Theorem resslemOLD 16878

Description: Obsolete version of resseqnbas 16877 as of 21-Oct-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
resslemOLD.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
resslemOLD.e	⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
resslemOLD.f	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
resslemOLD.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
resslemOLD.b	⊢ 1 < 𝑁

Assertion

Ref	Expression
resslemOLD	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Proof of Theorem resslemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resslemOLD.e	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
2		resslemOLD.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
3		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	2, 3	ressid2 16871	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
5	4	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
6	5	3expib 1120	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
7	2, 3	ressval2 16872	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
8	7	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
9		resslemOLD.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
10		resslemOLD.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
11	9, 10	ndxid 16826	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
12	9, 10	ndxarg 16825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
13		1re 10906	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		resslemOLD.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 𝑁
15	13, 14	gtneii 11017	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 ≠ 1
16	12, 15	eqnetri 3013	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 1
17		basendx 16849	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) = 1
18	16, 17	neeqtrri 3016	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
19	11, 18	setsnid 16838	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
20	8, 19	eqtr4di 2797	. . . . 5 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
21	20	3expib 1120	. . . 4 ⊢ (¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
22	6, 21	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
23		reldmress 16869	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾s
24	23	ovprc1 7294	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
25	2, 24	eqtrid 2790	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
26	25	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘∅))
27	9	str0 16818	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
28	26, 27	eqtr4di 2797	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = ∅)
29		fvprc 6748	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
30	28, 29	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
31	30	adantr 480	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
32	22, 31	pm2.61ian 808	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
33	1, 32	eqtr4id 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803   < clt 10940  ℕcn 11903   sSet csts 16792  Slot cslot 16810  ndxcnx 16822  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-nn 11904  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868

This theorem is referenced by: (None)