Theorem lmdfval2 50466

Description: The set of limits of a diagram. (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lmdfval2	⊢ ((𝐶 Limit 𝐷)‘𝐹) = (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝐹)

Proof of Theorem lmdfval2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmdfval 50460	. . . 4 ⊢ (𝐶 Limit 𝐷) = (𝑓 ∈ (𝐷 Func 𝐶) ↦ (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝑓))
2	1	mptrcl 7003	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐶 Limit 𝐷)‘𝐹) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
3		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)) = (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶))
4		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐶) = (𝐷 FuncCat 𝐶)
5	4	fucbas 18037	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 Func 𝐶) = (Base‘(𝐷 FuncCat 𝐶))
6	3, 5	oppcbas 17791	. . . . 5 ⊢ (𝐷 Func 𝐶) = (Base‘(oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))
7	6	uprcl 49995	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝐹) → (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷)) ∈ ((oppCat‘𝐶) Func (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶))) ∧ 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶)))
8	7	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝐹) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
9		oveq2 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝑓) = (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝐹))
10		ovex 7449	. . . . 5 ⊢ (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝐹) ∈ V
11	9, 1, 10	fvmpt 6993	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ((𝐶 Limit 𝐷)‘𝐹) = (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝐹))
12	11	eleq2d 2851	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝑓 ∈ ((𝐶 Limit 𝐷)‘𝐹) ↔ 𝑓 ∈ (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝐹)))
13	2, 8, 12	pm5.21nii 381	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐶 Limit 𝐷)‘𝐹) ↔ 𝑓 ∈ (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝐹))
14	13	eqriv 2762	1 ⊢ ((𝐶 Limit 𝐷)‘𝐹) = (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  oppCatcoppc 17784   Func cfunc 17928   FuncCat cfuc 18019  Δ_funccdiag 18285   oppFunc coppf 49933   UP cup 49984   Limit clmd 50454

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-fz 13547  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-hom 17351  df-cco 17352  df-oppc 17785  df-func 17932  df-fuc 18021  df-up 49985  df-lmd 50456

This theorem is used by:  rellmd  50470  islmd  50476  lmddu  50478  lmdran  50482