MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relfunc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relfunc 17128
Description: The set of functors is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
relfunc Rel (𝐷 Func 𝐸)

Proof of Theorem relfunc
Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-func 17124 . 2 Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓𝑥)) ∧ ∀𝑦𝑏𝑧𝑏𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓𝑥), (𝑓𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
21relmpoopab 7776 1 Rel (𝐷 Func 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  [wsbc 3723  cop 4534   × cxp 5521  Rel wrel 5528  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  1st c1st 7673  2nd c2nd 7674  m cmap 8393  Xcixp 8448  Basecbs 16479  Hom chom 16572  compcco 16573  Catccat 16931  Idccid 16932   Func cfunc 17120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-func 17124
This theorem is referenced by:  cofuval  17148  cofu1  17150  cofu2  17152  cofuval2  17153  cofucl  17154  cofuass  17155  cofulid  17156  cofurid  17157  funcres  17162  funcres2  17164  wunfunc  17165  funcpropd  17166  relfull  17174  relfth  17175  isfull  17176  isfth  17180  idffth  17199  cofull  17200  cofth  17201  ressffth  17204  isnat  17213  isnat2  17214  nat1st2nd  17217  fuccocl  17230  fucidcl  17231  fuclid  17232  fucrid  17233  fucass  17234  fucsect  17238  fucinv  17239  invfuc  17240  fuciso  17241  natpropd  17242  fucpropd  17243  catciso  17363  prfval  17445  prfcl  17449  prf1st  17450  prf2nd  17451  1st2ndprf  17452  evlfcllem  17467  evlfcl  17468  curf1cl  17474  curf2cl  17477  curfcl  17478  uncf1  17482  uncf2  17483  curfuncf  17484  uncfcurf  17485  diag1cl  17488  diag2cl  17492  curf2ndf  17493  yon1cl  17509  oyon1cl  17517  yonedalem1  17518  yonedalem21  17519  yonedalem3a  17520  yonedalem4c  17523  yonedalem22  17524  yonedalem3b  17525  yonedalem3  17526  yonedainv  17527  yonffthlem  17528  yoniso  17531
  Copyright terms: Public domain W3C validator