MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resslemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resslemOLD 17220
Description: Obsolete version of resseqnbas 17219 as of 21-Oct-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
resslemOLD.r 𝑅 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
resslemOLD.e 𝐢 = (πΈβ€˜π‘Š)
resslemOLD.f 𝐸 = Slot 𝑁
resslemOLD.n 𝑁 ∈ β„•
resslemOLD.b 1 < 𝑁
Assertion
Ref Expression
resslemOLD (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘…))

Proof of Theorem resslemOLD
StepHypRef Expression
1 resslemOLD.e . 2 𝐢 = (πΈβ€˜π‘Š)
2 resslemOLD.r . . . . . . 7 𝑅 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
3 eqid 2725 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
42, 3ressid2 17210 . . . . . 6 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = π‘Š)
54fveq2d 6895 . . . . 5 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
653expib 1119 . . . 4 ((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š)))
72, 3ressval2 17211 . . . . . . 7 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
87fveq2d 6895 . . . . . 6 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩)))
9 resslemOLD.f . . . . . . . 8 𝐸 = Slot 𝑁
10 resslemOLD.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ β„•
119, 10ndxid 17163 . . . . . . 7 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
129, 10ndxarg 17162 . . . . . . . . 9 (πΈβ€˜ndx) = 𝑁
13 1re 11242 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
14 resslemOLD.b . . . . . . . . . 10 1 < 𝑁
1513, 14gtneii 11354 . . . . . . . . 9 𝑁 β‰  1
1612, 15eqnetri 3001 . . . . . . . 8 (πΈβ€˜ndx) β‰  1
17 basendx 17186 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜ndx) = 1
1816, 17neeqtrri 3004 . . . . . . 7 (πΈβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)
1911, 18setsnid 17175 . . . . . 6 (πΈβ€˜π‘Š) = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
208, 19eqtr4di 2783 . . . . 5 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
21203expib 1119 . . . 4 (Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š)))
226, 21pm2.61i 182 . . 3 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
23 reldmress 17208 . . . . . . . . 9 Rel dom β†Ύs
2423ovprc1 7454 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = βˆ…)
252, 24eqtrid 2777 . . . . . . 7 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝑅 = βˆ…)
2625fveq2d 6895 . . . . . 6 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜βˆ…))
279str0 17155 . . . . . 6 βˆ… = (πΈβ€˜βˆ…)
2826, 27eqtr4di 2783 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘…) = βˆ…)
29 fvprc 6883 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘Š) = βˆ…)
3028, 29eqtr4d 2768 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
3130adantr 479 . . 3 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
3222, 31pm2.61ian 810 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
331, 32eqtr4id 2784 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  1c1 11137   < clt 11276  β„•cn 12240   sSet csts 17129  Slot cslot 17147  ndxcnx 17159  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-ltxr 11281  df-nn 12241  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator