MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressbas 17281
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 7-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
ressbas.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ressbas (𝐴𝑉 → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas
StepHypRef Expression
1 ressbas.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 simp1 1136 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝐵𝐴)
3 sseqin2 4222 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
42, 3sylib 218 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = 𝐵)
5 ressbas.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
65, 1ressid2 17279 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
76fveq2d 6909 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑊))
81, 4, 73eqtr4a 2802 . . . 4 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
983expib 1122 . . 3 (𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅)))
10 simp2 1137 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑊 ∈ V)
111fvexi 6919 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
1211inex2 5317 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ∈ V
13 baseid 17251 . . . . . . 7 Base = Slot (Base‘ndx)
1413setsid 17245 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐴𝐵) ∈ V) → (𝐴𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
1510, 12, 14sylancl 586 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
165, 1ressval2 17280 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩))
1716fveq2d 6909 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
1815, 17eqtr4d 2779 . . . 4 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
19183expib 1122 . . 3 𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅)))
209, 19pm2.61i 182 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
21 in0 4394 . . . . 5 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
22 fvprc 6897 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
231, 22eqtrid 2788 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → 𝐵 = ∅)
2423ineq2d 4219 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (𝐴𝐵) = (𝐴 ∩ ∅))
2521, 24, 223eqtr4a 2802 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑊))
26 base0 17253 . . . . . 6 ∅ = (Base‘∅)
2726eqcomi 2745 . . . . 5 (Base‘∅) = ∅
28 reldmress 17277 . . . . 5 Rel dom ↾s
2927, 5, 28oveqprc 17230 . . . 4 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑅))
3025, 29eqtrd 2776 . . 3 𝑊 ∈ V → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
3130adantr 480 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
3220, 31pm2.61ian 811 1 (𝐴𝑉 → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  cin 3949  wss 3950  c0 4332  cop 4631  cfv 6560  (class class class)co 7432   sSet csts 17201  ndxcnx 17231  Basecbs 17248  s cress 17275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-1cn 11214  ax-addcl 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-nn 12268  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276
This theorem is referenced by:  ressbasssg  17283  ressbas2  17284  ressbasssOLD  17286  ressress  17294  rescabs  17878  rescabsOLD  17879  resscatc  18155  idresefmnd  18913  smndex1bas  18920  resscntz  19352  idrespermg  19430  opprsubg  20353  subrngpropd  20569  subrgpropd  20609  sralmod  21195  lidlssbas  21224  lidlbas  21225  resstopn  23195  resstps  23196  ressuss  24272  ressxms  24539  ressms  24540  cphsubrglem  25212  cphsscph  25286  resspos  32957  resstos  32958  xrge0base  33017  xrge00  33018  submomnd  33088  suborng  33346  gsumge0cl  46391  sge0tsms  46400  uzlidlring  48156  dmatALTbas  48323
  Copyright terms: Public domain W3C validator