Theorem relfunc 17134

Description: The set of functors is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
relfunc	⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

Proof of Theorem relfunc

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 17130	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	relmpoopab 7791	1 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

Syntax hints:   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  [wsbc 3774  ⟨cop 4575   × cxp 5555  Rel wrel 5562  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  1^st c1st 7689  2^nd c2nd 7690   ↑_m cmap 8408  Xcixp 8463  Basecbs 16485  Hom chom 16578  compcco 16579  Catccat 16937  Idccid 16938   Func cfunc 17126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-func 17130

This theorem is referenced by:  cofuval  17154  cofu1  17156  cofu2  17158  cofuval2  17159  cofucl  17160  cofuass  17161  cofulid  17162  cofurid  17163  funcres  17168  funcres2  17170  wunfunc  17171  funcpropd  17172  relfull  17180  relfth  17181  isfull  17182  isfth  17186  idffth  17205  cofull  17206  cofth  17207  ressffth  17210  isnat  17219  isnat2  17220  nat1st2nd  17223  fuccocl  17236  fucidcl  17237  fuclid  17238  fucrid  17239  fucass  17240  fucsect  17244  fucinv  17245  invfuc  17246  fuciso  17247  natpropd  17248  fucpropd  17249  catciso  17369  prfval  17451  prfcl  17455  prf1st  17456  prf2nd  17457  1st2ndprf  17458  evlfcllem  17473  evlfcl  17474  curf1cl  17480  curf2cl  17483  curfcl  17484  uncf1  17488  uncf2  17489  curfuncf  17490  uncfcurf  17491  diag1cl  17494  diag2cl  17498  curf2ndf  17499  yon1cl  17515  oyon1cl  17523  yonedalem1  17524  yonedalem21  17525  yonedalem3a  17526  yonedalem4c  17529  yonedalem22  17530  yonedalem3b  17531  yonedalem3  17532  yonedainv  17533  yonffthlem  17534  yoniso  17537