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Theorem repswswrd 14734
Description: A subword of a "repeated symbol word" is again a "repeated symbol word". The assumption 𝑁𝐿 is required, because otherwise (𝐿 < 𝑁): ((𝑆 repeatS 𝐿) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ∅, but for M < N (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))) ≠ ∅! The proof is relatively long because the border cases (𝑀 = 𝑁, ¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) must have been considered. (Contributed by AV, 6-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswswrd (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑆 repeatS 𝐿) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))

Proof of Theorem repswswrd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 repsw 14725 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉)
2 nn0z 12583 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
3 nn0z 12583 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
42, 3anim12i 614 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
51, 4anim12i 614 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
6 3anass 1096 . . . . 5 (((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ ((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
75, 6sylibr 233 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
873adant3 1133 . . 3 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9 swrdval 14593 . . 3 (((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝐿) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = if((𝑀..^𝑁) ⊆ dom (𝑆 repeatS 𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅))
108, 9syl 17 . 2 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑆 repeatS 𝐿) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = if((𝑀..^𝑁) ⊆ dom (𝑆 repeatS 𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅))
11 repsf 14723 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉)
12113ad2ant1 1134 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑆 repeatS 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉)
1312fdmd 6729 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → dom (𝑆 repeatS 𝐿) = (0..^𝐿))
1413sseq2d 4015 . . 3 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑀..^𝑁) ⊆ dom (𝑆 repeatS 𝐿) ↔ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿)))
1514ifbid 4552 . 2 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ dom (𝑆 repeatS 𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅))
16 fzon 13653 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑀..^𝑁) = ∅))
174, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑀..^𝑁) = ∅))
1817adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑀..^𝑁) = ∅))
1918biimpac 480 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
20 0ss 4397 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ (0..^𝐿)
2119, 20eqsstrdi 4037 . . . . . . 7 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿))
22 iftrue 4535 . . . . . . 7 ((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))))
24 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
25 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2624, 25anim12ci 615 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
2726adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
28 suble0 11728 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑀) ≤ 0 ↔ 𝑁𝑀))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁𝑀) ≤ 0 ↔ 𝑁𝑀))
3029biimparc 481 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑁𝑀) ≤ 0)
31 0z 12569 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
32 zsubcl 12604 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
333, 2, 32syl2anr 598 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
3433adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
3534adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
36 fzon 13653 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ) → ((𝑁𝑀) ≤ 0 ↔ (0..^(𝑁𝑀)) = ∅))
3731, 35, 36sylancr 588 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → ((𝑁𝑀) ≤ 0 ↔ (0..^(𝑁𝑀)) = ∅))
3830, 37mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (0..^(𝑁𝑀)) = ∅)
3938mpteq1d 5244 . . . . . 6 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))))
40 mpt0 6693 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = ∅
41 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑁 → (𝑁𝑀) = (𝑁𝑁))
4241oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑁 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑁)))
43 nn0cn 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
4443adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
4544subidd 11559 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑁) = 0)
4645adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝑁) = 0)
4746oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑁)) = (𝑆 repeatS 0))
48 repsw0 14727 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆𝑉 → (𝑆 repeatS 0) = ∅)
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑆 repeatS 0) = ∅)
5047, 49eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑁)) = ∅)
5142, 50sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅)
5251ex 414 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 = 𝑁 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
5352adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀 = 𝑁 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
5453com12 32 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑁 → ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
55 elnn0z 12571 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁𝑀)))
56 subge0 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
5725, 24, 56syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑁𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
5824, 25anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
59 letri3 11299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
6160biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑁𝑁𝑀) → 𝑀 = 𝑁))
6261expd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀𝑀 = 𝑁)))
6357, 62sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀𝑀 = 𝑁)))
6463com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀 → (0 ≤ (𝑁𝑀) → 𝑀 = 𝑁)))
6564adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝑀 → (0 ≤ (𝑁𝑀) → 𝑀 = 𝑁)))
6665impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (0 ≤ (𝑁𝑀) → 𝑀 = 𝑁))
6766com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ≤ (𝑁𝑀) → ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝑀 = 𝑁))
6855, 67simplbiim 506 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝑀 = 𝑁))
6968com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝑀 = 𝑁))
7069con3d 152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → ¬ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))
7170impcom 409 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ (𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)))) → ¬ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
72 df-nel 3048 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑀) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
7371, 72sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ (𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)))) → (𝑁𝑀) ∉ ℕ0)
74 repsundef 14721 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝑀) ∉ ℕ0 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ (𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)))) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅)
7675ex 414 . . . . . . . 8 𝑀 = 𝑁 → ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
7754, 76pm2.61i 182 . . . . . . 7 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅)
7840, 77eqtr4id 2792 . . . . . 6 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
7923, 39, 783eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
8079expcom 415 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝑀 → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
81803adant3 1133 . . 3 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑁𝑀 → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
82 ltnle 11293 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝑀))
8358, 82syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝑀))
8483bicomd 222 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁𝑀𝑀 < 𝑁))
85843ad2ant2 1135 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (¬ 𝑁𝑀𝑀 < 𝑁))
8622adantr 482 . . . . . . 7 (((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))))
8743ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
8887adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
89 0zd 12570 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆𝑉 → 0 ∈ ℤ)
90 nn0z 12583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)
9189, 90anim12i 614 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
92913ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
9392adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
94 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 < 𝑁)
95 ssfzo12bi 13727 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ↔ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)))
9688, 93, 94, 95syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ↔ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)))
97 simpl1l 1225 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑆𝑉)
9897ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑆𝑉)
99 simpl1r 1226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ0)
10099ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
101 nn0addcl 12507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0)
102101expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0))
103102adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0))
1041033ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0))
105104ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0))
106 elfzonn0 13677 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
107105, 106impel 507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0)
10890adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℤ)
1091083ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
110109adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐿 ∈ ℤ)
111 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
112111adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
113112, 58anim12ci 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
114 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) ↔ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
115113, 114sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
116 ltletr 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 < 𝑁𝑁𝐿) → 𝑀 < 𝐿))
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 < 𝑁𝑁𝐿) → 𝑀 < 𝐿))
118 elnn0z 12571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀))
119 0red 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0)) → 0 ∈ ℝ)
120 zre 12562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
121120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℝ)
122112adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝐿 ∈ ℝ)
123 lelttr 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
124119, 121, 122, 123syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0)) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
125124expd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0)) → (0 ≤ 𝑀 → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿)))
126125impancom 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀) → ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿)))
127118, 126sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿)))
128127adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿)))
129128impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿))
130117, 129syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 < 𝑁𝑁𝐿) → 0 < 𝐿))
131130expcomd 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝐿 → (𝑀 < 𝑁 → 0 < 𝐿)))
1321313impia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 < 𝑁 → 0 < 𝐿))
133132imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝐿)
134 elnnz 12568 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ ℕ ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
135110, 133, 134sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ)
136135ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ)
137 elfzo0 13673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑁𝑀)))
138 nn0readdcl 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ)
139138expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ))
140139ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ))
141140impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ)
14225adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
143142adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
144143adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝑁 ∈ ℝ)
145111ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝐿 ∈ ℝ)
146141, 144, 1453jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
147146ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℕ0 → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ)))
148147adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ)))
149148impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀))) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
150149adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀))) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
151 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℝ)
152151adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝑥 ∈ ℝ)
15324ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℝ)
154153adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝑀 ∈ ℝ)
155152, 154, 144ltaddsubd 11814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁𝑥 < (𝑁𝑀)))
156 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁))
157156ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑁𝐿 → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁)))
158157com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁 → (𝑁𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁)))
159155, 158sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑥 < (𝑁𝑀) → (𝑁𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁)))
160159impancom 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁)))
161160impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀))) → (𝑁𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁))
162161impac 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀))) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁𝑁𝐿))
163 ltletr 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (((𝑥 + 𝑀) < 𝑁𝑁𝐿) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
164150, 162, 163sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀))) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)
165164exp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑁𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)))
166165com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝐿 → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)))
167166ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐿 → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))))
168167adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐿 → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))))
1691683imp 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
170169ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
171170com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
1721713adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑁𝑀)) → (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
173137, 172sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
174173impcom 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)
175 elfzo0 13673 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^𝐿) ↔ ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
176107, 136, 174, 175syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^𝐿))
177 repswsymb 14724 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀)) = 𝑆)
17898, 100, 176, 177syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀)) = 𝑆)
179178mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ 𝑆))
180333ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
181180adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
182583ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
183 ltle 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁𝑀𝑁))
184182, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 < 𝑁𝑀𝑁))
185263ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
186185, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (0 ≤ (𝑁𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
187184, 186sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 < 𝑁 → 0 ≤ (𝑁𝑀)))
188187imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 ≤ (𝑁𝑀))
189181, 188, 55sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
19097, 189jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆𝑉 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))
191190adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑆𝑉 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))
192 reps 14720 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆𝑉 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ 𝑆))
193192eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑉 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ 𝑆) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
194191, 193syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ 𝑆) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
195179, 194eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
196195ex 414 . . . . . . . . 9 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((0 ≤ 𝑀𝑁𝐿) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
19796, 196sylbid 239 . . . . . . . 8 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
198197impcom 409 . . . . . . 7 (((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
19986, 198eqtrd 2773 . . . . . 6 (((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
200 iffalse 4538 . . . . . . . 8 (¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = ∅)
201200adantr 482 . . . . . . 7 ((¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = ∅)
20296notbid 318 . . . . . . . . 9 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ↔ ¬ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)))
203 ianor 981 . . . . . . . . . . 11 (¬ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿) ↔ (¬ 0 ≤ 𝑀 ∨ ¬ 𝑁𝐿))
204 nn0ge0 12497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
205 pm2.24 124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ≤ 𝑀 → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
206204, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
207206adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
2082073ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
209208adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
210209com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (¬ 0 ≤ 𝑀 → ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
211 pm2.24 124 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁𝐿 → (¬ 𝑁𝐿 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
2122113ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (¬ 𝑁𝐿 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
213212adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ 𝑁𝐿 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
214213com12 32 . . . . . . . . . . . 12 𝑁𝐿 → ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
215210, 214jaoi 856 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 0 ≤ 𝑀 ∨ ¬ 𝑁𝐿) → ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
216203, 215sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (¬ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿) → ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
217216com12 32 . . . . . . . . 9 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
218202, 217sylbid 239 . . . . . . . 8 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
219218impcom 409 . . . . . . 7 ((¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅)
220201, 219eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
221199, 220pm2.61ian 811 . . . . 5 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
222221ex 414 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 < 𝑁 → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
22385, 222sylbid 239 . . 3 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (¬ 𝑁𝑀 → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
22481, 223pm2.61d 179 . 2 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
22510, 15, 2243eqtrd 2777 1 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑆 repeatS 𝐿) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wnel 3047  wss 3949  c0 4323  ifcif 4529  cop 4635   class class class wbr 5149  cmpt 5232  dom cdm 5677  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7409  cc 11108  cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113   < clt 11248  cle 11249  cmin 11444  cn 12212  0cn0 12472  cz 12558  ..^cfzo 13627  Word cword 14464   substr csubstr 14590   repeatS creps 14718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-substr 14591  df-reps 14719
This theorem is referenced by:  repswcshw  14762
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