MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressid2 17121
Description: General behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
ressbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ressid2 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 = π‘Š)

Proof of Theorem ressid2
StepHypRef Expression
1 ressbas.r . . . 4 𝑅 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
2 ressbas.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
31, 2ressval 17120 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 = if(𝐡 βŠ† 𝐴, π‘Š, (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ 𝐡)⟩)))
4 iftrue 4493 . . 3 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ if(𝐡 βŠ† 𝐴, π‘Š, (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ 𝐡)⟩)) = π‘Š)
53, 4sylan9eqr 2795 . 2 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝑅 = π‘Š)
653impb 1116 1 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 = π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  ifcif 4487  βŸ¨cop 4593  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   sSet csts 17040  ndxcnx 17070  Basecbs 17088   β†Ύs cress 17117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-ress 17118
This theorem is referenced by:  ressbas  17123  ressbasOLD  17124  resseqnbas  17127  resslemOLD  17128  ress0  17129  ressid  17130  ressinbas  17131  ressress  17134  rescabs  17723  rescabsOLD  17724  0symgefmndeq  19180  snsymgefmndeq  19181  mgpress  19916  mgpressOLD  19917  psgnghm2  21001  resvsca  32168  extdg1id  32409
  Copyright terms: Public domain W3C validator