Theorem relfunc 17957

Description: The set of functors is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
relfunc	⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

Proof of Theorem relfunc

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 17953	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	relmpoopab 8095	1 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  [wsbc 3742  ⟨cop 4593   × cxp 5657  Rel wrel 5664  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  1^st c1st 7988  2^nd c2nd 7989   ↑_m cmap 8830  Xcixp 8908  Basecbs 17307  Hom chom 17359  compcco 17360  Catccat 17758  Idccid 17759   Func cfunc 17949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-func 17953

This theorem is used by:  cofuval  17977  cofu1  17979  cofu2  17981  cofuval2  17982  cofucl  17983  cofuass  17984  cofulid  17985  cofurid  17986  funcres  17991  funcres2  17993  wunfunc  17996  funcpropd  17997  relfull  18005  relfth  18006  isfull  18007  isfth  18011  idffth  18030  cofull  18031  cofth  18032  ressffth  18035  isnat  18045  isnat2  18046  nat1st2nd  18049  fuccocl  18062  fucidcl  18063  fuclid  18064  fucrid  18065  fucass  18066  fucsect  18070  fucinv  18071  invfuc  18072  fuciso  18073  natpropd  18074  fucpropd  18075  catciso  18206  prfval  18293  prfcl  18297  prf1st  18298  prf2nd  18299  1st2ndprf  18300  evlfcllem  18315  evlfcl  18316  curf1cl  18322  curf2cl  18325  curfcl  18326  uncf1  18330  uncf2  18331  curfuncf  18332  uncfcurf  18333  diag1cl  18336  diag2cl  18340  curf2ndf  18341  yon1cl  18357  oyon1cl  18365  yonedalem1  18366  yonedalem21  18367  yonedalem3a  18368  yonedalem4c  18371  yonedalem22  18372  yonedalem3b  18373  yonedalem3  18374  yonedainv  18375  yonffthlem  18376  yoniso  18379  func1st2nd  50010  func1st  50011  func2nd  50012  0funcg  50019  0funcALT  50022  cofu1st2nd  50026  idfurcl  50032  oppfval  50070  oppfval2  50071  oppfoppc2  50076  funcoppc4  50078  funcoppc5  50079  oppff1  50082  oppff1o  50083  imassc  50087  imaid  50088  imaf1co  50089  imasubc3  50090  idfth  50092  upfval3  50112  up1st2nd  50119  up1st2ndr  50120  uptrlem2  50145  uptra  50149  uobeqw  50153  uobeq  50154  uptr2a  50156  natoppfb  50165  diag1  50238  fuco112  50263  fuco111  50264  fuco21  50270  fuco11bALT  50272  fuco22nat  50280  fucof21  50281  fucoid  50282  fucoid2  50283  fuco22a  50284  fucocolem4  50290  precofvalALT  50302  precofval3  50305  reldmprcof1  50315  prcoftposcurfuco  50317  prcoftposcurfucoa  50318  prcofdiag1  50327  prcofdiag  50328  oppfdiag1  50348  oppfdiag  50350  functhincfun  50383  functermc2  50443  eufunclem  50455  termcfuncval  50466  diagffth  50472  reldmlmd2  50587  reldmcmd2  50588  lmddu  50601  cmddu  50602  lmdran  50605  cmdlan  50606