Theorem wspthneq1eq2 30442

Description: Two simple paths with identical sequences of vertices start and end at the same vertices. (Contributed by AV, 14-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wspthneq1eq2	⊢ ((𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem wspthneq1eq2

Dummy variables 𝑓 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wspthnonp 30441	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)))
3	1	wspthnonp 30441	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐷) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐷) ∧ ∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)))
4		simp3r 1221	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)) → ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
5		simp3r 1221	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐷) ∧ ∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)) → ∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)
6		spthonpthon 30330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
7		spthonpthon 30330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → ℎ(𝐶(PathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)
8	6, 7	anim12i 625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(PathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃))
9		pthontrlon 30326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
10		pthontrlon 30326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ(𝐶(PathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → ℎ(𝐶(TrailsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)
11		trlsonwlkon 30285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
12		trlsonwlkon 30285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ(𝐶(TrailsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → ℎ(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃)
13	11, 12	anim12i 625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(TrailsOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃))
14	9, 10, 13	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(PathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃))
15		wlksoneq1eq2 30236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
16	8, 14, 15	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
17	16	expcom 419	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → (𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
18	17	exlimiv 1963	. . . . . 6 ⊢ (∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → (𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
19	18	com12 33	. . . . 5 ⊢ (𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
20	19	exlimiv 1963	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
21	20	imp 412	. . 3 ⊢ ((∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
22	4, 5, 21	syl2an 608	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐷) ∧ ∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃))) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
23	2, 3, 22	syl2an 608	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℕ₀cn0 12599  Vtxcvtx 29567  WalksOncwlkson 30171  TrailsOnctrlson 30267  PathsOncpthson 30290  SPathsOncspthson 30291   WWalksNOn cwwlksnon 30409   WSPathsNOn cwwspthsnon 30411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-hash 14468  df-word 14652  df-wlks 30173  df-wlkson 30174  df-trls 30268  df-trlson 30269  df-pths 30292  df-spths 30293  df-pthson 30294  df-spthson 30295  df-wwlksnon 30414  df-wspthsnon 30416

This theorem is used by:  2wspdisj  30547  2wspiundisj  30548