Theorem repswpfx 14757

Description: A prefix of a repeated symbol word is a repeated symbol word. (Contributed by AV, 11-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
repswpfx	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿))

Proof of Theorem repswpfx

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repsw 14747	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
2	1	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
3		repswlen 14748	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
4	3	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0...𝑁))
5	4	eleq2d 2815	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝐿 ∈ (0...𝑁)))
6	5	biimp3ar 1472	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))
7		pfxlen 14655	. . . 4 ⊢ (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = 𝐿)
8	2, 6, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = 𝐿)
9		elfznn0 13588	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ0)
10		repswlen 14748	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) = 𝐿)
11	9, 10	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) = 𝐿)
12	11	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) = 𝐿)
13	8, 12	eqtr4d 2768	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)))
14		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑆 ∈ 𝑉)
15		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		elfzuz3 13489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
17	16	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
18	8	fveq2d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (ℤ≥‘(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) = (ℤ≥‘𝐿))
19	17, 18	eleqtrrd 2832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))))
20		fzoss2 13655	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) → (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) ⊆ (0..^𝑁))
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) ⊆ (0..^𝑁))
22	21	sselda 3949	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
23		repswsymb 14746	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖) = 𝑆)
24	14, 15, 22, 23	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖) = 𝑆)
25	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
26	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))
27	8	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) = (0..^𝐿))
28	27	eleq2d 2815	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝐿)))
29	28	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝐿))
30		pfxfv 14654	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝐿)) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖))
31	25, 26, 29, 30	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖))
32	9	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
33	32	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
34		repswsymb 14746	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖) = 𝑆)
35	14, 33, 29, 34	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖) = 𝑆)
36	24, 31, 35	3eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))
37	36	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))(((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))
38		pfxcl 14649	. . . 4 ⊢ ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉 → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
39	2, 38	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
40		repsw 14747	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉)
41	9, 40	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉)
42		eqwrd 14529	. . 3 ⊢ ((((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿) ↔ ((♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))(((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))))
43	39, 41, 42	3imp3i2an 1346	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿) ↔ ((♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))(((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))))
44	13, 37, 43	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  ℕ₀cn0 12449  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485   prefix cpfx 14642   repeatS creps 14740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-substr 14613  df-pfx 14643  df-reps 14741

This theorem is referenced by:  repswcshw  14784