃)
12 trlsonwlkon 28967 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž(𝐢(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 β†’ β„Ž(𝐢(WalksOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
1311, 12anim12i 614 . . . . . . . . . 10 ((𝑓(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃) β†’ (𝑓(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(WalksOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃))
149, 10, 13syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((𝑓(𝐴(PathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(PathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃) β†’ (𝑓(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(WalksOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃))
15 wlksoneq1eq2 28921 . . . . . . . . 9 ((𝑓(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(WalksOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃) β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷))
168, 14, 153syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃) β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷))
1716expcom 415 . . . . . . 7 (β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 β†’ (𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷)))
1817exlimiv 1934 . . . . . 6 (βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 β†’ (𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷)))
1918com12 32 . . . . 5 (𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ (βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷)))
2019exlimiv 1934 . . . 4 (βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ (βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷)))
2120imp 408 . . 3 ((βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃) β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷))
224, 5, 21syl2an 597 . 2 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃)) ∧ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐷 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐢(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐷) ∧ βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃))) β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷))
232, 3, 22syl2an 597 1 ((𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐡) ∧ 𝑃 ∈ (𝐢(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐷)) β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„•0cn0 12472  Vtxcvtx 28256  WalksOncwlkson 28854  TrailsOnctrlson 28948  PathsOncpthson 28971  SPathsOncspthson 28972   WWalksNOn cwwlksnon 29081   WSPathsNOn cwwspthsnon 29083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-wlks 28856  df-wlkson 28857  df-trls 28949  df-trlson 28950  df-pths 28973  df-spths 28974  df-pthson 28975  df-spthson 28976  df-wwlksnon 29086  df-wspthsnon 29088
This theorem is referenced by:  2wspdisj  29216  2wspiundisj  29217
  Copyright terms: Public domain W3C validator