Theorem wspthneq1eq2 27209

Description: Two simple paths with identical sequences of vertices start and end at the same vertices. (Contributed by AV, 14-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wspthneq1eq2	⊢ ((𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem wspthneq1eq2

Dummy variables 𝑓 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2777	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wspthnonp 27208	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)))
3	1	wspthnonp 27208	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐷) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐷) ∧ ∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)))
4		simp3r 1216	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)) → ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
5		simp3r 1216	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐷) ∧ ∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)) → ∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)
6		spthonpthon 27103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
7		spthonpthon 27103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → ℎ(𝐶(PathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)
8	6, 7	anim12i 606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(PathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃))
9		pthontrlon 27099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
10		pthontrlon 27099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ(𝐶(PathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → ℎ(𝐶(TrailsOn‘𝐺)𝐷)𝑃)
11		trlsonwlkon 27062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
12		trlsonwlkon 27062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ(𝐶(TrailsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → ℎ(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃)
13	11, 12	anim12i 606	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(TrailsOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃))
14	9, 10, 13	syl2an 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(PathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃))
15		wlksoneq1eq2 27011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
16	8, 14, 15	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
17	16	expcom 404	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → (𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
18	17	exlimiv 1973	. . . . . 6 ⊢ (∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → (𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
19	18	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
20	19	exlimiv 1973	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
21	20	imp 397	. . 3 ⊢ ((∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ ∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
22	4, 5, 21	syl2an 589	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃)) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐷) ∧ ∃ℎ ℎ(𝐶(SPathsOn‘𝐺)𝐷)𝑃))) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
23	2, 3, 22	syl2an 589	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝐶(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601  ∃wex 1823   ∈ wcel 2106  Vcvv 3397   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℕ₀cn0 11642  Vtxcvtx 26344  WalksOncwlkson 26945  TrailsOnctrlson 27042  PathsOncpthson 27066  SPathsOncspthson 27067   WWalksNOn cwwlksnon 27176   WSPathsNOn cwwspthsnon 27178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-ifp 1047  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-hash 13436  df-word 13600  df-wlks 26947  df-wlkson 26948  df-trls 27043  df-trlson 27044  df-pths 27068  df-spths 27069  df-pthson 27070  df-spthson 27071  df-wwlksnon 27181  df-wspthsnon 27183

This theorem is referenced by:  2wspdisj  27342  2wspiundisj  27343