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Theorem repswswrd 14138
 Description: A subword of a "repeated symbol word" is again a "repeated symbol word". The assumption 𝑁 ≤ 𝐿 is required, because otherwise (𝐿 < 𝑁): ((𝑆 repeatS 𝐿) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ∅, but for M < N (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀))) ≠ ∅! The proof is relatively long because the border cases (𝑀 = 𝑁, ¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) must have been considered. (Contributed by AV, 6-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswswrd (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑆 repeatS 𝐿) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))

Proof of Theorem repswswrd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 repsw 14129 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉)
2 nn0z 11997 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
3 nn0z 11997 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
42, 3anim12i 614 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
51, 4anim12i 614 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
6 3anass 1089 . . . . 5 (((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ ((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
75, 6sylibr 236 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
873adant3 1126 . . 3 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9 swrdval 13997 . . 3 (((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝐿) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = if((𝑀..^𝑁) ⊆ dom (𝑆 repeatS 𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅))
108, 9syl 17 . 2 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑆 repeatS 𝐿) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = if((𝑀..^𝑁) ⊆ dom (𝑆 repeatS 𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅))
11 repsf 14127 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉)
12113ad2ant1 1127 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑆 repeatS 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉)
1312fdmd 6516 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → dom (𝑆 repeatS 𝐿) = (0..^𝐿))
1413sseq2d 3997 . . 3 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑀..^𝑁) ⊆ dom (𝑆 repeatS 𝐿) ↔ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿)))
1514ifbid 4487 . 2 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ dom (𝑆 repeatS 𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅))
16 fzon 13050 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑀..^𝑁) = ∅))
174, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑀..^𝑁) = ∅))
1817adantl 484 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑀..^𝑁) = ∅))
1918biimpac 481 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
20 0ss 4348 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ (0..^𝐿)
2119, 20eqsstrdi 4019 . . . . . . 7 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿))
22 iftrue 4471 . . . . . . 7 ((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))))
24 nn0re 11898 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
25 nn0re 11898 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2624, 25anim12ci 615 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
2726adantl 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
28 suble0 11146 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑀) ≤ 0 ↔ 𝑁𝑀))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁𝑀) ≤ 0 ↔ 𝑁𝑀))
3029biimparc 482 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑁𝑀) ≤ 0)
31 0z 11984 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
32 zsubcl 12016 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
333, 2, 32syl2anr 598 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
3433adantl 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
3534adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
36 fzon 13050 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ) → ((𝑁𝑀) ≤ 0 ↔ (0..^(𝑁𝑀)) = ∅))
3731, 35, 36sylancr 589 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → ((𝑁𝑀) ≤ 0 ↔ (0..^(𝑁𝑀)) = ∅))
3830, 37mpbid 234 . . . . . . 7 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (0..^(𝑁𝑀)) = ∅)
3938mpteq1d 5146 . . . . . 6 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))))
40 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑁 → (𝑁𝑀) = (𝑁𝑁))
4140oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑁 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑁)))
42 nn0cn 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
4342adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
4443subidd 10977 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑁) = 0)
4544adantl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝑁) = 0)
4645oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑁)) = (𝑆 repeatS 0))
47 repsw0 14131 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆𝑉 → (𝑆 repeatS 0) = ∅)
4847ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑆 repeatS 0) = ∅)
4946, 48eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑁)) = ∅)
5041, 49sylan9eqr 2876 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅)
5150ex 415 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 = 𝑁 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
5251adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀 = 𝑁 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
5352com12 32 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑁 → ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
54 elnn0z 11986 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁𝑀)))
55 subge0 11145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
5625, 24, 55syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑁𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
5724, 25anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
58 letri3 10718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
6059biimprd 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑁𝑁𝑀) → 𝑀 = 𝑁))
6160expd 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀𝑀 = 𝑁)))
6256, 61sylbid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀𝑀 = 𝑁)))
6362com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀 → (0 ≤ (𝑁𝑀) → 𝑀 = 𝑁)))
6463adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝑀 → (0 ≤ (𝑁𝑀) → 𝑀 = 𝑁)))
6564impcom 410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (0 ≤ (𝑁𝑀) → 𝑀 = 𝑁))
6665com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ≤ (𝑁𝑀) → ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝑀 = 𝑁))
6754, 66simplbiim 507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝑀 = 𝑁))
6867com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝑀 = 𝑁))
6968con3d 155 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → ¬ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))
7069impcom 410 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ (𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)))) → ¬ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
71 df-nel 3122 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑀) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
7270, 71sylibr 236 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ (𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)))) → (𝑁𝑀) ∉ ℕ0)
73 repsundef 14125 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝑀) ∉ ℕ0 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ (𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)))) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅)
7574ex 415 . . . . . . . 8 𝑀 = 𝑁 → ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
7653, 75pm2.61i 183 . . . . . . 7 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅)
77 mpt0 6483 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = ∅
7876, 77syl6reqr 2873 . . . . . 6 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
7923, 39, 783eqtrd 2858 . . . . 5 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
8079expcom 416 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝑀 → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
81803adant3 1126 . . 3 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑁𝑀 → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
82 ltnle 10712 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝑀))
8357, 82syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝑀))
8483bicomd 225 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁𝑀𝑀 < 𝑁))
85843ad2ant2 1128 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (¬ 𝑁𝑀𝑀 < 𝑁))
8622adantr 483 . . . . . . 7 (((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))))
8743ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
8887adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
89 0zd 11985 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆𝑉 → 0 ∈ ℤ)
90 nn0z 11997 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)
9189, 90anim12i 614 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
92913ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
9392adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
94 simpr 487 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 < 𝑁)
95 ssfzo12bi 13124 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ↔ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)))
9688, 93, 94, 95syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ↔ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)))
97 simpl1l 1218 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑆𝑉)
9897ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑆𝑉)
99 simpl1r 1219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ0)
10099ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
101 nn0addcl 11924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0)
102101expcom 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0))
103102adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0))
1041033ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0))
105104ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0))
106 elfzonn0 13074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
107105, 106impel 508 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0)
10890adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℤ)
1091083ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
110109adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐿 ∈ ℤ)
111 nn0re 11898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
112111adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
113112, 57anim12ci 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
114 df-3an 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) ↔ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
115113, 114sylibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
116 ltletr 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 < 𝑁𝑁𝐿) → 𝑀 < 𝐿))
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 < 𝑁𝑁𝐿) → 𝑀 < 𝐿))
118 elnn0z 11986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀))
119 0red 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0)) → 0 ∈ ℝ)
120 zre 11977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
121120adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℝ)
122112adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝐿 ∈ ℝ)
123 lelttr 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
124119, 121, 122, 123syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0)) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
125124expd 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0)) → (0 ≤ 𝑀 → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿)))
126125impancom 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀) → ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿)))
127118, 126sylbi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿)))
128127adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿)))
129128impcom 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿))
130117, 129syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 < 𝑁𝑁𝐿) → 0 < 𝐿))
131130expcomd 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝐿 → (𝑀 < 𝑁 → 0 < 𝐿)))
1321313impia 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 < 𝑁 → 0 < 𝐿))
133132imp 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝐿)
134 elnnz 11983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ ℕ ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
135110, 133, 134sylanbrc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ)
136135ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ)
137 elfzo0 13070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑁𝑀)))
138 nn0readdcl 11953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ)
139138expcom 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ))
140139ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ))
141140impcom 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ)
14225adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
143142adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
144143adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝑁 ∈ ℝ)
145111ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝐿 ∈ ℝ)
146141, 144, 1453jca 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
147146ex 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℕ0 → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ)))
148147adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ)))
149148impcom 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀))) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
150149adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀))) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
151 nn0re 11898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℝ)
152151adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝑥 ∈ ℝ)
15324ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℝ)
154153adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝑀 ∈ ℝ)
155152, 154, 144ltaddsubd 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁𝑥 < (𝑁𝑀)))
156 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁))
157156ex 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑁𝐿 → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁)))
158157com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁 → (𝑁𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁)))
159155, 158sylbird 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑥 < (𝑁𝑀) → (𝑁𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁)))
160159impancom 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁)))
161160impcom 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀))) → (𝑁𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁))
162161impac 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀))) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁𝑁𝐿))
163 ltletr 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (((𝑥 + 𝑀) < 𝑁𝑁𝐿) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
164150, 162, 163sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀))) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)
165164exp31 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑁𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)))
166165com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝐿 → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)))
167166ex 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐿 → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))))
168167adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐿 → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))))
1691683imp 1105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
170169ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
171170com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
1721713adant2 1125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑁𝑀)) → (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
173137, 172sylbi 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
174173impcom 410 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)
175 elfzo0 13070 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^𝐿) ↔ ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
176107, 136, 174, 175syl3anbrc 1337 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^𝐿))
177 repswsymb 14128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀)) = 𝑆)
17898, 100, 176, 177syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀)) = 𝑆)
179178mpteq2dva 5152 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ 𝑆))
180333ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
181180adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
182573ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
183 ltle 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁𝑀𝑁))
184182, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 < 𝑁𝑀𝑁))
185263ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
186185, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (0 ≤ (𝑁𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
187184, 186sylibrd 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 < 𝑁 → 0 ≤ (𝑁𝑀)))
188187imp 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 ≤ (𝑁𝑀))
189181, 188, 54sylanbrc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
19097, 189jca 514 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆𝑉 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))
191190adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑆𝑉 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))
192 reps 14124 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆𝑉 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ 𝑆))
193192eqcomd 2825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑉 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ 𝑆) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
194191, 193syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ 𝑆) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
195179, 194eqtrd 2854 . . . . . . . . . 10 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
196195ex 415 . . . . . . . . 9 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((0 ≤ 𝑀𝑁𝐿) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
19796, 196sylbid 242 . . . . . . . 8 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
198197impcom 410 . . . . . . 7 (((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
19986, 198eqtrd 2854 . . . . . 6 (((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
200 iffalse 4474 . . . . . . . 8 (¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = ∅)
201200adantr 483 . . . . . . 7 ((¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = ∅)
20296notbid 320 . . . . . . . . 9 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ↔ ¬ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)))
203 ianor 977 . . . . . . . . . . 11 (¬ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿) ↔ (¬ 0 ≤ 𝑀 ∨ ¬ 𝑁𝐿))
204 nn0ge0 11914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
205 pm2.24 124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ≤ 𝑀 → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
206204, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
207206adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
2082073ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
209208adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
210209com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (¬ 0 ≤ 𝑀 → ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
211 pm2.24 124 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁𝐿 → (¬ 𝑁𝐿 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
2122113ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (¬ 𝑁𝐿 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
213212adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ 𝑁𝐿 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
214213com12 32 . . . . . . . . . . . 12 𝑁𝐿 → ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
215210, 214jaoi 853 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 0 ≤ 𝑀 ∨ ¬ 𝑁𝐿) → ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
216203, 215sylbi 219 . . . . . . . . . 10 (¬ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿) → ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
217216com12 32 . . . . . . . . 9 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
218202, 217sylbid 242 . . . . . . . 8 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
219218impcom 410 . . . . . . 7 ((¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅)
220201, 219eqtr4d 2857 . . . . . 6 ((¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
221199, 220pm2.61ian 810 . . . . 5 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
222221ex 415 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 < 𝑁 → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
22385, 222sylbid 242 . . 3 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (¬ 𝑁𝑀 → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
22481, 223pm2.61d 180 . 2 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
22510, 15, 2243eqtrd 2858 1 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑆 repeatS 𝐿) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ∉ wnel 3121   ⊆ wss 3934  ∅c0 4289  ifcif 4465  ⟨cop 4565   class class class wbr 5057   ↦ cmpt 5137  dom cdm 5548  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529   + caddc 10532   < clt 10667   ≤ cle 10668   − cmin 10862  ℕcn 11630  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ..^cfzo 13025  Word cword 13853   substr csubstr 13994   repeatS creps 14122 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-hash 13683  df-word 13854  df-substr 13995  df-reps 14123 This theorem is referenced by:  repswcshw  14166
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