MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repswpfx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repswpfx 14498
Description: A prefix of a repeated symbol word is a repeated symbol word. (Contributed by AV, 11-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
repswpfx ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿))

Proof of Theorem repswpfx
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 repsw 14488 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
213adant3 1131 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
3 repswlen 14489 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
43oveq2d 7291 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0...𝑁))
54eleq2d 2824 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝐿 ∈ (0...𝑁)))
65biimp3ar 1469 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))
7 pfxlen 14396 . . . 4 (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = 𝐿)
82, 6, 7syl2anc 584 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = 𝐿)
9 elfznn0 13349 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ0)
10 repswlen 14489 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) = 𝐿)
119, 10sylan2 593 . . . 4 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) = 𝐿)
12113adant2 1130 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) = 𝐿)
138, 12eqtr4d 2781 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)))
14 simpl1 1190 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑆𝑉)
15 simpl2 1191 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16 elfzuz3 13253 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐿))
17163ad2ant3 1134 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐿))
188fveq2d 6778 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (ℤ‘(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) = (ℤ𝐿))
1917, 18eleqtrrd 2842 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))))
20 fzoss2 13415 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) → (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) ⊆ (0..^𝑁))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) ⊆ (0..^𝑁))
2221sselda 3921 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
23 repswsymb 14487 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖) = 𝑆)
2414, 15, 22, 23syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖) = 𝑆)
252adantr 481 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
266adantr 481 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))
278oveq2d 7291 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) = (0..^𝐿))
2827eleq2d 2824 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝐿)))
2928biimpa 477 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝐿))
30 pfxfv 14395 . . . . 5 (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝐿)) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖))
3125, 26, 29, 30syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖))
3293ad2ant3 1134 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
3332adantr 481 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
34 repswsymb 14487 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0𝑖 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖) = 𝑆)
3514, 33, 29, 34syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖) = 𝑆)
3624, 31, 353eqtr4d 2788 . . 3 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))
3736ralrimiva 3103 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))(((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))
38 pfxcl 14390 . . . 4 ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉 → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
392, 38syl 17 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
40 repsw 14488 . . . 4 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉)
419, 40sylan2 593 . . 3 ((𝑆𝑉𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉)
42 eqwrd 14260 . . 3 ((((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿) ↔ ((♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))(((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))))
4339, 41, 423imp3i2an 1344 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿) ↔ ((♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))(((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))))
4413, 37, 43mpbir2and 710 1 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  wss 3887  cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  0cn0 12233  cuz 12582  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  chash 14044  Word cword 14217   prefix cpfx 14383   repeatS creps 14481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-reps 14482
This theorem is referenced by:  repswcshw  14525
  Copyright terms: Public domain W3C validator