Theorem reldmcmd2 50312

Description: The domain of (𝐶 Colimit 𝐷) is a relation. (Contributed by Zhi Wang, 13-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
reldmcmd2	⊢ Rel dom (𝐶 Colimit 𝐷)

Proof of Theorem reldmcmd2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 17915	. 2 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐶)
2		ovex 7441	. . . 4 ⊢ ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝑓) ∈ V
3		cmdfval 50308	. . . 4 ⊢ (𝐶 Colimit 𝐷) = (𝑓 ∈ (𝐷 Func 𝐶) ↦ ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝑓))
4	2, 3	dmmpti 6677	. . 3 ⊢ dom (𝐶 Colimit 𝐷) = (𝐷 Func 𝐶)
5	4	releqi 5762	. 2 ⊢ (Rel dom (𝐶 Colimit 𝐷) ↔ Rel (𝐷 Func 𝐶))
6	1, 5	mpbir 234	1 ⊢ Rel dom (𝐶 Colimit 𝐷)

Syntax hints:  dom cdm 5659  Rel wrel 5664  (class class class)co 7408   Func cfunc 17907   FuncCat cfuc 17998  Δ_funccdiag 18264   UP cup 49831   Colimit ccmd 50302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-func 17911  df-cmd 50304

This theorem is referenced by: (None)