MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resslemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resslemOLD 17128
Description: Obsolete version of resseqnbas 17127 as of 21-Oct-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
resslemOLD.r 𝑅 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
resslemOLD.e 𝐢 = (πΈβ€˜π‘Š)
resslemOLD.f 𝐸 = Slot 𝑁
resslemOLD.n 𝑁 ∈ β„•
resslemOLD.b 1 < 𝑁
Assertion
Ref Expression
resslemOLD (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘…))

Proof of Theorem resslemOLD
StepHypRef Expression
1 resslemOLD.e . 2 𝐢 = (πΈβ€˜π‘Š)
2 resslemOLD.r . . . . . . 7 𝑅 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
3 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
42, 3ressid2 17121 . . . . . 6 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = π‘Š)
54fveq2d 6847 . . . . 5 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
653expib 1123 . . . 4 ((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š)))
72, 3ressval2 17122 . . . . . . 7 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
87fveq2d 6847 . . . . . 6 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩)))
9 resslemOLD.f . . . . . . . 8 𝐸 = Slot 𝑁
10 resslemOLD.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ β„•
119, 10ndxid 17074 . . . . . . 7 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
129, 10ndxarg 17073 . . . . . . . . 9 (πΈβ€˜ndx) = 𝑁
13 1re 11160 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
14 resslemOLD.b . . . . . . . . . 10 1 < 𝑁
1513, 14gtneii 11272 . . . . . . . . 9 𝑁 β‰  1
1612, 15eqnetri 3011 . . . . . . . 8 (πΈβ€˜ndx) β‰  1
17 basendx 17097 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜ndx) = 1
1816, 17neeqtrri 3014 . . . . . . 7 (πΈβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)
1911, 18setsnid 17086 . . . . . 6 (πΈβ€˜π‘Š) = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
208, 19eqtr4di 2791 . . . . 5 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
21203expib 1123 . . . 4 (Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š)))
226, 21pm2.61i 182 . . 3 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
23 reldmress 17119 . . . . . . . . 9 Rel dom β†Ύs
2423ovprc1 7397 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = βˆ…)
252, 24eqtrid 2785 . . . . . . 7 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝑅 = βˆ…)
2625fveq2d 6847 . . . . . 6 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜βˆ…))
279str0 17066 . . . . . 6 βˆ… = (πΈβ€˜βˆ…)
2826, 27eqtr4di 2791 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘…) = βˆ…)
29 fvprc 6835 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘Š) = βˆ…)
3028, 29eqtr4d 2776 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
3130adantr 482 . . 3 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
3222, 31pm2.61ian 811 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
331, 32eqtr4id 2792 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057   < clt 11194  β„•cn 12158   sSet csts 17040  Slot cslot 17058  ndxcnx 17070  Basecbs 17088   β†Ύs cress 17117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-ltxr 11199  df-nn 12159  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator