MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressbas 16404
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
ressbas.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ressbas (𝐴𝑉 → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas
StepHypRef Expression
1 ressbas.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 simp1 1116 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝐵𝐴)
3 sseqin2 4073 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
42, 3sylib 210 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = 𝐵)
5 ressbas.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
65, 1ressid2 16402 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
76fveq2d 6497 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑊))
81, 4, 73eqtr4a 2834 . . . 4 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
983expib 1102 . . 3 (𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅)))
10 simp2 1117 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑊 ∈ V)
111fvexi 6507 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
1211inex2 5073 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ∈ V
13 baseid 16393 . . . . . . 7 Base = Slot (Base‘ndx)
1413setsid 16388 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐴𝐵) ∈ V) → (𝐴𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
1510, 12, 14sylancl 577 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
165, 1ressval2 16403 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩))
1716fveq2d 6497 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
1815, 17eqtr4d 2811 . . . 4 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
19183expib 1102 . . 3 𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅)))
209, 19pm2.61i 177 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
21 0fv 6533 . . . . 5 (∅‘(Base‘ndx)) = ∅
22 0ex 5062 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2322, 13strfvn 16355 . . . . 5 (Base‘∅) = (∅‘(Base‘ndx))
24 in0 4225 . . . . 5 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
2521, 23, 243eqtr4ri 2807 . . . 4 (𝐴 ∩ ∅) = (Base‘∅)
26 fvprc 6486 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
271, 26syl5eq 2820 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝐵 = ∅)
2827ineq2d 4070 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐴𝐵) = (𝐴 ∩ ∅))
29 reldmress 16400 . . . . . . 7 Rel dom ↾s
3029ovprc1 7008 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
315, 30syl5eq 2820 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
3231fveq2d 6497 . . . 4 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
3325, 28, 323eqtr4a 2834 . . 3 𝑊 ∈ V → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
3433adantr 473 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
3520, 34pm2.61ian 799 1 (𝐴𝑉 → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  Vcvv 3409  cin 3822  wss 3823  c0 4172  cop 4441  cfv 6182  (class class class)co 6970  ndxcnx 16330   sSet csts 16331  Basecbs 16333  s cress 16334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-1cn 10387  ax-addcl 10389
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-nn 11434  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-ress 16341
This theorem is referenced by:  ressbas2  16405  ressbasss  16406  ressress  16412  rescabs  16955  resscatc  17217  resscntz  18227  idrespermg  18294  opprsubg  19103  subrgpropd  19286  sralmod  19675  resstopn  21492  resstps  21493  ressuss  22569  ressxms  22832  ressms  22833  cphsubrglem  23478  cphsscph  23551  resspos  30378  resstos  30379  xrge0base  30404  xrge00  30405  submomnd  30429  suborng  30567  gsumge0cl  42084  sge0tsms  42093  lidlssbas  43557  lidlbas  43558  uzlidlring  43564  dmatALTbas  43823
  Copyright terms: Public domain W3C validator