Theorem repswsymb 14950

Description: The symbols of a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 4-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repswsymb	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝐼) = 𝑆)

Proof of Theorem repswsymb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reps 14946	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
2	1	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
3		eqidd 2764	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑆 = 𝑆)
4		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐼 ∈ (0..^𝑁))
5		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆 ∈ 𝑉)
6	2, 3, 4, 5	fvmptd 7021	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝐼) = 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224  ℕ₀cn0 12630  ..^cfzo 13812   repeatS creps 14944

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-reps 14945

This theorem is used by:  repswfsts  14957  repswlsw  14958  repswswrd  14960  repswpfx  14961  repswccat  14962  repswrevw  14963  repsco  15016