MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressval2 17116
Description: Value of nontrivial structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
ressbas.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ressval2 ((¬ 𝐵𝐴𝑊𝑋𝐴𝑌) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩))

Proof of Theorem ressval2
StepHypRef Expression
1 ressbas.r . . . 4 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
2 ressbas.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
31, 2ressval 17114 . . 3 ((𝑊𝑋𝐴𝑌) → 𝑅 = if(𝐵𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
4 iffalse 4495 . . 3 𝐵𝐴 → if(𝐵𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩))
53, 4sylan9eqr 2798 . 2 ((¬ 𝐵𝐴 ∧ (𝑊𝑋𝐴𝑌)) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩))
653impb 1115 1 ((¬ 𝐵𝐴𝑊𝑋𝐴𝑌) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cin 3909  wss 3910  ifcif 4486  cop 4592  cfv 6496  (class class class)co 7356   sSet csts 17034  ndxcnx 17064  Basecbs 17082  s cress 17111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fv 6504  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-ress 17112
This theorem is referenced by:  ressbas  17117  ressbasOLD  17118  resseqnbas  17121  resslemOLD  17122  ressinbas  17125  ressval3d  17126  ressval3dOLD  17127  ressress  17128  rescabs  17717  rescabsOLD  17718  symgvalstruct  19176  symgvalstructOLD  19177  mgpress  19909  mgpressOLD  19910
  Copyright terms: Public domain W3C validator