Theorem resslemOLD 16952

Description: Obsolete version of resseqnbas 16951 as of 21-Oct-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
resslemOLD.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
resslemOLD.e	⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
resslemOLD.f	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
resslemOLD.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
resslemOLD.b	⊢ 1 < 𝑁

Assertion

Ref	Expression
resslemOLD	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Proof of Theorem resslemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resslemOLD.e	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
2		resslemOLD.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
3		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	2, 3	ressid2 16945	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
5	4	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
6	5	3expib 1121	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
7	2, 3	ressval2 16946	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
8	7	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
9		resslemOLD.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
10		resslemOLD.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
11	9, 10	ndxid 16898	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
12	9, 10	ndxarg 16897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
13		1re 10975	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		resslemOLD.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 𝑁
15	13, 14	gtneii 11087	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 ≠ 1
16	12, 15	eqnetri 3014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 1
17		basendx 16921	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) = 1
18	16, 17	neeqtrri 3017	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
19	11, 18	setsnid 16910	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
20	8, 19	eqtr4di 2796	. . . . 5 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
21	20	3expib 1121	. . . 4 ⊢ (¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
22	6, 21	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
23		reldmress 16943	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾s
24	23	ovprc1 7314	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
25	2, 24	eqtrid 2790	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
26	25	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘∅))
27	9	str0 16890	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
28	26, 27	eqtr4di 2796	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = ∅)
29		fvprc 6766	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
30	28, 29	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
31	30	adantr 481	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
32	22, 31	pm2.61ian 809	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
33	1, 32	eqtr4id 2797	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872   < clt 11009  ℕcn 11973   sSet csts 16864  Slot cslot 16882  ndxcnx 16894  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-nn 11974  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942

This theorem is referenced by: (None)