Theorem repsco 14793

Description: Mapping of words commutes with the "repeated symbol" operation. (Contributed by AV, 11-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repsco	⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 repeatS 𝑁)) = ((𝐹‘𝑆) repeatS 𝑁))

Proof of Theorem repsco

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
2		simpl2 1199	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
4		repswsymb 14727	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥) = 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥) = 𝑆)
6	5	fveq2d 6831	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹‘((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥)) = (𝐹‘𝑆))
7	6	mpteq2dva 5165	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐹‘((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐹‘𝑆)))
8		simp3 1144	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
9		repsf 14726	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁):(0..^𝑁)⟶𝐴)
10	9	3adant3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑆 repeatS 𝑁):(0..^𝑁)⟶𝐴)
11		fcompt 7075	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (𝑆 repeatS 𝑁):(0..^𝑁)⟶𝐴) → (𝐹 ∘ (𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐹‘((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥))))
12	8, 10, 11	syl2anc 590	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐹‘((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥))))
13		fvexd 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑆) ∈ V)
14	13	anim1i 621	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑆) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
15	14	3adant3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹‘𝑆) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
16		reps 14723	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝑆) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑆) repeatS 𝑁) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐹‘𝑆)))
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹‘𝑆) repeatS 𝑁) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐹‘𝑆)))
18	7, 12, 17	3eqtr4d 2784	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 repeatS 𝑁)) = ((𝐹‘𝑆) repeatS 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ↦ cmpt 5153   ∘ ccom 5622  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029  ℕ₀cn0 12428  ..^cfzo 13599   repeatS creps 14721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-reps 14722

This theorem is referenced by: (None)