MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressbas 16554
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
ressbas.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ressbas (𝐴𝑉 → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas
StepHypRef Expression
1 ressbas.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 simp1 1133 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝐵𝐴)
3 sseqin2 4177 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
42, 3sylib 221 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = 𝐵)
5 ressbas.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
65, 1ressid2 16552 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
76fveq2d 6665 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑊))
81, 4, 73eqtr4a 2885 . . . 4 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
983expib 1119 . . 3 (𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅)))
10 simp2 1134 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑊 ∈ V)
111fvexi 6675 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
1211inex2 5208 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ∈ V
13 baseid 16543 . . . . . . 7 Base = Slot (Base‘ndx)
1413setsid 16538 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐴𝐵) ∈ V) → (𝐴𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
1510, 12, 14sylancl 589 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
165, 1ressval2 16553 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩))
1716fveq2d 6665 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
1815, 17eqtr4d 2862 . . . 4 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
19183expib 1119 . . 3 𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅)))
209, 19pm2.61i 185 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
21 0fv 6700 . . . . 5 (∅‘(Base‘ndx)) = ∅
22 0ex 5197 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2322, 13strfvn 16505 . . . . 5 (Base‘∅) = (∅‘(Base‘ndx))
24 in0 4328 . . . . 5 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
2521, 23, 243eqtr4ri 2858 . . . 4 (𝐴 ∩ ∅) = (Base‘∅)
26 fvprc 6654 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
271, 26syl5eq 2871 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝐵 = ∅)
2827ineq2d 4174 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐴𝐵) = (𝐴 ∩ ∅))
29 reldmress 16550 . . . . . . 7 Rel dom ↾s
3029ovprc1 7188 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
315, 30syl5eq 2871 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
3231fveq2d 6665 . . . 4 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
3325, 28, 323eqtr4a 2885 . . 3 𝑊 ∈ V → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
3433adantr 484 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
3520, 34pm2.61ian 811 1 (𝐴𝑉 → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  cin 3918  wss 3919  c0 4276  cop 4556  cfv 6343  (class class class)co 7149  ndxcnx 16480   sSet csts 16481  Basecbs 16483  s cress 16484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-1cn 10593  ax-addcl 10595
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-nn 11635  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491
This theorem is referenced by:  ressbas2  16555  ressbasss  16556  ressress  16562  rescabs  17103  resscatc  17365  idresefmnd  18064  smndex1bas  18071  resscntz  18462  idrespermg  18539  opprsubg  19389  subrgpropd  19570  sralmod  19959  resstopn  21794  resstps  21795  ressuss  22872  ressxms  23135  ressms  23136  cphsubrglem  23785  cphsscph  23858  resspos  30657  resstos  30658  xrge0base  30704  xrge00  30705  submomnd  30743  suborng  30921  gsumge0cl  42936  sge0tsms  42945  lidlssbas  44472  lidlbas  44473  uzlidlring  44479  dmatALTbas  44736
  Copyright terms: Public domain W3C validator