MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wspthneq1eq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wspthneq1eq2 29710
Description: Two simple paths with identical sequences of vertices start and end at the same vertices. (Contributed by AV, 14-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
wspthneq1eq2 ((𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐡) ∧ 𝑃 ∈ (𝐢(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐷)) β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷))

Proof of Theorem wspthneq1eq2
Dummy variables 𝑓 β„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . 3 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
21wspthnonp 29709 . 2 (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐡) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃)))
31wspthnonp 29709 . 2 (𝑃 ∈ (𝐢(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐷) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐷 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐢(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐷) ∧ βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)))
4 simp3r 1199 . . 3 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃)) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃)
5 simp3r 1199 . . 3 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐷 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐢(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐷) ∧ βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)) β†’ βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
6 spthonpthon 29604 . . . . . . . . . 10 (𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ 𝑓(𝐴(PathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃)
7 spthonpthon 29604 . . . . . . . . . 10 (β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 β†’ β„Ž(𝐢(PathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
86, 7anim12i 611 . . . . . . . . 9 ((𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃) β†’ (𝑓(𝐴(PathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(PathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃))
9 pthontrlon 29600 . . . . . . . . . 10 (𝑓(𝐴(PathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ 𝑓(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃)
10 pthontrlon 29600 . . . . . . . . . 10 (β„Ž(𝐢(PathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 β†’ β„Ž(𝐢(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
11 trlsonwlkon 29563 . . . . . . . . . . 11 (𝑓(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ 𝑓(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃)
12 trlsonwlkon 29563 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž(𝐢(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 β†’ β„Ž(𝐢(WalksOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
1311, 12anim12i 611 . . . . . . . . . 10 ((𝑓(𝐴(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(TrailsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃) β†’ (𝑓(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(WalksOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃))
149, 10, 13syl2an 594 . . . . . . . . 9 ((𝑓(𝐴(PathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(PathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃) β†’ (𝑓(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(WalksOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃))
15 wlksoneq1eq2 29517 . . . . . . . . 9 ((𝑓(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(WalksOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃) β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷))
168, 14, 153syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃) β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷))
1716expcom 412 . . . . . . 7 (β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 β†’ (𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷)))
1817exlimiv 1925 . . . . . 6 (βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 β†’ (𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷)))
1918com12 32 . . . . 5 (𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ (βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷)))
2019exlimiv 1925 . . . 4 (βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ (βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷)))
2120imp 405 . . 3 ((βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃) β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷))
224, 5, 21syl2an 594 . 2 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐡)𝑃)) ∧ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐷 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐢(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐷) ∧ βˆƒβ„Ž β„Ž(𝐢(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃))) β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷))
232, 3, 22syl2an 594 1 ((𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐡) ∧ 𝑃 ∈ (𝐢(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐷)) β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   class class class wbr 5144  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„•0cn0 12497  Vtxcvtx 28848  WalksOncwlkson 29450  TrailsOnctrlson 29544  PathsOncpthson 29567  SPathsOncspthson 29568   WWalksNOn cwwlksnon 29677   WSPathsNOn cwwspthsnon 29679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-hash 14317  df-word 14492  df-wlks 29452  df-wlkson 29453  df-trls 29545  df-trlson 29546  df-pths 29569  df-spths 29570  df-pthson 29571  df-spthson 29572  df-wwlksnon 29682  df-wspthsnon 29684
This theorem is referenced by:  2wspdisj  29812  2wspiundisj  29813
  Copyright terms: Public domain W3C validator