MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressbas 17125
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 7-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
ressbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ressbas (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…))

Proof of Theorem ressbas
StepHypRef Expression
1 ressbas.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 simp1 1137 . . . . . 6 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
3 sseqin2 4180 . . . . . 6 (𝐡 βŠ† 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐡) = 𝐡)
42, 3sylib 217 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = 𝐡)
5 ressbas.r . . . . . . 7 𝑅 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
65, 1ressid2 17123 . . . . . 6 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = π‘Š)
76fveq2d 6851 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘Š))
81, 4, 73eqtr4a 2803 . . . 4 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…))
983expib 1123 . . 3 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…)))
10 simp2 1138 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ V)
111fvexi 6861 . . . . . . 7 𝐡 ∈ V
1211inex2 5280 . . . . . 6 (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ V
13 baseid 17093 . . . . . . 7 Base = Slot (Baseβ€˜ndx)
1413setsid 17087 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ V ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ V) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ 𝐡)⟩)))
1510, 12, 14sylancl 587 . . . . 5 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ 𝐡)⟩)))
165, 1ressval2 17124 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ 𝐡)⟩))
1716fveq2d 6851 . . . . 5 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ 𝐡)⟩)))
1815, 17eqtr4d 2780 . . . 4 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…))
19183expib 1123 . . 3 (Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…)))
209, 19pm2.61i 182 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…))
21 in0 4356 . . . . 5 (𝐴 ∩ βˆ…) = βˆ…
22 fvprc 6839 . . . . . . 7 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = βˆ…)
231, 22eqtrid 2789 . . . . . 6 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝐡 = βˆ…)
2423ineq2d 4177 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (𝐴 ∩ βˆ…))
2521, 24, 223eqtr4a 2803 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘Š))
26 base0 17095 . . . . . 6 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
2726eqcomi 2746 . . . . 5 (Baseβ€˜βˆ…) = βˆ…
28 reldmress 17121 . . . . 5 Rel dom β†Ύs
2927, 5, 28oveqprc 17071 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘…))
3025, 29eqtrd 2777 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…))
3130adantr 482 . 2 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…))
3220, 31pm2.61ian 811 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  βŸ¨cop 4597  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   sSet csts 17042  ndxcnx 17072  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-1cn 11116  ax-addcl 11118
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-nn 12161  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120
This theorem is referenced by:  ressbas2  17127  ressbasss  17128  ressress  17136  rescabs  17725  rescabsOLD  17726  resscatc  18002  idresefmnd  18716  smndex1bas  18723  resscntz  19119  idrespermg  19200  opprsubg  20072  subrgpropd  20273  sralmod  20672  resstopn  22553  resstps  22554  ressuss  23630  ressxms  23897  ressms  23898  cphsubrglem  24557  cphsscph  24631  resspos  31868  resstos  31869  xrge0base  31918  xrge00  31919  submomnd  31960  suborng  32150  ressbasssg  40698  gsumge0cl  44686  sge0tsms  44695  lidlssbas  46294  lidlbas  46295  uzlidlring  46301  dmatALTbas  46556
  Copyright terms: Public domain W3C validator