Theorem relfunc 17876

Description: The set of functors is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
relfunc	⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

Proof of Theorem relfunc

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 17872	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	relmpoopab 8100	1 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

Syntax hints:   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  [wsbc 3775  ⟨cop 4629   × cxp 5672  Rel wrel 5679  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  1^st c1st 7993  2^nd c2nd 7994   ↑_m cmap 8847  Xcixp 8918  Basecbs 17208  Hom chom 17272  compcco 17273  Catccat 17672  Idccid 17673   Func cfunc 17868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pr 5425  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fv 6554  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-func 17872

This theorem is referenced by:  cofuval  17896  cofu1  17898  cofu2  17900  cofuval2  17901  cofucl  17902  cofuass  17903  cofulid  17904  cofurid  17905  funcres  17910  funcres2  17912  wunfunc  17915  wunfuncOLD  17916  funcpropd  17917  relfull  17925  relfth  17926  isfull  17927  isfth  17931  idffth  17950  cofull  17951  cofth  17952  ressffth  17955  isnat  17965  isnat2  17966  nat1st2nd  17969  fuccocl  17984  fucidcl  17985  fuclid  17986  fucrid  17987  fucass  17988  fucsect  17992  fucinv  17993  invfuc  17994  fuciso  17995  natpropd  17996  fucpropd  17997  catciso  18128  prfval  18218  prfcl  18222  prf1st  18223  prf2nd  18224  1st2ndprf  18225  evlfcllem  18241  evlfcl  18242  curf1cl  18248  curf2cl  18251  curfcl  18252  uncf1  18256  uncf2  18257  curfuncf  18258  uncfcurf  18259  diag1cl  18262  diag2cl  18266  curf2ndf  18267  yon1cl  18283  oyon1cl  18291  yonedalem1  18292  yonedalem21  18293  yonedalem3a  18294  yonedalem4c  18297  yonedalem22  18298  yonedalem3b  18299  yonedalem3  18300  yonedainv  18301  yonffthlem  18302  yoniso  18305