MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resslemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resslemOLD 17287
Description: Obsolete version of resseqnbas 17286 as of 21-Oct-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
resslemOLD.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
resslemOLD.e 𝐶 = (𝐸𝑊)
resslemOLD.f 𝐸 = Slot 𝑁
resslemOLD.n 𝑁 ∈ ℕ
resslemOLD.b 1 < 𝑁
Assertion
Ref Expression
resslemOLD (𝐴𝑉𝐶 = (𝐸𝑅))

Proof of Theorem resslemOLD
StepHypRef Expression
1 resslemOLD.e . 2 𝐶 = (𝐸𝑊)
2 resslemOLD.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
3 eqid 2734 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
42, 3ressid2 17277 . . . . . 6 (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
54fveq2d 6910 . . . . 5 (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
653expib 1121 . . . 4 ((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊)))
72, 3ressval2 17278 . . . . . . 7 ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
87fveq2d 6910 . . . . . 6 ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
9 resslemOLD.f . . . . . . . 8 𝐸 = Slot 𝑁
10 resslemOLD.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ
119, 10ndxid 17230 . . . . . . 7 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
129, 10ndxarg 17229 . . . . . . . . 9 (𝐸‘ndx) = 𝑁
13 1re 11258 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
14 resslemOLD.b . . . . . . . . . 10 1 < 𝑁
1513, 14gtneii 11370 . . . . . . . . 9 𝑁 ≠ 1
1612, 15eqnetri 3008 . . . . . . . 8 (𝐸‘ndx) ≠ 1
17 basendx 17253 . . . . . . . 8 (Base‘ndx) = 1
1816, 17neeqtrri 3011 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
1911, 18setsnid 17242 . . . . . 6 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
208, 19eqtr4di 2792 . . . . 5 ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
21203expib 1121 . . . 4 (¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊)))
226, 21pm2.61i 182 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
23 reldmress 17275 . . . . . . . . 9 Rel dom ↾s
2423ovprc1 7469 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
252, 24eqtrid 2786 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
2625fveq2d 6910 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = (𝐸‘∅))
279str0 17222 . . . . . 6 ∅ = (𝐸‘∅)
2826, 27eqtr4di 2792 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = ∅)
29 fvprc 6898 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑊) = ∅)
3028, 29eqtr4d 2777 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
3130adantr 480 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
3222, 31pm2.61ian 812 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
331, 32eqtr4id 2793 1 (𝐴𝑉𝐶 = (𝐸𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962  c0 4338  cop 4636   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  1c1 11153   < clt 11292  cn 12263   sSet csts 17196  Slot cslot 17214  ndxcnx 17226  Basecbs 17244  s cress 17273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-nn 12264  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator