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Theorem ressress 17134
Description: Restriction composition law. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
ressress ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)))

Proof of Theorem ressress
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴)
2 simpr1 1195 . . . . . . . . 9 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ π‘Š ∈ V)
3 simpr2 1196 . . . . . . . . 9 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
4 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (π‘Š β†Ύs 𝐴) = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
5 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
64, 5ressval2 17122 . . . . . . . . 9 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
71, 2, 3, 6syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
8 inass 4180 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = (𝐴 ∩ (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
9 in12 4181 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))) = (𝐡 ∩ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
108, 9eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = (𝐡 ∩ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
114, 5ressbas 17123 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)))
123, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)))
1312ineq2d 4173 . . . . . . . . . 10 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐡 ∩ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))) = (𝐡 ∩ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴))))
1410, 13eqtr2id 2786 . . . . . . . . 9 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐡 ∩ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴))) = ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
1514opeq2d 4838 . . . . . . . 8 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐡 ∩ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)))⟩ = ⟨(Baseβ€˜ndx), ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩)
167, 15oveq12d 7376 . . . . . . 7 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐡 ∩ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)))⟩) = ((π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
17 fvex 6856 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V
1817inex2 5276 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) ∈ V
19 setsabs 17056 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ V ∧ ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) ∈ V) β†’ ((π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩) = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
202, 18, 19sylancl 587 . . . . . . 7 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩) = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
2116, 20eqtrd 2773 . . . . . 6 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐡 ∩ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)))⟩) = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
22 simpll 766 . . . . . . 7 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡)
23 ovexd 7393 . . . . . . 7 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ V)
24 simpr3 1197 . . . . . . 7 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
25 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡)
26 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴))
2725, 26ressval2 17122 . . . . . . 7 ((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ V ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = ((π‘Š β†Ύs 𝐴) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐡 ∩ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)))⟩))
2822, 23, 24, 27syl3anc 1372 . . . . . 6 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = ((π‘Š β†Ύs 𝐴) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐡 ∩ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)))⟩))
29 inss1 4189 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴
30 sstr 3953 . . . . . . . . 9 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴)
3129, 30mpan2 690 . . . . . . . 8 ((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴)
321, 31nsyl 140 . . . . . . 7 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡))
33 inex1g 5277 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ V)
343, 33syl 17 . . . . . . 7 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ V)
35 eqid 2733 . . . . . . . 8 (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡))
3635, 5ressval2 17122 . . . . . . 7 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡) ∧ π‘Š ∈ V ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ V) β†’ (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)) = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
3732, 2, 34, 36syl3anc 1372 . . . . . 6 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)) = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
3821, 28, 373eqtr4d 2783 . . . . 5 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)))
3938exp31 421 . . . 4 (Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 β†’ (Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)))))
40 ovex 7391 . . . . . . . 8 (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ V
4125, 26ressid2 17121 . . . . . . . 8 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ V ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs 𝐴))
4240, 41mp3an2 1450 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs 𝐴))
43423ad2antr3 1191 . . . . . 6 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs 𝐴))
44 in32 4182 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = ((𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) ∩ 𝐡)
45 simpr2 1196 . . . . . . . . . . . 12 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
4645, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)))
47 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡)
4846, 47eqsstrd 3983 . . . . . . . . . 10 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) βŠ† 𝐡)
49 df-ss 3928 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) βŠ† 𝐡 ↔ ((𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) ∩ 𝐡) = (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
5048, 49sylib 217 . . . . . . . . 9 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) ∩ 𝐡) = (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
5144, 50eqtr2id 2786 . . . . . . . 8 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
5251oveq2d 7374 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))) = (π‘Š β†Ύs ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))))
535ressinbas 17131 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))))
5445, 53syl 17 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))))
555ressinbas 17131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ 𝐡) ∈ V β†’ (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)) = (π‘Š β†Ύs ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))))
5645, 33, 553syl 18 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)) = (π‘Š β†Ύs ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))))
5752, 54, 563eqtr4d 2783 . . . . . 6 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)))
5843, 57eqtrd 2773 . . . . 5 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)))
5958ex 414 . . . 4 ((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡))))
604, 5ressid2 17121 . . . . . . . 8 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = π‘Š)
61603adant3r3 1185 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = π‘Š)
6261oveq1d 7373 . . . . . 6 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs 𝐡))
63 inss2 4190 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)
64 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴)
6563, 64sstrid 3956 . . . . . . . . . 10 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) βŠ† 𝐴)
66 sseqin2 4176 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) βŠ† 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))) = (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
6765, 66sylib 217 . . . . . . . . 9 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∩ (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))) = (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
688, 67eqtr2id 2786 . . . . . . . 8 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
6968oveq2d 7374 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))) = (π‘Š β†Ύs ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))))
70 simpr3 1197 . . . . . . . 8 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
715ressinbas 17131 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ π‘Œ β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))))
7270, 71syl 17 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))))
73 simpr2 1196 . . . . . . . 8 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
7473, 33, 553syl 18 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)) = (π‘Š β†Ύs ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))))
7569, 72, 743eqtr4d 2783 . . . . . 6 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)))
7662, 75eqtrd 2773 . . . . 5 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)))
7776ex 414 . . . 4 ((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡))))
7839, 59, 77pm2.61ii 183 . . 3 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)))
79783expib 1123 . 2 (π‘Š ∈ V β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡))))
80 ress0 17129 . . . 4 (βˆ… β†Ύs 𝐡) = βˆ…
81 reldmress 17119 . . . . . 6 Rel dom β†Ύs
8281ovprc1 7397 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = βˆ…)
8382oveq1d 7373 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (βˆ… β†Ύs 𝐡))
8481ovprc1 7397 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)) = βˆ…)
8580, 83, 843eqtr4a 2799 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)))
8685a1d 25 . 2 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡))))
8779, 86pm2.61i 182 1 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  βŸ¨cop 4593  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   sSet csts 17040  ndxcnx 17070  Basecbs 17088   β†Ύs cress 17117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-1cn 11114  ax-addcl 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-nn 12159  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118
This theorem is referenced by:  ressabs  17135  xrge00  31926  xrge0slmod  32187  fldexttr  32404  esumpfinvallem  32730  lmhmlnmsplit  41457
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