Theorem repswpfx 14742

Description: A prefix of a repeated symbol word is a repeated symbol word. (Contributed by AV, 11-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
repswpfx	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿))

Proof of Theorem repswpfx

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repsw 14732	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
2	1	3adant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
3		repswlen 14733	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
4	3	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0...𝑁))
5	4	eleq2d 2818	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝐿 ∈ (0...𝑁)))
6	5	biimp3ar 1469	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))
7		pfxlen 14640	. . . 4 ⊢ (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = 𝐿)
8	2, 6, 7	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = 𝐿)
9		elfznn0 13601	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ0)
10		repswlen 14733	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) = 𝐿)
11	9, 10	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) = 𝐿)
12	11	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) = 𝐿)
13	8, 12	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)))
14		simpl1 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑆 ∈ 𝑉)
15		simpl2 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		elfzuz3 13505	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
17	16	3ad2ant3 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
18	8	fveq2d 6895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (ℤ≥‘(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) = (ℤ≥‘𝐿))
19	17, 18	eleqtrrd 2835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))))
20		fzoss2 13667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) → (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) ⊆ (0..^𝑁))
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) ⊆ (0..^𝑁))
22	21	sselda 3982	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
23		repswsymb 14731	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖) = 𝑆)
24	14, 15, 22, 23	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖) = 𝑆)
25	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
26	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))
27	8	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) = (0..^𝐿))
28	27	eleq2d 2818	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝐿)))
29	28	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝐿))
30		pfxfv 14639	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝐿)) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖))
31	25, 26, 29, 30	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖))
32	9	3ad2ant3 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
33	32	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
34		repswsymb 14731	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖) = 𝑆)
35	14, 33, 29, 34	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖) = 𝑆)
36	24, 31, 35	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))
37	36	ralrimiva 3145	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))(((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))
38		pfxcl 14634	. . . 4 ⊢ ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉 → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
39	2, 38	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
40		repsw 14732	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉)
41	9, 40	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉)
42		eqwrd 14514	. . 3 ⊢ ((((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿) ↔ ((♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))(((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))))
43	39, 41, 42	3imp3i2an 1344	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿) ↔ ((♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))(((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))))
44	13, 37, 43	mpbir2and 710	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  ℕ₀cn0 12479  ℤ_≥cuz 12829  ...cfz 13491  ..^cfzo 13634  ♯chash 14297  Word cword 14471   prefix cpfx 14627   repeatS creps 14725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-hash 14298  df-word 14472  df-substr 14598  df-pfx 14628  df-reps 14726

This theorem is referenced by:  repswcshw  14769