Theorem ressbas 17218

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 7-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		simp1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3		sseqin2 4213	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
4	2, 3	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
5		ressbas.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
6	5, 1	ressid2 17216	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
7	6	fveq2d 6900	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑊))
8	1, 4, 7	3eqtr4a 2791	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	8	3expib 1119	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅)))
10		simp2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ V)
11	1	fvexi 6910	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
12	11	inex2 5319	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V
13		baseid 17186	. . . . . . 7 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
14	13	setsid 17180	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ 𝐵)⟩)))
15	10, 12, 14	sylancl 584	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ 𝐵)⟩)))
16	5, 1	ressval2 17217	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ 𝐵)⟩))
17	16	fveq2d 6900	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ 𝐵)⟩)))
18	15, 17	eqtr4d 2768	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
19	18	3expib 1119	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅)))
20	9, 19	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
21		in0 4393	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
22		fvprc 6888	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
23	1, 22	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐵 = ∅)
24	23	ineq2d 4210	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ ∅))
25	21, 24, 22	3eqtr4a 2791	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑊))
26		base0 17188	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
27	26	eqcomi 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘∅) = ∅
28		reldmress 17214	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↾s
29	27, 5, 28	oveqprc 17164	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑅))
30	25, 29	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
31	30	adantr 479	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
32	20, 31	pm2.61ian 810	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  ∅c0 4322  ⟨cop 4636  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   sSet csts 17135  ndxcnx 17165  Basecbs 17183   ↾_s cress 17212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-1cn 11198  ax-addcl 11200

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-nn 12246  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213

This theorem is referenced by:  ressbasssg  17220  ressbas2  17221  ressbasssOLD  17223  ressress  17232  rescabs  17821  rescabsOLD  17822  resscatc  18101  idresefmnd  18859  smndex1bas  18866  resscntz  19296  idrespermg  19378  opprsubg  20303  subrngpropd  20517  subrgpropd  20559  sralmod  21092  lidlssbas  21121  lidlbas  21122  resstopn  23134  resstps  23135  ressuss  24211  ressxms  24478  ressms  24479  cphsubrglem  25149  cphsscph  25223  resspos  32782  resstos  32783  xrge0base  32830  xrge00  32831  submomnd  32880  suborng  33129  gsumge0cl  45894  sge0tsms  45903  uzlidlring  47480  dmatALTbas  47652