Theorem repswccat 14799

Description: The concatenation of two "repeated symbol words" with the same symbol is again a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 4-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repswccat	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem repswccat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repswlen 14789	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
2	1	3adant3 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
3		repswlen 14789	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀)
4	3	3adant2 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀)
5	2, 4	oveq12d 7414	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))) = (𝑁 + 𝑀))
6	5	oveq2d 7412	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) = (0..^(𝑁 + 𝑀)))
7		simp1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ 𝑉)
8	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑆 ∈ 𝑉)
9		simpl2 1206	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10	2	oveq2d 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
11	10	eleq2d 2848	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
12	11	biimpa 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
13	8, 9, 12	3jca 1141	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
14	13	adantlr 725	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
15		repswsymb 14787	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥) = 𝑆)
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥) = 𝑆)
17	7	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑆 ∈ 𝑉)
18		simpll3 1228	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
19	2, 4	jca 519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀))
20		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)))
21	20	anim1i 624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
22		nn0z 12592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
23		nn0z 12592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
24	22, 23	anim12i 622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
25	24	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
26		fzocatel 13735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))
27	21, 25, 26	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))
28	27	exp31 423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
29	28	3adant1 1143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
30		oveq12 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))) = (𝑁 + 𝑀))
31	30	oveq2d 7412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) = (0..^(𝑁 + 𝑀)))
32	31	eleq2d 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))))
33		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
34	33	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
35	34	notbid 320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
36	35	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
37		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (𝑥 − 𝑁))
38	37	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → ((𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀)))
39	38	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀)))
40	36, 39	imbi12d 346	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
41	32, 40	imbi12d 346	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 − 𝑁) ∈ (0..^𝑀)))))
42	29, 41	imbitrrid 248	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)))))
43	19, 42	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))))
44	43	imp31 421	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))
45		repswsymb 14787	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = 𝑆)
46	17, 18, 44, 45	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = 𝑆)
47	16, 46	ifeqda 4517	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))) = 𝑆)
48	6, 47	mpteq12dva 5186	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
49		ovex 7429	. . . 4 ⊢ (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V
50		ovex 7429	. . . 4 ⊢ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V
51	49, 50	pm3.2i 474	. . 3 ⊢ ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V ∧ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V)
52		ccatfval 14586	. . 3 ⊢ (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V ∧ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))))
53	51, 52	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))))
54		nn0addcl 12516	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
55	54	3adant1 1143	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
56		reps 14783	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
57	7, 55, 56	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
58	48, 53, 57	3eqtr4d 2807	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  ifcif 4480   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  0cc0 11073   + caddc 11076   − cmin 11414  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  ..^cfzo 13659  ♯chash 14343   ++ cconcat 14583   repeatS creps 14781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-hash 14344  df-concat 14584  df-reps 14782

This theorem is referenced by:  repswcshw  14825  repsw2  14963  repsw3  14964