Theorem relfunc 17762

Description: The set of functors is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
relfunc	⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

Proof of Theorem relfunc

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 17758	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	relmpoopab 8031	1 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  [wsbc 3742  ⟨cop 4597   × cxp 5636  Rel wrel 5643  ⟶wf 6497  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  1^st c1st 7924  2^nd c2nd 7925   ↑_m cmap 8772  Xcixp 8842  Basecbs 17094  Hom chom 17158  compcco 17159  Catccat 17558  Idccid 17559   Func cfunc 17754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-func 17758

This theorem is referenced by:  cofuval  17782  cofu1  17784  cofu2  17786  cofuval2  17787  cofucl  17788  cofuass  17789  cofulid  17790  cofurid  17791  funcres  17796  funcres2  17798  wunfunc  17799  wunfuncOLD  17800  funcpropd  17801  relfull  17809  relfth  17810  isfull  17811  isfth  17815  idffth  17834  cofull  17835  cofth  17836  ressffth  17839  isnat  17848  isnat2  17849  nat1st2nd  17852  fuccocl  17867  fucidcl  17868  fuclid  17869  fucrid  17870  fucass  17871  fucsect  17875  fucinv  17876  invfuc  17877  fuciso  17878  natpropd  17879  fucpropd  17880  catciso  18011  prfval  18101  prfcl  18105  prf1st  18106  prf2nd  18107  1st2ndprf  18108  evlfcllem  18124  evlfcl  18125  curf1cl  18131  curf2cl  18134  curfcl  18135  uncf1  18139  uncf2  18140  curfuncf  18141  uncfcurf  18142  diag1cl  18145  diag2cl  18149  curf2ndf  18150  yon1cl  18166  oyon1cl  18174  yonedalem1  18175  yonedalem21  18176  yonedalem3a  18177  yonedalem4c  18180  yonedalem22  18181  yonedalem3b  18182  yonedalem3  18183  yonedainv  18184  yonffthlem  18185  yoniso  18188