Theorem repswpfx 14138

Description: A prefix of a repeated symbol word is a repeated symbol word. (Contributed by AV, 11-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
repswpfx	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿))

Proof of Theorem repswpfx

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repsw 14128	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
2	1	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
3		repswlen 14129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
4	3	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0...𝑁))
5	4	eleq2d 2875	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝐿 ∈ (0...𝑁)))
6	5	biimp3ar 1467	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))
7		pfxlen 14036	. . . 4 ⊢ (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = 𝐿)
8	2, 6, 7	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = 𝐿)
9		elfznn0 12995	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ0)
10		repswlen 14129	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) = 𝐿)
11	9, 10	sylan2 595	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) = 𝐿)
12	11	3adant2 1128	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) = 𝐿)
13	8, 12	eqtr4d 2836	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)))
14		simpl1 1188	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑆 ∈ 𝑉)
15		simpl2 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		elfzuz3 12899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
17	16	3ad2ant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
18	8	fveq2d 6649	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (ℤ≥‘(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) = (ℤ≥‘𝐿))
19	17, 18	eleqtrrd 2893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))))
20		fzoss2 13060	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) → (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) ⊆ (0..^𝑁))
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) ⊆ (0..^𝑁))
22	21	sselda 3915	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
23		repswsymb 14127	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖) = 𝑆)
24	14, 15, 22, 23	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖) = 𝑆)
25	2	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
26	6	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))
27	8	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) = (0..^𝐿))
28	27	eleq2d 2875	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝐿)))
29	28	biimpa 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝐿))
30		pfxfv 14035	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝐿)) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖))
31	25, 26, 29, 30	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖))
32	9	3ad2ant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
33	32	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
34		repswsymb 14127	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖) = 𝑆)
35	14, 33, 29, 34	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖) = 𝑆)
36	24, 31, 35	3eqtr4d 2843	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))
37	36	ralrimiva 3149	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))(((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))
38		pfxcl 14030	. . . 4 ⊢ ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉 → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
39	2, 38	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
40		repsw 14128	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉)
41	9, 40	sylan2 595	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉)
42		eqwrd 13900	. . 3 ⊢ ((((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿) ↔ ((♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))(((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))))
43	39, 41, 42	3imp3i2an 1342	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿) ↔ ((♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))(((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))))
44	13, 37, 43	mpbir2and 712	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ⊆ wss 3881  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  ℕ₀cn0 11885  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028  ♯chash 13686  Word cword 13857   prefix cpfx 14023   repeatS creps 14121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-reps 14122

This theorem is referenced by:  repswcshw  14165