Theorem relfunc 17875

Description: The set of functors is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
relfunc	⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

Proof of Theorem relfunc

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 17871	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	relmpoopab 8093	1 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  [wsbc 3765  ⟨cop 4607   × cxp 5652  Rel wrel 5659  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  1^st c1st 7986  2^nd c2nd 7987   ↑_m cmap 8840  Xcixp 8911  Basecbs 17228  Hom chom 17282  compcco 17283  Catccat 17676  Idccid 17677   Func cfunc 17867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-func 17871

This theorem is referenced by:  cofuval  17895  cofu1  17897  cofu2  17899  cofuval2  17900  cofucl  17901  cofuass  17902  cofulid  17903  cofurid  17904  funcres  17909  funcres2  17911  wunfunc  17914  funcpropd  17915  relfull  17923  relfth  17924  isfull  17925  isfth  17929  idffth  17948  cofull  17949  cofth  17950  ressffth  17953  isnat  17963  isnat2  17964  nat1st2nd  17967  fuccocl  17980  fucidcl  17981  fuclid  17982  fucrid  17983  fucass  17984  fucsect  17988  fucinv  17989  invfuc  17990  fuciso  17991  natpropd  17992  fucpropd  17993  catciso  18124  prfval  18211  prfcl  18215  prf1st  18216  prf2nd  18217  1st2ndprf  18218  evlfcllem  18233  evlfcl  18234  curf1cl  18240  curf2cl  18243  curfcl  18244  uncf1  18248  uncf2  18249  curfuncf  18250  uncfcurf  18251  diag1cl  18254  diag2cl  18258  curf2ndf  18259  yon1cl  18275  oyon1cl  18283  yonedalem1  18284  yonedalem21  18285  yonedalem3a  18286  yonedalem4c  18289  yonedalem22  18290  yonedalem3b  18291  yonedalem3  18292  yonedainv  18293  yonffthlem  18294  yoniso  18297  func1st2nd  49043  0funcg  49050  0funcALT  49053  idfurcl  49058  oppfval  49082  oppfval2  49083  oppfoppc2  49085  funcoppc4  49087  funcoppc5  49088  2oppffunc  49089  imassc  49093  imaid  49094  imaf1co  49095  imasubc3  49096  idfth  49098  upfval3  49113  up1st2nd  49119  up1st2ndr  49120  diag1  49215  fuco112  49240  fuco111  49241  fuco21  49247  fuco11bALT  49249  fuco22nat  49257  fucof21  49258  fucoid  49259  fucoid2  49260  fuco22a  49261  fucocolem4  49267  precofvalALT  49279  precofval3  49282  reldmprcof1  49291  prcoftposcurfuco  49293  prcoftposcurfucoa  49294  functhincfun  49335  functermc2  49394  eufunclem  49406  termcfuncval  49417  diagffth  49423  reldmlmd2  49525  reldmcmd2  49526