Theorem wspthneq1eq2 29797

Description: Two simple paths with identical sequences of vertices start and end at the same vertices. (Contributed by AV, 14-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wspthneq1eq2	⊢ ((𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem wspthneq1eq2

Dummy variables 𝑓 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wspthnonp 29796	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)))
3	1	wspthnonp 29796	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐷) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐷) ∧ ∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)))
4		simp3r 1203	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)) → ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
5		simp3r 1203	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐷) ∧ ∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)) → ∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)
6		spthonpthon 29688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
7		spthonpthon 29688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → ℎ(𝐶(PathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)
8	6, 7	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(PathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃))
9		pthontrlon 29684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
10		pthontrlon 29684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ(𝐶(PathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → ℎ(𝐶(TrailsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)
11		trlsonwlkon 29645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
12		trlsonwlkon 29645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ(𝐶(TrailsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → ℎ(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃)
13	11, 12	anim12i 613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(TrailsOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃))
14	9, 10, 13	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(PathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃))
15		wlksoneq1eq2 29599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
16	8, 14, 15	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
17	16	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → (𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
18	17	exlimiv 1930	. . . . . 6 ⊢ (∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → (𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
19	18	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
20	19	exlimiv 1930	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
21	20	imp 406	. . 3 ⊢ ((∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
22	4, 5, 21	syl2an 596	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐷) ∧ ∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃))) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
23	2, 3, 22	syl2an 596	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℕ₀cn0 12449  Vtxcvtx 28930  WalksOncwlkson 29532  TrailsOnctrlson 29626  PathsOncpthson 29649  SPathsOncspthson 29650   WWalksNOn cwwlksnon 29764   WSPathsNOn cwwspthsnon 29766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-wlks 29534  df-wlkson 29535  df-trls 29627  df-trlson 29628  df-pths 29651  df-spths 29652  df-pthson 29653  df-spthson 29654  df-wwlksnon 29769  df-wspthsnon 29771

This theorem is referenced by:  2wspdisj  29899  2wspiundisj  29900