Theorem repswsymb 14715

Description: The symbols of a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 4-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repswsymb	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝐼) = 𝑆)

Proof of Theorem repswsymb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reps 14711	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
2	1	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
3		eqidd 2730	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑆 = 𝑆)
4		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐼 ∈ (0..^𝑁))
5		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆 ∈ 𝑉)
6	2, 3, 4, 5	fvmptd 6957	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝐼) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  ℕ₀cn0 12418  ..^cfzo 13591   repeatS creps 14709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-reps 14710

This theorem is referenced by:  repswfsts  14722  repswlsw  14723  repswswrd  14725  repswpfx  14726  repswccat  14727  repswrevw  14728  repsco  14782