Theorem repswccat 14860

Description: The concatenation of two "repeated symbol words" with the same symbol is again a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 4-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repswccat	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem repswccat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repswlen 14850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
2	1	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
3		repswlen 14850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀)
4	3	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀)
5	2, 4	oveq12d 7432	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))) = (𝑁 + 𝑀))
6	5	oveq2d 7430	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) = (0..^(𝑁 + 𝑀)))
7		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ 𝑉)
8	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑆 ∈ 𝑉)
9		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10	2	oveq2d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
11	10	eleq2d 2846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
12	11	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
13	8, 9, 12	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
14	13	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
15		repswsymb 14848	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥) = 𝑆)
16	14, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥) = 𝑆)
17	7	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑆 ∈ 𝑉)
18		simpll3 1233	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
19	2, 4	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀))
20		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)))
21	20	anim1i 627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
22		nn0z 12642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
23		nn0z 12642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
24	22, 23	anim12i 625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
25	24	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
26		fzocatel 13788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))
27	21, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))
28	27	exp31 425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
29	28	3adant1 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
30		oveq12 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))) = (𝑁 + 𝑀))
31	30	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) = (0..^(𝑁 + 𝑀)))
32	31	eleq2d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))))
33		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
34	33	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
35	34	notbid 321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
36	35	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
37		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (𝑥 − 𝑁))
38	37	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → ((𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀)))
39	38	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀)))
40	36, 39	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
41	32, 40	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀)))))
42	29, 41	imbitrrid 249	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)))))
43	19, 42	mpcom 39	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))))
44	43	imp31 423	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))
45		repswsymb 14848	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = 𝑆)
46	17, 18, 44, 45	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = 𝑆)
47	16, 46	ifeqda 4519	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))) = 𝑆)
48	6, 47	mpteq12dva 5191	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
49		ovex 7447	. . . 4 ⊢ (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V
50		ovex 7447	. . . 4 ⊢ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V
51	49, 50	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V ∧ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V)
52		ccatfval 14641	. . 3 ⊢ (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V ∧ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))))
53	51, 52	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))))
54		nn0addcl 12566	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
55	54	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
56		reps 14844	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
57	7, 55, 56	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
58	48, 53, 57	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ifcif 4482   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11127   + caddc 11130   − cmin 11468  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ..^cfzo 13712  ♯chash 14397   ++ cconcat 14638   repeatS creps 14842

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-concat 14639  df-reps 14843

This theorem is used by:  repswcshw  14886  repsw2  15026  repsw3  15027