MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressid2 17286
Description: General behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
ressbas.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ressid2 ((𝐵𝐴𝑊𝑋𝐴𝑌) → 𝑅 = 𝑊)

Proof of Theorem ressid2
StepHypRef Expression
1 ressbas.r . . . 4 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
2 ressbas.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
31, 2ressval 17285 . . 3 ((𝑊𝑋𝐴𝑌) → 𝑅 = if(𝐵𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
4 iftrue 4554 . . 3 (𝐵𝐴 → if(𝐵𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)) = 𝑊)
53, 4sylan9eqr 2796 . 2 ((𝐵𝐴 ∧ (𝑊𝑋𝐴𝑌)) → 𝑅 = 𝑊)
653impb 1115 1 ((𝐵𝐴𝑊𝑋𝐴𝑌) → 𝑅 = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2103  cin 3969  wss 3970  ifcif 4548  cop 4654  cfv 6572  (class class class)co 7445   sSet csts 17205  ndxcnx 17235  Basecbs 17253  s cress 17282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pr 5450
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5170  df-opab 5232  df-id 5597  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fv 6580  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-ress 17283
This theorem is referenced by:  ressbas  17288  ressbasOLD  17289  resseqnbas  17295  resslemOLD  17296  ress0  17297  ressid  17298  ressinbas  17299  ressress  17302  rescabs  17891  rescabsOLD  17892  0symgefmndeq  19430  snsymgefmndeq  19431  mgpress  20171  mgpressOLD  20172  psgnghm2  21617  evl1maprhm  22397  resvsca  33313  extdg1id  33668
  Copyright terms: Public domain W3C validator