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Theorem repswswrd 14681
Description: A subword of a "repeated symbol word" is again a "repeated symbol word". The assumption 𝑁𝐿 is required, because otherwise (𝐿 < 𝑁): ((𝑆 repeatS 𝐿) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ∅, but for M < N (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))) ≠ ∅! The proof is relatively long because the border cases (𝑀 = 𝑁, ¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) must have been considered. (Contributed by AV, 6-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswswrd (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑆 repeatS 𝐿) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))

Proof of Theorem repswswrd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 repsw 14672 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉)
2 nn0z 12532 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
3 nn0z 12532 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
42, 3anim12i 614 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
51, 4anim12i 614 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
6 3anass 1096 . . . . 5 (((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ ((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
75, 6sylibr 233 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
873adant3 1133 . . 3 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9 swrdval 14540 . . 3 (((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝐿) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = if((𝑀..^𝑁) ⊆ dom (𝑆 repeatS 𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅))
108, 9syl 17 . 2 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑆 repeatS 𝐿) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = if((𝑀..^𝑁) ⊆ dom (𝑆 repeatS 𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅))
11 repsf 14670 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉)
12113ad2ant1 1134 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑆 repeatS 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉)
1312fdmd 6683 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → dom (𝑆 repeatS 𝐿) = (0..^𝐿))
1413sseq2d 3980 . . 3 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑀..^𝑁) ⊆ dom (𝑆 repeatS 𝐿) ↔ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿)))
1514ifbid 4513 . 2 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ dom (𝑆 repeatS 𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅))
16 fzon 13602 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑀..^𝑁) = ∅))
174, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑀..^𝑁) = ∅))
1817adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑀..^𝑁) = ∅))
1918biimpac 480 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
20 0ss 4360 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ (0..^𝐿)
2119, 20eqsstrdi 4002 . . . . . . 7 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿))
22 iftrue 4496 . . . . . . 7 ((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))))
24 nn0re 12430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
25 nn0re 12430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2624, 25anim12ci 615 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
2726adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
28 suble0 11677 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑀) ≤ 0 ↔ 𝑁𝑀))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁𝑀) ≤ 0 ↔ 𝑁𝑀))
3029biimparc 481 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑁𝑀) ≤ 0)
31 0z 12518 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
32 zsubcl 12553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
333, 2, 32syl2anr 598 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
3433adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
3534adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
36 fzon 13602 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ) → ((𝑁𝑀) ≤ 0 ↔ (0..^(𝑁𝑀)) = ∅))
3731, 35, 36sylancr 588 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → ((𝑁𝑀) ≤ 0 ↔ (0..^(𝑁𝑀)) = ∅))
3830, 37mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (0..^(𝑁𝑀)) = ∅)
3938mpteq1d 5204 . . . . . 6 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))))
40 mpt0 6647 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = ∅
41 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑁 → (𝑁𝑀) = (𝑁𝑁))
4241oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑁 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑁)))
43 nn0cn 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
4443adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
4544subidd 11508 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑁) = 0)
4645adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝑁) = 0)
4746oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑁)) = (𝑆 repeatS 0))
48 repsw0 14674 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆𝑉 → (𝑆 repeatS 0) = ∅)
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑆 repeatS 0) = ∅)
5047, 49eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑁)) = ∅)
5142, 50sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅)
5251ex 414 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 = 𝑁 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
5352adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀 = 𝑁 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
5453com12 32 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑁 → ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
55 elnn0z 12520 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁𝑀)))
56 subge0 11676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
5725, 24, 56syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑁𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
5824, 25anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
59 letri3 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
6160biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑁𝑁𝑀) → 𝑀 = 𝑁))
6261expd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀𝑀 = 𝑁)))
6357, 62sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀𝑀 = 𝑁)))
6463com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀 → (0 ≤ (𝑁𝑀) → 𝑀 = 𝑁)))
6564adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝑀 → (0 ≤ (𝑁𝑀) → 𝑀 = 𝑁)))
6665impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (0 ≤ (𝑁𝑀) → 𝑀 = 𝑁))
6766com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ≤ (𝑁𝑀) → ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝑀 = 𝑁))
6855, 67simplbiim 506 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝑀 = 𝑁))
6968com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝑀 = 𝑁))
7069con3d 152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → ¬ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))
7170impcom 409 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ (𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)))) → ¬ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
72 df-nel 3047 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑀) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
7371, 72sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ (𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)))) → (𝑁𝑀) ∉ ℕ0)
74 repsundef 14668 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝑀) ∉ ℕ0 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ (𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)))) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅)
7675ex 414 . . . . . . . 8 𝑀 = 𝑁 → ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
7754, 76pm2.61i 182 . . . . . . 7 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅)
7840, 77eqtr4id 2792 . . . . . 6 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
7923, 39, 783eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
8079expcom 415 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝑀 → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
81803adant3 1133 . . 3 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑁𝑀 → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
82 ltnle 11242 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝑀))
8358, 82syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝑀))
8483bicomd 222 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁𝑀𝑀 < 𝑁))
85843ad2ant2 1135 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (¬ 𝑁𝑀𝑀 < 𝑁))
8622adantr 482 . . . . . . 7 (((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))))
8743ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
8887adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
89 0zd 12519 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆𝑉 → 0 ∈ ℤ)
90 nn0z 12532 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)
9189, 90anim12i 614 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
92913ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
9392adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
94 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 < 𝑁)
95 ssfzo12bi 13676 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ↔ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)))
9688, 93, 94, 95syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ↔ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)))
97 simpl1l 1225 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑆𝑉)
9897ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝑆𝑉)
99 simpl1r 1226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ0)
10099ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
101 nn0addcl 12456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0)
102101expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0))
103102adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0))
1041033ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0))
105104ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0))
106 elfzonn0 13626 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
107105, 106impel 507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0)
10890adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℤ)
1091083ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
110109adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐿 ∈ ℤ)
111 nn0re 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
112111adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
113112, 58anim12ci 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
114 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) ↔ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
115113, 114sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
116 ltletr 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 < 𝑁𝑁𝐿) → 𝑀 < 𝐿))
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 < 𝑁𝑁𝐿) → 𝑀 < 𝐿))
118 elnn0z 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀))
119 0red 11166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0)) → 0 ∈ ℝ)
120 zre 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
121120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℝ)
122112adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝐿 ∈ ℝ)
123 lelttr 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
124119, 121, 122, 123syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0)) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
125124expd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0)) → (0 ≤ 𝑀 → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿)))
126125impancom 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀) → ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿)))
127118, 126sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿)))
128127adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿)))
129128impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿))
130117, 129syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 < 𝑁𝑁𝐿) → 0 < 𝐿))
131130expcomd 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝐿 → (𝑀 < 𝑁 → 0 < 𝐿)))
1321313impia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 < 𝑁 → 0 < 𝐿))
133132imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝐿)
134 elnnz 12517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ ℕ ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
135110, 133, 134sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ)
136135ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ)
137 elfzo0 13622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑁𝑀)))
138 nn0readdcl 12487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ)
139138expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ))
140139ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ))
141140impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ)
14225adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
143142adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
144143adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝑁 ∈ ℝ)
145111ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝐿 ∈ ℝ)
146141, 144, 1453jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
147146ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℕ0 → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ)))
148147adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ)))
149148impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀))) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
150149adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀))) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
151 nn0re 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℝ)
152151adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝑥 ∈ ℝ)
15324ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℝ)
154153adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → 𝑀 ∈ ℝ)
155152, 154, 144ltaddsubd 11763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁𝑥 < (𝑁𝑀)))
156 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁))
157156ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑁𝐿 → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁)))
158157com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁 → (𝑁𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁)))
159155, 158sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑥 < (𝑁𝑀) → (𝑁𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁)))
160159impancom 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁)))
161160impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀))) → (𝑁𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁))
162161impac 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀))) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁𝑁𝐿))
163 ltletr 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (((𝑥 + 𝑀) < 𝑁𝑁𝐿) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
164150, 162, 163sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀))) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)
165164exp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑁𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)))
166165com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝐿 → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)))
167166ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐿 → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))))
168167adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐿 → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))))
1691683imp 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
170169ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
171170com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝑁𝑀)) → (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
1721713adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑁𝑀)) → (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
173137, 172sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
174173impcom 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)
175 elfzo0 13622 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^𝐿) ↔ ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))
176107, 136, 174, 175syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^𝐿))
177 repswsymb 14671 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀)) = 𝑆)
17898, 100, 176, 177syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀)) = 𝑆)
179178mpteq2dva 5209 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ 𝑆))
180333ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
181180adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
182583ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
183 ltle 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁𝑀𝑁))
184182, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 < 𝑁𝑀𝑁))
185263ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
186185, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (0 ≤ (𝑁𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
187184, 186sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 < 𝑁 → 0 ≤ (𝑁𝑀)))
188187imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 ≤ (𝑁𝑀))
189181, 188, 55sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
19097, 189jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆𝑉 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))
191190adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑆𝑉 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))
192 reps 14667 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆𝑉 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ 𝑆))
193192eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑉 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ 𝑆) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
194191, 193syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ 𝑆) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
195179, 194eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
196195ex 414 . . . . . . . . 9 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((0 ≤ 𝑀𝑁𝐿) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
19796, 196sylbid 239 . . . . . . . 8 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
198197impcom 409 . . . . . . 7 (((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
19986, 198eqtrd 2773 . . . . . 6 (((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
200 iffalse 4499 . . . . . . . 8 (¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = ∅)
201200adantr 482 . . . . . . 7 ((¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = ∅)
20296notbid 318 . . . . . . . . 9 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ↔ ¬ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿)))
203 ianor 981 . . . . . . . . . . 11 (¬ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿) ↔ (¬ 0 ≤ 𝑀 ∨ ¬ 𝑁𝐿))
204 nn0ge0 12446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
205 pm2.24 124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ≤ 𝑀 → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
206204, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
207206adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
2082073ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
209208adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
210209com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (¬ 0 ≤ 𝑀 → ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
211 pm2.24 124 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁𝐿 → (¬ 𝑁𝐿 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
2122113ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (¬ 𝑁𝐿 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
213212adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ 𝑁𝐿 → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
214213com12 32 . . . . . . . . . . . 12 𝑁𝐿 → ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
215210, 214jaoi 856 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 0 ≤ 𝑀 ∨ ¬ 𝑁𝐿) → ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
216203, 215sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (¬ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿) → ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
217216com12 32 . . . . . . . . 9 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ (0 ≤ 𝑀𝑁𝐿) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
218202, 217sylbid 239 . . . . . . . 8 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅))
219218impcom 409 . . . . . . 7 ((¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)) = ∅)
220201, 219eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
221199, 220pm2.61ian 811 . . . . 5 ((((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
222221ex 414 . . . 4 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑀 < 𝑁 → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
22385, 222sylbid 239 . . 3 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → (¬ 𝑁𝑀 → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀))))
22481, 223pm2.61d 179 . 2 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
22510, 15, 2243eqtrd 2777 1 (((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝑆 repeatS 𝐿) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑆 repeatS (𝑁𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wnel 3046  wss 3914  c0 4286  ifcif 4490  cop 4596   class class class wbr 5109  cmpt 5192  dom cdm 5637  wf 6496  cfv 6500  (class class class)co 7361  cc 11057  cr 11058  0cc0 11059   + caddc 11062   < clt 11197  cle 11198  cmin 11393  cn 12161  0cn0 12421  cz 12507  ..^cfzo 13576  Word cword 14411   substr csubstr 14537   repeatS creps 14665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-substr 14538  df-reps 14666
This theorem is referenced by:  repswcshw  14709
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