MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressbas 16542
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
ressbas.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ressbas (𝐴𝑉 → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas
StepHypRef Expression
1 ressbas.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 simp1 1128 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝐵𝐴)
3 sseqin2 4189 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
42, 3sylib 219 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = 𝐵)
5 ressbas.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
65, 1ressid2 16540 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
76fveq2d 6667 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑊))
81, 4, 73eqtr4a 2879 . . . 4 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
983expib 1114 . . 3 (𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅)))
10 simp2 1129 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑊 ∈ V)
111fvexi 6677 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
1211inex2 5213 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ∈ V
13 baseid 16531 . . . . . . 7 Base = Slot (Base‘ndx)
1413setsid 16526 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐴𝐵) ∈ V) → (𝐴𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
1510, 12, 14sylancl 586 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
165, 1ressval2 16541 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩))
1716fveq2d 6667 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
1815, 17eqtr4d 2856 . . . 4 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
19183expib 1114 . . 3 𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅)))
209, 19pm2.61i 183 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
21 0fv 6702 . . . . 5 (∅‘(Base‘ndx)) = ∅
22 0ex 5202 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2322, 13strfvn 16493 . . . . 5 (Base‘∅) = (∅‘(Base‘ndx))
24 in0 4342 . . . . 5 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
2521, 23, 243eqtr4ri 2852 . . . 4 (𝐴 ∩ ∅) = (Base‘∅)
26 fvprc 6656 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
271, 26syl5eq 2865 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝐵 = ∅)
2827ineq2d 4186 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐴𝐵) = (𝐴 ∩ ∅))
29 reldmress 16538 . . . . . . 7 Rel dom ↾s
3029ovprc1 7184 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
315, 30syl5eq 2865 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
3231fveq2d 6667 . . . 4 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
3325, 28, 323eqtr4a 2879 . . 3 𝑊 ∈ V → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
3433adantr 481 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
3520, 34pm2.61ian 808 1 (𝐴𝑉 → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  c0 4288  cop 4563  cfv 6348  (class class class)co 7145  ndxcnx 16468   sSet csts 16469  Basecbs 16471  s cress 16472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-1cn 10583  ax-addcl 10585
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-nn 11627  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479
This theorem is referenced by:  ressbas2  16543  ressbasss  16544  ressress  16550  rescabs  17091  resscatc  17353  resscntz  18400  idrespermg  18468  opprsubg  19315  subrgpropd  19499  sralmod  19888  resstopn  21722  resstps  21723  ressuss  22799  ressxms  23062  ressms  23063  cphsubrglem  23708  cphsscph  23781  resspos  30573  resstos  30574  xrge0base  30599  xrge00  30600  submomnd  30638  suborng  30815  gsumge0cl  42530  sge0tsms  42539  idresefmnd  43999  smndex1bas  44006  lidlssbas  44121  lidlbas  44122  uzlidlring  44128  dmatALTbas  44384
  Copyright terms: Public domain W3C validator