Theorem relfunc 17907

Description: The set of functors is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
relfunc	⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

Proof of Theorem relfunc

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 17903	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	relmpoopab 8119	1 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  [wsbc 3788  ⟨cop 4632   × cxp 5683  Rel wrel 5690  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1^st c1st 8012  2^nd c2nd 8013   ↑_m cmap 8866  Xcixp 8937  Basecbs 17247  Hom chom 17308  compcco 17309  Catccat 17707  Idccid 17708   Func cfunc 17899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-func 17903

This theorem is referenced by:  cofuval  17927  cofu1  17929  cofu2  17931  cofuval2  17932  cofucl  17933  cofuass  17934  cofulid  17935  cofurid  17936  funcres  17941  funcres2  17943  wunfunc  17946  funcpropd  17947  relfull  17955  relfth  17956  isfull  17957  isfth  17961  idffth  17980  cofull  17981  cofth  17982  ressffth  17985  isnat  17995  isnat2  17996  nat1st2nd  17999  fuccocl  18012  fucidcl  18013  fuclid  18014  fucrid  18015  fucass  18016  fucsect  18020  fucinv  18021  invfuc  18022  fuciso  18023  natpropd  18024  fucpropd  18025  catciso  18156  prfval  18244  prfcl  18248  prf1st  18249  prf2nd  18250  1st2ndprf  18251  evlfcllem  18266  evlfcl  18267  curf1cl  18273  curf2cl  18276  curfcl  18277  uncf1  18281  uncf2  18282  curfuncf  18283  uncfcurf  18284  diag1cl  18287  diag2cl  18291  curf2ndf  18292  yon1cl  18308  oyon1cl  18316  yonedalem1  18317  yonedalem21  18318  yonedalem3a  18319  yonedalem4c  18322  yonedalem22  18323  yonedalem3b  18324  yonedalem3  18325  yonedainv  18326  yonffthlem  18327  yoniso  18330  0funcg  48918  0funcALT  48921  upfval3  48935  diag1  49004  fuco112  49024  fuco111  49025  fuco21  49031  fuco11b  49032  fuco11bALT  49033  fuco22nat  49041  fucof21  49042  fucoid  49043  fucoid2  49044  fuco22a  49045  fucocolem1  49048  fucocolem2  49049  fucocolem3  49050  fucocolem4  49051  fucoco  49052  fucorid2  49058  postcofval  49059  postcofcl  49060  precofval  49062  precofvalALT  49063  precofval2  49064  precofcl  49065  precoffunc  49066  functhincfun  49098  functermc2  49141  termc2  49148