Theorem repswccat 14693

Description: The concatenation of two "repeated symbol words" with the same symbol is again a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 4-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repswccat	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem repswccat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repswlen 14683	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
2	1	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
3		repswlen 14683	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀)
4	3	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀)
5	2, 4	oveq12d 7364	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))) = (𝑁 + 𝑀))
6	5	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) = (0..^(𝑁 + 𝑀)))
7		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ 𝑉)
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑆 ∈ 𝑉)
9		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10	2	oveq2d 7362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
11	10	eleq2d 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
12	11	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
13	8, 9, 12	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
14	13	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
15		repswsymb 14681	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥) = 𝑆)
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥) = 𝑆)
17	7	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑆 ∈ 𝑉)
18		simpll3 1215	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
19	2, 4	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀))
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)))
21	20	anim1i 615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
22		nn0z 12493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
23		nn0z 12493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
24	22, 23	anim12i 613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
25	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
26		fzocatel 13629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))
27	21, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))
28	27	exp31 419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
29	28	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
30		oveq12 7355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))) = (𝑁 + 𝑀))
31	30	oveq2d 7362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) = (0..^(𝑁 + 𝑀)))
32	31	eleq2d 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))))
33		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
34	33	eleq2d 2817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
35	34	notbid 318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
37		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (𝑥 − 𝑁))
38	37	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → ((𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀)))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀)))
40	36, 39	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
41	32, 40	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀)))))
42	29, 41	imbitrrid 246	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)))))
43	19, 42	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))))
44	43	imp31 417	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))
45		repswsymb 14681	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = 𝑆)
46	17, 18, 44, 45	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = 𝑆)
47	16, 46	ifeqda 4509	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))) = 𝑆)
48	6, 47	mpteq12dva 5175	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
49		ovex 7379	. . . 4 ⊢ (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V
50		ovex 7379	. . . 4 ⊢ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V
51	49, 50	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V ∧ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V)
52		ccatfval 14480	. . 3 ⊢ (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V ∧ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))))
53	51, 52	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))))
54		nn0addcl 12416	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
55	54	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
56		reps 14677	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
57	7, 55, 56	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
58	48, 53, 57	3eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ifcif 4472   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006   + caddc 11009   − cmin 11344  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ..^cfzo 13554  ♯chash 14237   ++ cconcat 14477   repeatS creps 14675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-concat 14478  df-reps 14676

This theorem is referenced by:  repswcshw  14719  repsw2  14857  repsw3  14858