MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resslemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resslemOLD 17288
Description: Obsolete version of resseqnbas 17287 as of 21-Oct-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
resslemOLD.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
resslemOLD.e 𝐶 = (𝐸𝑊)
resslemOLD.f 𝐸 = Slot 𝑁
resslemOLD.n 𝑁 ∈ ℕ
resslemOLD.b 1 < 𝑁
Assertion
Ref Expression
resslemOLD (𝐴𝑉𝐶 = (𝐸𝑅))

Proof of Theorem resslemOLD
StepHypRef Expression
1 resslemOLD.e . 2 𝐶 = (𝐸𝑊)
2 resslemOLD.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
3 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
42, 3ressid2 17278 . . . . . 6 (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
54fveq2d 6910 . . . . 5 (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
653expib 1123 . . . 4 ((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊)))
72, 3ressval2 17279 . . . . . . 7 ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
87fveq2d 6910 . . . . . 6 ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
9 resslemOLD.f . . . . . . . 8 𝐸 = Slot 𝑁
10 resslemOLD.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ
119, 10ndxid 17234 . . . . . . 7 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
129, 10ndxarg 17233 . . . . . . . . 9 (𝐸‘ndx) = 𝑁
13 1re 11261 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
14 resslemOLD.b . . . . . . . . . 10 1 < 𝑁
1513, 14gtneii 11373 . . . . . . . . 9 𝑁 ≠ 1
1612, 15eqnetri 3011 . . . . . . . 8 (𝐸‘ndx) ≠ 1
17 basendx 17256 . . . . . . . 8 (Base‘ndx) = 1
1816, 17neeqtrri 3014 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
1911, 18setsnid 17245 . . . . . 6 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
208, 19eqtr4di 2795 . . . . 5 ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
21203expib 1123 . . . 4 (¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊)))
226, 21pm2.61i 182 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
23 reldmress 17276 . . . . . . . . 9 Rel dom ↾s
2423ovprc1 7470 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
252, 24eqtrid 2789 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
2625fveq2d 6910 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = (𝐸‘∅))
279str0 17226 . . . . . 6 ∅ = (𝐸‘∅)
2826, 27eqtr4di 2795 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = ∅)
29 fvprc 6898 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑊) = ∅)
3028, 29eqtr4d 2780 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
3130adantr 480 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
3222, 31pm2.61ian 812 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
331, 32eqtr4id 2796 1 (𝐴𝑉𝐶 = (𝐸𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  c0 4333  cop 4632   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   < clt 11295  cn 12266   sSet csts 17200  Slot cslot 17218  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  s cress 17274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-nn 12267  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator