Theorem relfunc 16726

Description: The set of functors is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
relfunc	⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

Proof of Theorem relfunc

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 16722	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑𝑚 ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	relmpt2opab 7493	1 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

Syntax hints:   ∧ wa 384   ∧ w3a 1100   = wceq 1637   ∈ wcel 2156  ∀wral 3096  [wsbc 3633  ⟨cop 4376   × cxp 5309  Rel wrel 5316  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  (class class class)co 6874  1^st c1st 7396  2^nd c2nd 7397   ↑_𝑚 cmap 8092  Xcixp 8145  Basecbs 16068  Hom chom 16164  compcco 16165  Catccat 16529  Idccid 16530   Func cfunc 16718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ral 3101  df-rex 3102  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fv 6109  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-func 16722

This theorem is referenced by:  cofuval  16746  cofu1  16748  cofu2  16750  cofuval2  16751  cofucl  16752  cofuass  16753  cofulid  16754  cofurid  16755  funcres  16760  funcres2  16762  wunfunc  16763  funcpropd  16764  relfull  16772  relfth  16773  isfull  16774  isfth  16778  idffth  16797  cofull  16798  cofth  16799  ressffth  16802  isnat  16811  isnat2  16812  nat1st2nd  16815  fuccocl  16828  fucidcl  16829  fuclid  16830  fucrid  16831  fucass  16832  fucsect  16836  fucinv  16837  invfuc  16838  fuciso  16839  natpropd  16840  fucpropd  16841  catciso  16961  prfval  17044  prfcl  17048  prf1st  17049  prf2nd  17050  1st2ndprf  17051  evlfcllem  17066  evlfcl  17067  curf1cl  17073  curf2cl  17076  curfcl  17077  uncf1  17081  uncf2  17082  curfuncf  17083  uncfcurf  17084  diag1cl  17087  diag2cl  17091  curf2ndf  17092  yon1cl  17108  oyon1cl  17116  yonedalem1  17117  yonedalem21  17118  yonedalem3a  17119  yonedalem4c  17122  yonedalem22  17123  yonedalem3b  17124  yonedalem3  17125  yonedainv  17126  yonffthlem  17127  yoniso  17130