MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressid2 17253
Description: General behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
ressbas.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ressid2 ((𝐵𝐴𝑊𝑋𝐴𝑌) → 𝑅 = 𝑊)

Proof of Theorem ressid2
StepHypRef Expression
1 ressbas.r . . . 4 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
2 ressbas.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
31, 2ressval 17252 . . 3 ((𝑊𝑋𝐴𝑌) → 𝑅 = if(𝐵𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
4 iftrue 4506 . . 3 (𝐵𝐴 → if(𝐵𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)) = 𝑊)
53, 4sylan9eqr 2792 . 2 ((𝐵𝐴 ∧ (𝑊𝑋𝐴𝑌)) → 𝑅 = 𝑊)
653impb 1114 1 ((𝐵𝐴𝑊𝑋𝐴𝑌) → 𝑅 = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3925  wss 3926  ifcif 4500  cop 4607  cfv 6530  (class class class)co 7403   sSet csts 17180  ndxcnx 17210  Basecbs 17226  s cress 17249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-ress 17250
This theorem is referenced by:  ressbas  17255  resseqnbas  17261  ress0  17262  ressid  17263  ressinbas  17264  ressress  17266  rescabs  17844  0symgefmndeq  19373  snsymgefmndeq  19374  mgpress  20108  psgnghm2  21539  evl1maprhm  22315  resvsca  33294  extdg1id  33653
  Copyright terms: Public domain W3C validator