Theorem ressbas 17423

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 7-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3		sseqin2 4119	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
4	2, 3	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
5		ressbas.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
6	5, 1	ressid2 17421	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
7	6	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑊))
8	1, 4, 7	3eqtr4a 2821	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	8	3expib 1140	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅)))
10		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ V)
11	1	fvexi 6904	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
12	11	inex2 5278	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V
13		baseid 17399	. . . . . . 7 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
14	13	setsid 17394	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ 𝐵)⟩)))
15	10, 12, 14	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ 𝐵)⟩)))
16	5, 1	ressval2 17422	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ 𝐵)⟩))
17	16	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ 𝐵)⟩)))
18	15, 17	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
19	18	3expib 1140	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅)))
20	9, 19	pm2.61i 184	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
21		in0 4344	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
22		fvprc 6882	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
23	1, 22	eqtrid 2807	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐵 = ∅)
24	23	ineq2d 4116	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ ∅))
25	21, 24, 22	3eqtr4a 2821	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑊))
26		base0 17401	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
27	26	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘∅) = ∅
28		reldmress 17419	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↾s
29	27, 5, 28	oveqprc 17379	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑅))
30	25, 29	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
31	30	adantr 486	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
32	20, 31	pm2.61ian 824	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∩ cin 4088  ∅c0 4277  ⟨cop 4834  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   sSet csts 17350  ndxcnx 17380  Basecbs 17396   ↾_s cress 17417

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-1cn 11265  ax-addcl 11267

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-nn 12343  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418

This theorem is used by:  ressbasssg  17424  ressbas2  17425  ressbasssOLD  17427  ressress  17434  xrge0base  17788  rescabs  18017  resscatc  18293  resspos  18612  resstos  18613  idresefmnd  19104  smndex1bas  19114  resscntz  19556  idrespermg  19634  submomnd  20355  opprsubg  20591  subrngpropd  20829  subrgpropd  20869  suborng  21142  sralmod  21471  lidlssbas  21501  lidlbas  21502  resstopn  23513  resstps  23514  ressuss  24590  ressxms  24853  ressms  24854  cphsubrglem  25507  cphsscph  25581  xrge00  33625  gsumge0cl  47489  sge0tsms  47498  uzlidlring  49440  dmatALTbas  49621