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Theorem ressress 17189
Description: Restriction composition law. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
ressress ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)))
Proof of Theorem ressress
StepHypRef Expression
1 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴)
2 simpr1 1194 . . . . . . . . 9 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ π‘Š ∈ V)
3 simpr2 1195 . . . . . . . . 9 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
4 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (π‘Š β†Ύs 𝐴) = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
5 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
64, 5ressval2 17174 . . . . . . . . 9 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
71, 2, 3, 6syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
8 inass 4218 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = (𝐴 ∩ (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
9 in12 4219 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))) = (𝐡 ∩ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
108, 9eqtri 2760 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = (𝐡 ∩ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
114, 5ressbas 17175 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)))
123, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)))
1312ineq2d 4211 . . . . . . . . . 10 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐡 ∩ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))) = (𝐡 ∩ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴))))
1410, 13eqtr2id 2785 . . . . . . . . 9 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐡 ∩ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴))) = ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
1514opeq2d 4879 . . . . . . . 8 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐡 ∩ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)))⟩ = ⟨(Baseβ€˜ndx), ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩)
167, 15oveq12d 7423 . . . . . . 7 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐡 ∩ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)))⟩) = ((π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
17 fvex 6901 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V
1817inex2 5317 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) ∈ V
19 setsabs 17108 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ V ∧ ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) ∈ V) β†’ ((π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩) = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
202, 18, 19sylancl 586 . . . . . . 7 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩) = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
2116, 20eqtrd 2772 . . . . . 6 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐡 ∩ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)))⟩) = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
22 simpll 765 . . . . . . 7 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡)
23 ovexd 7440 . . . . . . 7 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ V)
24 simpr3 1196 . . . . . . 7 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
25 eqid 2732 . . . . . . . 8 ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡)
26 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴))
2725, 26ressval2 17174 . . . . . . 7 ((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ V ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = ((π‘Š β†Ύs 𝐴) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐡 ∩ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)))⟩))
2822, 23, 24, 27syl3anc 1371 . . . . . 6 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = ((π‘Š β†Ύs 𝐴) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐡 ∩ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)))⟩))
29 inss1 4227 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴
30 sstr 3989 . . . . . . . . 9 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴)
3129, 30mpan2 689 . . . . . . . 8 ((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴)
321, 31nsyl 140 . . . . . . 7 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡))
33 inex1g 5318 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ V)
343, 33syl 17 . . . . . . 7 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ V)
35 eqid 2732 . . . . . . . 8 (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡))
3635, 5ressval2 17174 . . . . . . 7 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡) ∧ π‘Š ∈ V ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ V) β†’ (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)) = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
3732, 2, 34, 36syl3anc 1371 . . . . . 6 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)) = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
3821, 28, 373eqtr4d 2782 . . . . 5 (((Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)))
3938exp31 420 . . . 4 (Β¬ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 β†’ (Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)))))
40 ovex 7438 . . . . . . . 8 (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ V
4125, 26ressid2 17173 . . . . . . . 8 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ V ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs 𝐴))
4240, 41mp3an2 1449 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs 𝐴))
43423ad2antr3 1190 . . . . . 6 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs 𝐴))
44 in32 4220 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = ((𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) ∩ 𝐡)
45 simpr2 1195 . . . . . . . . . . . 12 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
4645, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)))
47 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡)
4846, 47eqsstrd 4019 . . . . . . . . . 10 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) βŠ† 𝐡)
49 df-ss 3964 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) βŠ† 𝐡 ↔ ((𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) ∩ 𝐡) = (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
5048, 49sylib 217 . . . . . . . . 9 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) ∩ 𝐡) = (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
5144, 50eqtr2id 2785 . . . . . . . 8 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
5251oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))) = (π‘Š β†Ύs ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))))
535ressinbas 17186 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))))
5445, 53syl 17 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))))
555ressinbas 17186 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ 𝐡) ∈ V β†’ (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)) = (π‘Š β†Ύs ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))))
5645, 33, 553syl 18 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)) = (π‘Š β†Ύs ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))))
5752, 54, 563eqtr4d 2782 . . . . . 6 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)))
5843, 57eqtrd 2772 . . . . 5 (((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)))
5958ex 413 . . . 4 ((Baseβ€˜(π‘Š β†Ύs 𝐴)) βŠ† 𝐡 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡))))
604, 5ressid2 17173 . . . . . . . 8 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = π‘Š)
61603adant3r3 1184 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = π‘Š)
6261oveq1d 7420 . . . . . 6 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs 𝐡))
63 inss2 4228 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)
64 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴)
6563, 64sstrid 3992 . . . . . . . . . 10 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) βŠ† 𝐴)
66 sseqin2 4214 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) βŠ† 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))) = (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
6765, 66sylib 217 . . . . . . . . 9 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∩ (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))) = (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
688, 67eqtr2id 2785 . . . . . . . 8 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
6968oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))) = (π‘Š β†Ύs ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))))
70 simpr3 1196 . . . . . . . 8 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
715ressinbas 17186 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ π‘Œ β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))))
7270, 71syl 17 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))))
73 simpr2 1195 . . . . . . . 8 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
7473, 33, 553syl 18 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)) = (π‘Š β†Ύs ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (Baseβ€˜π‘Š))))
7569, 72, 743eqtr4d 2782 . . . . . 6 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)))
7662, 75eqtrd 2772 . . . . 5 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)))
7776ex 413 . . . 4 ((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡))))
7839, 59, 77pm2.61ii 183 . . 3 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)))
79783expib 1122 . 2 (π‘Š ∈ V β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡))))
80 ress0 17184 . . . 4 (βˆ… β†Ύs 𝐡) = βˆ…
81 reldmress 17171 . . . . . 6 Rel dom β†Ύs
8281ovprc1 7444 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = βˆ…)
8382oveq1d 7420 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (βˆ… β†Ύs 𝐡))
8481ovprc1 7444 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)) = βˆ…)
8580, 83, 843eqtr4a 2798 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)))
8685a1d 25 . 2 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡))))
8779, 86pm2.61i 182 1 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) β†Ύs 𝐡) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 ∩ 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  βŸ¨cop 4633  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   sSet csts 17092  ndxcnx 17122  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-1cn 11164  ax-addcl 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-nn 12209  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170
This theorem is referenced by:  ressabs  17190  xrge00  32174  xrge0slmod  32451  fldexttr  32725  esumpfinvallem  33060  lmhmlnmsplit  41814
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