Theorem relfunc 18069

Description: The set of functors is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
relfunc	⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

Proof of Theorem relfunc

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 18065	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	relmpoopab 8134	1 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  [wsbc 3742  ⟨cop 4838   × cxp 5654  Rel wrel 5661  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  1^st c1st 8026  2^nd c2nd 8027   ↑_m cmap 8878  Xcixp 8956  Basecbs 17419  Hom chom 17471  compcco 17472  Catccat 17870  Idccid 17871   Func cfunc 18061

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-dm 5666  df-rn 5667  df-iota 6515  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-func 18065

This theorem is used by:  cofuval  18089  cofu1  18091  cofu2  18093  cofuval2  18094  cofucl  18095  cofuass  18096  cofulid  18097  cofurid  18098  funcres  18103  funcres2  18105  wunfunc  18108  funcpropd  18109  relfull  18117  relfth  18118  isfull  18119  isfth  18123  idffth  18142  cofull  18143  cofth  18144  ressffth  18147  isnat  18157  isnat2  18158  nat1st2nd  18161  fuccocl  18174  fucidcl  18175  fuclid  18176  fucrid  18177  fucass  18178  fucsect  18182  fucinv  18183  invfuc  18184  fuciso  18185  natpropd  18186  fucpropd  18187  catciso  18318  prfval  18405  prfcl  18409  prf1st  18410  prf2nd  18411  1st2ndprf  18412  evlfcllem  18427  evlfcl  18428  curf1cl  18434  curf2cl  18437  curfcl  18438  uncf1  18442  uncf2  18443  curfuncf  18444  uncfcurf  18445  diag1cl  18448  diag2cl  18452  curf2ndf  18453  yon1cl  18469  oyon1cl  18477  yonedalem1  18478  yonedalem21  18479  yonedalem3a  18480  yonedalem4c  18483  yonedalem22  18484  yonedalem3b  18485  yonedalem3  18486  yonedainv  18487  yonffthlem  18488  yoniso  18491  func1st2nd  50405  func1st  50406  func2nd  50407  0funcg  50415  0funcALT  50418  cofu1st2nd  50422  idfurcl  50429  oppfval  50467  oppfval2  50468  oppfoppc2  50473  funcoppc4  50475  funcoppc5  50476  oppff1  50479  oppff1o  50480  imassc  50484  imaid  50485  imaf1co  50486  imasubc3  50487  idfth  50489  upfval3  50509  up1st2nd  50516  up1st2ndr  50517  uptrlem2  50542  uptra  50546  uobeqw  50550  uobeq  50551  uptr2a  50553  natoppfb  50568  diag1  50641  fuco112  50666  fuco111  50667  fuco21  50673  fuco11bALT  50675  fuco22nat  50683  fucof21  50684  fucoid  50685  fucoid2  50686  fuco22a  50687  fucocolem4  50693  precofvalALT  50718  precofval3  50721  reldmprcof1  50731  prcoftposcurfuco  50733  prcoftposcurfucoa  50734  prcofdiag1  50743  prcofdiag  50744  oppfdiag1  50764  oppfdiag  50766  functhincfun  50799  functermc2  50859  eufunclem  50871  termcfuncval  50882  diagffth  50891  reldmlmd2  51051  reldmcmd2  51052  lmddu  51065  cmddu  51066  lmdran  51069  cmdlan  51070