MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wspthneq1eq2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wspthneq1eq2 29645
Description: Two simple paths with identical sequences of vertices start and end at the same vertices. (Contributed by AV, 14-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
wspthneq1eq2 ((𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐡) ∧ 𝑃 ∈ (𝐢(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐷)) β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷))
Proof of Theorem wspthneq1eq2
Dummy variables 𝑓 β„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . 3 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
21wspthnonp 29644 . 2 (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐡) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃)))
31wspthnonp 29644 . 2 (𝑃 ∈ (𝐢(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐷) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐷 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐢(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐷) ∧ βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)))
4 simp3r 1200 . . 3 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃)) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃)
5 simp3r 1200 . . 3 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐷 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐢(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐷) ∧ βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)) β†’ βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
6 spthonpthon 29539 . . . . . . . . . 10 (𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ 𝑓(𝐴(PathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃)
7 spthonpthon 29539 . . . . . . . . . 10 (β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 β†’ β„Ž(𝐢(PathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
86, 7anim12i 612 . . . . . . . . 9 ((𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃) β†’ (𝑓(𝐴(PathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(PathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃))
9 pthontrlon 29535 . . . . . . . . . 10 (𝑓(𝐴(PathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ 𝑓(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃)
10 pthontrlon 29535 . . . . . . . . . 10 (β„Ž(𝐢(PathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 β†’ β„Ž(𝐢(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
11 trlsonwlkon 29498 . . . . . . . . . . 11 (𝑓(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ 𝑓(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃)
12 trlsonwlkon 29498 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž(𝐢(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 β†’ β„Ž(𝐢(WalksOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
1311, 12anim12i 612 . . . . . . . . . 10 ((𝑓(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃) β†’ (𝑓(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(WalksOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃))
149, 10, 13syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((𝑓(𝐴(PathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(PathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃) β†’ (𝑓(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(WalksOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃))
15 wlksoneq1eq2 29452 . . . . . . . . 9 ((𝑓(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(WalksOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃) β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷))
168, 14, 153syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃) β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷))
1716expcom 413 . . . . . . 7 (β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 β†’ (𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷)))
1817exlimiv 1926 . . . . . 6 (βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 β†’ (𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷)))
1918com12 32 . . . . 5 (𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ (βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷)))
2019exlimiv 1926 . . . 4 (βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ (βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷)))
2120imp 406 . . 3 ((βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃) β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷))
224, 5, 21syl2an 595 . 2 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃)) ∧ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐷 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐢(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐷) ∧ βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃))) β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷))
232, 3, 22syl2an 595 1 ((𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐡) ∧ 𝑃 ∈ (𝐢(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐷)) β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„•0cn0 12488  Vtxcvtx 28783  WalksOncwlkson 29385  TrailsOnctrlson 29479  PathsOncpthson 29502  SPathsOncspthson 29503   WWalksNOn cwwlksnon 29612   WSPathsNOn cwwspthsnon 29614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-hash 14308  df-word 14483  df-wlks 29387  df-wlkson 29388  df-trls 29480  df-trlson 29481  df-pths 29504  df-spths 29505  df-pthson 29506  df-spthson 29507  df-wwlksnon 29617  df-wspthsnon 29619
This theorem is referenced by:  2wspdisj  29747  2wspiundisj  29748
  Copyright terms: Public domain W3C validator