MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resslemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resslemOLD 17196
Description: Obsolete version of resseqnbas 17195 as of 21-Oct-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
resslemOLD.r 𝑅 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
resslemOLD.e 𝐢 = (πΈβ€˜π‘Š)
resslemOLD.f 𝐸 = Slot 𝑁
resslemOLD.n 𝑁 ∈ β„•
resslemOLD.b 1 < 𝑁
Assertion
Ref Expression
resslemOLD (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘…))

Proof of Theorem resslemOLD
StepHypRef Expression
1 resslemOLD.e . 2 𝐢 = (πΈβ€˜π‘Š)
2 resslemOLD.r . . . . . . 7 𝑅 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
3 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
42, 3ressid2 17186 . . . . . 6 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = π‘Š)
54fveq2d 6889 . . . . 5 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
653expib 1119 . . . 4 ((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š)))
72, 3ressval2 17187 . . . . . . 7 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
87fveq2d 6889 . . . . . 6 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩)))
9 resslemOLD.f . . . . . . . 8 𝐸 = Slot 𝑁
10 resslemOLD.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ β„•
119, 10ndxid 17139 . . . . . . 7 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
129, 10ndxarg 17138 . . . . . . . . 9 (πΈβ€˜ndx) = 𝑁
13 1re 11218 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
14 resslemOLD.b . . . . . . . . . 10 1 < 𝑁
1513, 14gtneii 11330 . . . . . . . . 9 𝑁 β‰  1
1612, 15eqnetri 3005 . . . . . . . 8 (πΈβ€˜ndx) β‰  1
17 basendx 17162 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜ndx) = 1
1816, 17neeqtrri 3008 . . . . . . 7 (πΈβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)
1911, 18setsnid 17151 . . . . . 6 (πΈβ€˜π‘Š) = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
208, 19eqtr4di 2784 . . . . 5 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
21203expib 1119 . . . 4 (Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š)))
226, 21pm2.61i 182 . . 3 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
23 reldmress 17184 . . . . . . . . 9 Rel dom β†Ύs
2423ovprc1 7444 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = βˆ…)
252, 24eqtrid 2778 . . . . . . 7 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝑅 = βˆ…)
2625fveq2d 6889 . . . . . 6 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜βˆ…))
279str0 17131 . . . . . 6 βˆ… = (πΈβ€˜βˆ…)
2826, 27eqtr4di 2784 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘…) = βˆ…)
29 fvprc 6877 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘Š) = βˆ…)
3028, 29eqtr4d 2769 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
3130adantr 480 . . 3 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
3222, 31pm2.61ian 809 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
331, 32eqtr4id 2785 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113   < clt 11252  β„•cn 12216   sSet csts 17105  Slot cslot 17123  ndxcnx 17135  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-nn 12217  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator