Theorem ressbas 17175

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 7-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		simp1 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3		sseqin2 4177	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
4	2, 3	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
5		ressbas.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
6	5, 1	ressid2 17173	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
7	6	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑊))
8	1, 4, 7	3eqtr4a 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	8	3expib 1123	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅)))
10		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ V)
11	1	fvexi 6856	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
12	11	inex2 5265	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V
13		baseid 17151	. . . . . . 7 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
14	13	setsid 17146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ 𝐵)⟩)))
15	10, 12, 14	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ 𝐵)⟩)))
16	5, 1	ressval2 17174	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ 𝐵)⟩))
17	16	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ 𝐵)⟩)))
18	15, 17	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
19	18	3expib 1123	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅)))
20	9, 19	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
21		in0 4349	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
22		fvprc 6834	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
23	1, 22	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐵 = ∅)
24	23	ineq2d 4174	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ ∅))
25	21, 24, 22	3eqtr4a 2798	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑊))
26		base0 17153	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
27	26	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ (Base‘∅) = ∅
28		reldmress 17171	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↾s
29	27, 5, 28	oveqprc 17131	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑅))
30	25, 29	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
31	30	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
32	20, 31	pm2.61ian 812	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ⟨cop 4588  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   sSet csts 17102  ndxcnx 17132  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-nn 12158  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170

This theorem is referenced by:  ressbasssg  17176  ressbas2  17177  ressbasssOLD  17179  ressress  17186  xrge0base  17540  rescabs  17769  resscatc  18045  resspos  18364  resstos  18365  idresefmnd  18836  smndex1bas  18843  resscntz  19274  idrespermg  19352  submomnd  20073  opprsubg  20300  subrngpropd  20513  subrgpropd  20553  suborng  20821  sralmod  21151  lidlssbas  21180  lidlbas  21181  resstopn  23142  resstps  23143  ressuss  24218  ressxms  24481  ressms  24482  cphsubrglem  25145  cphsscph  25219  xrge00  33107  gsumge0cl  46729  sge0tsms  46738  uzlidlring  48595  dmatALTbas  48761