Theorem relfunc 17920

Description: The set of functors is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
relfunc	⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

Proof of Theorem relfunc

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 17916	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	relmpoopab 8090	1 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  [wsbc 3745  ⟨cop 4596   × cxp 5661  Rel wrel 5668  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  1^st c1st 7985  2^nd c2nd 7986   ↑_m cmap 8825  Xcixp 8896  Basecbs 17270  Hom chom 17322  compcco 17323  Catccat 17721  Idccid 17722   Func cfunc 17912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-func 17916

This theorem is referenced by:  cofuval  17940  cofu1  17942  cofu2  17944  cofuval2  17945  cofucl  17946  cofuass  17947  cofulid  17948  cofurid  17949  funcres  17954  funcres2  17956  wunfunc  17959  funcpropd  17960  relfull  17968  relfth  17969  isfull  17970  isfth  17974  idffth  17993  cofull  17994  cofth  17995  ressffth  17998  isnat  18008  isnat2  18009  nat1st2nd  18012  fuccocl  18025  fucidcl  18026  fuclid  18027  fucrid  18028  fucass  18029  fucsect  18033  fucinv  18034  invfuc  18035  fuciso  18036  natpropd  18037  fucpropd  18038  catciso  18169  prfval  18256  prfcl  18260  prf1st  18261  prf2nd  18262  1st2ndprf  18263  evlfcllem  18278  evlfcl  18279  curf1cl  18285  curf2cl  18288  curfcl  18289  uncf1  18293  uncf2  18294  curfuncf  18295  uncfcurf  18296  diag1cl  18299  diag2cl  18303  curf2ndf  18304  yon1cl  18320  oyon1cl  18328  yonedalem1  18329  yonedalem21  18330  yonedalem3a  18331  yonedalem4c  18334  yonedalem22  18335  yonedalem3b  18336  yonedalem3  18337  yonedainv  18338  yonffthlem  18339  yoniso  18342  func1st2nd  49837  func1st  49838  func2nd  49839  0funcg  49846  0funcALT  49849  cofu1st2nd  49853  idfurcl  49859  oppfval  49897  oppfval2  49898  oppfoppc2  49903  funcoppc4  49905  funcoppc5  49906  oppff1  49909  oppff1o  49910  imassc  49914  imaid  49915  imaf1co  49916  imasubc3  49917  idfth  49919  upfval3  49939  up1st2nd  49946  up1st2ndr  49947  uptrlem2  49972  uptra  49976  uobeqw  49980  uobeq  49981  uptr2a  49983  natoppfb  49992  diag1  50065  fuco112  50090  fuco111  50091  fuco21  50097  fuco11bALT  50099  fuco22nat  50107  fucof21  50108  fucoid  50109  fucoid2  50110  fuco22a  50111  fucocolem4  50117  precofvalALT  50129  precofval3  50132  reldmprcof1  50142  prcoftposcurfuco  50144  prcoftposcurfucoa  50145  prcofdiag1  50154  prcofdiag  50155  oppfdiag1  50175  oppfdiag  50177  functhincfun  50210  functermc2  50270  eufunclem  50282  termcfuncval  50293  diagffth  50299  reldmlmd2  50414  reldmcmd2  50415  lmddu  50428  cmddu  50429  lmdran  50432  cmdlan  50433