MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repswlsw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repswlsw 14124
Description: The last symbol of a nonempty "repeated symbol word". (Contributed by AV, 4-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswlsw ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (lastS‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑆)

Proof of Theorem repswlsw
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11883 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 repsw 14117 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
31, 2sylan2 594 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
4 lsw 13896 . . 3 ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉 → (lastS‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = ((𝑆 repeatS 𝑁)‘((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1)))
53, 4syl 17 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (lastS‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = ((𝑆 repeatS 𝑁)‘((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1)))
6 simpl 485 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆𝑉)
71adantl 484 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8 repswlen 14118 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
91, 8sylan2 594 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
109oveq1d 7148 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) = (𝑁 − 1))
11 fzo0end 13113 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
1211adantl 484 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
1310, 12eqeltrd 2911 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) ∈ (0..^𝑁))
14 repswsymb 14116 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1)) = 𝑆)
156, 7, 13, 14syl3anc 1367 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1)) = 𝑆)
165, 15eqtrd 2855 1 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (lastS‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  cfv 6331  (class class class)co 7133  0cc0 10515  1c1 10516  cmin 10848  cn 11616  0cn0 11876  ..^cfzo 13017  chash 13675  Word cword 13846  lastSclsw 13894   repeatS creps 14110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-hash 13676  df-word 13847  df-lsw 13895  df-reps 14111
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator