Theorem relfunc 17829

Description: The set of functors is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
relfunc	⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

Proof of Theorem relfunc

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 17825	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	relmpoopab 8044	1 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  [wsbc 3728  ⟨cop 4573   × cxp 5629  Rel wrel 5636  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1^st c1st 7940  2^nd c2nd 7941   ↑_m cmap 8773  Xcixp 8845  Basecbs 17179  Hom chom 17231  compcco 17232  Catccat 17630  Idccid 17631   Func cfunc 17821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-func 17825

This theorem is referenced by:  cofuval  17849  cofu1  17851  cofu2  17853  cofuval2  17854  cofucl  17855  cofuass  17856  cofulid  17857  cofurid  17858  funcres  17863  funcres2  17865  wunfunc  17868  funcpropd  17869  relfull  17877  relfth  17878  isfull  17879  isfth  17883  idffth  17902  cofull  17903  cofth  17904  ressffth  17907  isnat  17917  isnat2  17918  nat1st2nd  17921  fuccocl  17934  fucidcl  17935  fuclid  17936  fucrid  17937  fucass  17938  fucsect  17942  fucinv  17943  invfuc  17944  fuciso  17945  natpropd  17946  fucpropd  17947  catciso  18078  prfval  18165  prfcl  18169  prf1st  18170  prf2nd  18171  1st2ndprf  18172  evlfcllem  18187  evlfcl  18188  curf1cl  18194  curf2cl  18197  curfcl  18198  uncf1  18202  uncf2  18203  curfuncf  18204  uncfcurf  18205  diag1cl  18208  diag2cl  18212  curf2ndf  18213  yon1cl  18229  oyon1cl  18237  yonedalem1  18238  yonedalem21  18239  yonedalem3a  18240  yonedalem4c  18243  yonedalem22  18244  yonedalem3b  18245  yonedalem3  18246  yonedainv  18247  yonffthlem  18248  yoniso  18251  func1st2nd  49551  func1st  49552  func2nd  49553  0funcg  49560  0funcALT  49563  cofu1st2nd  49567  idfurcl  49573  oppfval  49611  oppfval2  49612  oppfoppc2  49617  funcoppc4  49619  funcoppc5  49620  oppff1  49623  oppff1o  49624  imassc  49628  imaid  49629  imaf1co  49630  imasubc3  49631  idfth  49633  upfval3  49653  up1st2nd  49660  up1st2ndr  49661  uptrlem2  49686  uptra  49690  uobeqw  49694  uobeq  49695  uptr2a  49697  natoppfb  49706  diag1  49779  fuco112  49804  fuco111  49805  fuco21  49811  fuco11bALT  49813  fuco22nat  49821  fucof21  49822  fucoid  49823  fucoid2  49824  fuco22a  49825  fucocolem4  49831  precofvalALT  49843  precofval3  49846  reldmprcof1  49856  prcoftposcurfuco  49858  prcoftposcurfucoa  49859  prcofdiag1  49868  prcofdiag  49869  oppfdiag1  49889  oppfdiag  49891  functhincfun  49924  functermc2  49984  eufunclem  49996  termcfuncval  50007  diagffth  50013  reldmlmd2  50128  reldmcmd2  50129  lmddu  50142  cmddu  50143  lmdran  50146  cmdlan  50147