MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repswsymb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repswsymb 14809
Description: The symbols of a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 4-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswsymb ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝐼) = 𝑆)

Proof of Theorem repswsymb
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reps 14805 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
213adant3 1131 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
3 eqidd 2736 . 2 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑆 = 𝑆)
4 simp3 1137 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐼 ∈ (0..^𝑁))
5 simp1 1135 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆𝑉)
62, 3, 4, 5fvmptd 7023 1 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝐼) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  0cn0 12524  ..^cfzo 13691   repeatS creps 14803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-reps 14804
This theorem is referenced by:  repswfsts  14816  repswlsw  14817  repswswrd  14819  repswpfx  14820  repswccat  14821  repswrevw  14822  repsco  14876
  Copyright terms: Public domain W3C validator