Theorem lmdfval2 50932

Description: The set of limits of a diagram. (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lmdfval2	⊢ ((𝐶 Limit 𝐷)‘𝐹) = (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝐹)

Proof of Theorem lmdfval2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmdfval 50926	. . . 4 ⊢ (𝐶 Limit 𝐷) = (𝑓 ∈ (𝐷 Func 𝐶) ↦ (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝑓))
2	1	mptrcl 7004	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐶 Limit 𝐷)‘𝐹) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
3		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)) = (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶))
4		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐶) = (𝐷 FuncCat 𝐶)
5	4	fucbas 18144	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 Func 𝐶) = (Base‘(𝐷 FuncCat 𝐶))
6	3, 5	oppcbas 17898	. . . . 5 ⊢ (𝐷 Func 𝐶) = (Base‘(oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))
7	6	uprcl 50394	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝐹) → (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷)) ∈ ((oppCat‘𝐶) Func (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶))) ∧ 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶)))
8	7	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝐹) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
9		oveq2 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝑓) = (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝐹))
10		ovex 7454	. . . . 5 ⊢ (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝐹) ∈ V
11	9, 1, 10	fvmpt 6994	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ((𝐶 Limit 𝐷)‘𝐹) = (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝐹))
12	11	eleq2d 2846	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝑓 ∈ ((𝐶 Limit 𝐷)‘𝐹) ↔ 𝑓 ∈ (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝐹)))
13	2, 8, 12	pm5.21nii 381	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐶 Limit 𝐷)‘𝐹) ↔ 𝑓 ∈ (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝐹))
14	13	eqriv 2757	1 ⊢ ((𝐶 Limit 𝐷)‘𝐹) = (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  oppCatcoppc 17891   Func cfunc 18035   FuncCat cfuc 18126  Δ_funccdiag 18392   oppFunc coppf 50332   UP cup 50383   Limit clmd 50920

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-hom 17458  df-cco 17459  df-oppc 17892  df-func 18039  df-fuc 18128  df-up 50384  df-lmd 50922

This theorem is used by:  rellmd  50936  islmd  50942  lmddu  50944  lmdran  50948