Theorem resslemOLD 17187

Description: Obsolete version of resseqnbas 17186 as of 21-Oct-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
resslemOLD.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
resslemOLD.e	⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
resslemOLD.f	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
resslemOLD.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
resslemOLD.b	⊢ 1 < 𝑁

Assertion

Ref	Expression
resslemOLD	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Proof of Theorem resslemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resslemOLD.e	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
2		resslemOLD.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
3		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	2, 3	ressid2 17177	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
5	4	fveq2d 6896	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
6	5	3expib 1123	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
7	2, 3	ressval2 17178	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
8	7	fveq2d 6896	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
9		resslemOLD.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
10		resslemOLD.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
11	9, 10	ndxid 17130	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
12	9, 10	ndxarg 17129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
13		1re 11214	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		resslemOLD.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 𝑁
15	13, 14	gtneii 11326	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 ≠ 1
16	12, 15	eqnetri 3012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 1
17		basendx 17153	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) = 1
18	16, 17	neeqtrri 3015	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
19	11, 18	setsnid 17142	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
20	8, 19	eqtr4di 2791	. . . . 5 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
21	20	3expib 1123	. . . 4 ⊢ (¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
22	6, 21	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
23		reldmress 17175	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾s
24	23	ovprc1 7448	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
25	2, 24	eqtrid 2785	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
26	25	fveq2d 6896	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘∅))
27	9	str0 17122	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
28	26, 27	eqtr4di 2791	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = ∅)
29		fvprc 6884	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
30	28, 29	eqtr4d 2776	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
31	30	adantr 482	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
32	22, 31	pm2.61ian 811	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
33	1, 32	eqtr4id 2792	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  1c1 11111   < clt 11248  ℕcn 12212   sSet csts 17096  Slot cslot 17114  ndxcnx 17126  Basecbs 17144   ↾_s cress 17173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-nn 12213  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174

This theorem is referenced by: (None)