Theorem repsco 14747

Description: Mapping of words commutes with the "repeated symbol" operation. (Contributed by AV, 11-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repsco	⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 repeatS 𝑁)) = ((𝐹‘𝑆) repeatS 𝑁))

Proof of Theorem repsco

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
2		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
4		repswsymb 14681	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥) = 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥) = 𝑆)
6	5	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹‘((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥)) = (𝐹‘𝑆))
7	6	mpteq2dva 5184	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐹‘((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐹‘𝑆)))
8		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
9		repsf 14680	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁):(0..^𝑁)⟶𝐴)
10	9	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑆 repeatS 𝑁):(0..^𝑁)⟶𝐴)
11		fcompt 7066	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝑆 repeatS 𝑁):(0..^𝑁)⟶𝐴) → (𝐹 ∘ (𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐹‘((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥))))
12	8, 10, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐹‘((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥))))
13		fvexd 6837	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑆) ∈ V)
14	13	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑆) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
15	14	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹‘𝑆) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
16		reps 14677	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝑆) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑆) repeatS 𝑁) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐹‘𝑆)))
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹‘𝑆) repeatS 𝑁) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐹‘𝑆)))
18	7, 12, 17	3eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 repeatS 𝑁)) = ((𝐹‘𝑆) repeatS 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5172   ∘ ccom 5620  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  ℕ₀cn0 12381  ..^cfzo 13554   repeatS creps 14675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-reps 14676

This theorem is referenced by: (None)