Theorem relfunc 17786

Description: The set of functors is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
relfunc	⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

Proof of Theorem relfunc

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 17782	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	relmpoopab 8036	1 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  [wsbc 3740  ⟨cop 4586   × cxp 5622  Rel wrel 5629  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1^st c1st 7931  2^nd c2nd 7932   ↑_m cmap 8763  Xcixp 8835  Basecbs 17136  Hom chom 17188  compcco 17189  Catccat 17587  Idccid 17588   Func cfunc 17778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-func 17782

This theorem is referenced by:  cofuval  17806  cofu1  17808  cofu2  17810  cofuval2  17811  cofucl  17812  cofuass  17813  cofulid  17814  cofurid  17815  funcres  17820  funcres2  17822  wunfunc  17825  funcpropd  17826  relfull  17834  relfth  17835  isfull  17836  isfth  17840  idffth  17859  cofull  17860  cofth  17861  ressffth  17864  isnat  17874  isnat2  17875  nat1st2nd  17878  fuccocl  17891  fucidcl  17892  fuclid  17893  fucrid  17894  fucass  17895  fucsect  17899  fucinv  17900  invfuc  17901  fuciso  17902  natpropd  17903  fucpropd  17904  catciso  18035  prfval  18122  prfcl  18126  prf1st  18127  prf2nd  18128  1st2ndprf  18129  evlfcllem  18144  evlfcl  18145  curf1cl  18151  curf2cl  18154  curfcl  18155  uncf1  18159  uncf2  18160  curfuncf  18161  uncfcurf  18162  diag1cl  18165  diag2cl  18169  curf2ndf  18170  yon1cl  18186  oyon1cl  18194  yonedalem1  18195  yonedalem21  18196  yonedalem3a  18197  yonedalem4c  18200  yonedalem22  18201  yonedalem3b  18202  yonedalem3  18203  yonedainv  18204  yonffthlem  18205  yoniso  18208  func1st2nd  49317  func1st  49318  func2nd  49319  0funcg  49326  0funcALT  49329  cofu1st2nd  49333  idfurcl  49339  oppfval  49377  oppfval2  49378  oppfoppc2  49383  funcoppc4  49385  funcoppc5  49386  oppff1  49389  oppff1o  49390  imassc  49394  imaid  49395  imaf1co  49396  imasubc3  49397  idfth  49399  upfval3  49419  up1st2nd  49426  up1st2ndr  49427  uptrlem2  49452  uptra  49456  uobeqw  49460  uobeq  49461  uptr2a  49463  natoppfb  49472  diag1  49545  fuco112  49570  fuco111  49571  fuco21  49577  fuco11bALT  49579  fuco22nat  49587  fucof21  49588  fucoid  49589  fucoid2  49590  fuco22a  49591  fucocolem4  49597  precofvalALT  49609  precofval3  49612  reldmprcof1  49622  prcoftposcurfuco  49624  prcoftposcurfucoa  49625  prcofdiag1  49634  prcofdiag  49635  oppfdiag1  49655  oppfdiag  49657  functhincfun  49690  functermc2  49750  eufunclem  49762  termcfuncval  49773  diagffth  49779  reldmlmd2  49894  reldmcmd2  49895  lmddu  49908  cmddu  49909  lmdran  49912  cmdlan  49913