MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressid2 17220
Description: General behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
ressbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ressid2 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 = π‘Š)

Proof of Theorem ressid2
StepHypRef Expression
1 ressbas.r . . . 4 𝑅 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
2 ressbas.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
31, 2ressval 17219 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 = if(𝐡 βŠ† 𝐴, π‘Š, (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ 𝐡)⟩)))
4 iftrue 4538 . . 3 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ if(𝐡 βŠ† 𝐴, π‘Š, (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ 𝐡)⟩)) = π‘Š)
53, 4sylan9eqr 2790 . 2 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝑅 = π‘Š)
653impb 1112 1 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 = π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  ifcif 4532  βŸ¨cop 4638  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   sSet csts 17139  ndxcnx 17169  Basecbs 17187   β†Ύs cress 17216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-ress 17217
This theorem is referenced by:  ressbas  17222  ressbasOLD  17223  resseqnbas  17229  resslemOLD  17230  ress0  17231  ressid  17232  ressinbas  17233  ressress  17236  rescabs  17825  rescabsOLD  17826  0symgefmndeq  19355  snsymgefmndeq  19356  mgpress  20096  mgpressOLD  20097  psgnghm2  21520  resvsca  33065  extdg1id  33388
  Copyright terms: Public domain W3C validator