Theorem repswccat 14740

Description: The concatenation of two "repeated symbol words" with the same symbol is again a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 4-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repswccat	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem repswccat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repswlen 14730	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
2	1	3adant3 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
3		repswlen 14730	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀)
4	3	3adant2 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀)
5	2, 4	oveq12d 7429	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))) = (𝑁 + 𝑀))
6	5	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) = (0..^(𝑁 + 𝑀)))
7		simp1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ 𝑉)
8	7	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑆 ∈ 𝑉)
9		simpl2 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10	2	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
11	10	eleq2d 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
12	11	biimpa 475	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
13	8, 9, 12	3jca 1126	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
14	13	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
15		repswsymb 14728	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥) = 𝑆)
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥) = 𝑆)
17	7	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑆 ∈ 𝑉)
18		simpll3 1212	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
19	2, 4	jca 510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀))
20		simpr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)))
21	20	anim1i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
22		nn0z 12587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
23		nn0z 12587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
24	22, 23	anim12i 611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
25	24	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
26		fzocatel 13700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))
27	21, 25, 26	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))
28	27	exp31 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
29	28	3adant1 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
30		oveq12 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))) = (𝑁 + 𝑀))
31	30	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) = (0..^(𝑁 + 𝑀)))
32	31	eleq2d 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))))
33		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
34	33	eleq2d 2817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
35	34	notbid 317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
36	35	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
37		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (𝑥 − 𝑁))
38	37	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → ((𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀)))
39	38	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀)))
40	36, 39	imbi12d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
41	32, 40	imbi12d 343	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀)))))
42	29, 41	imbitrrid 245	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)))))
43	19, 42	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))))
44	43	imp31 416	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))
45		repswsymb 14728	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = 𝑆)
46	17, 18, 44, 45	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = 𝑆)
47	16, 46	ifeqda 4563	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))) = 𝑆)
48	6, 47	mpteq12dva 5236	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
49		ovex 7444	. . . 4 ⊢ (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V
50		ovex 7444	. . . 4 ⊢ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V
51	49, 50	pm3.2i 469	. . 3 ⊢ ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V ∧ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V)
52		ccatfval 14527	. . 3 ⊢ (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V ∧ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))))
53	51, 52	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))))
54		nn0addcl 12511	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
55	54	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
56		reps 14724	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
57	7, 55, 56	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
58	48, 53, 57	3eqtr4d 2780	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472  ifcif 4527   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112   + caddc 11115   − cmin 11448  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ..^cfzo 13631  ♯chash 14294   ++ cconcat 14524   repeatS creps 14722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-concat 14525  df-reps 14723

This theorem is referenced by:  repswcshw  14766  repsw2  14905  repsw3  14906