Theorem wspthneq1eq2 29946

Description: Two simple paths with identical sequences of vertices start and end at the same vertices. (Contributed by AV, 14-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wspthneq1eq2	⊢ ((𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem wspthneq1eq2

Dummy variables 𝑓 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wspthnonp 29945	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)))
3	1	wspthnonp 29945	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐷) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐷) ∧ ∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)))
4		simp3r 1209	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)) → ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
5		simp3r 1209	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐷) ∧ ∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)) → ∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)
6		spthonpthon 29837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
7		spthonpthon 29837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → ℎ(𝐶(PathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)
8	6, 7	anim12i 619	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(PathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃))
9		pthontrlon 29833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
10		pthontrlon 29833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ(𝐶(PathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → ℎ(𝐶(TrailsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)
11		trlsonwlkon 29794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
12		trlsonwlkon 29794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ(𝐶(TrailsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → ℎ(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃)
13	11, 12	anim12i 619	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(TrailsOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃))
14	9, 10, 13	syl2an 602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(PathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃))
15		wlksoneq1eq2 29749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
16	8, 14, 15	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
17	16	expcom 414	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → (𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
18	17	exlimiv 1937	. . . . . 6 ⊢ (∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → (𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
19	18	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
20	19	exlimiv 1937	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
21	20	imp 407	. . 3 ⊢ ((∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
22	4, 5, 21	syl2an 602	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐷) ∧ ∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃))) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
23	2, 3, 22	syl2an 602	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℕ₀cn0 12428  Vtxcvtx 29083  WalksOncwlkson 29684  TrailsOnctrlson 29776  PathsOncpthson 29798  SPathsOncspthson 29799   WWalksNOn cwwlksnon 29913   WSPathsNOn cwwspthsnon 29915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-ifp 1069  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-wlks 29686  df-wlkson 29687  df-trls 29777  df-trlson 29778  df-pths 29800  df-spths 29801  df-pthson 29802  df-spthson 29803  df-wwlksnon 29918  df-wspthsnon 29920

This theorem is referenced by:  2wspdisj  30051  2wspiundisj  30052