Theorem resslemOLD 17049

Description: Obsolete version of resseqnbas 17048 as of 21-Oct-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
resslemOLD.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
resslemOLD.e	⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
resslemOLD.f	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
resslemOLD.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
resslemOLD.b	⊢ 1 < 𝑁

Assertion

Ref	Expression
resslemOLD	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Proof of Theorem resslemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resslemOLD.e	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
2		resslemOLD.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
3		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	2, 3	ressid2 17042	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
5	4	fveq2d 6829	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
6	5	3expib 1121	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
7	2, 3	ressval2 17043	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
8	7	fveq2d 6829	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
9		resslemOLD.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
10		resslemOLD.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
11	9, 10	ndxid 16995	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
12	9, 10	ndxarg 16994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
13		1re 11076	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		resslemOLD.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 𝑁
15	13, 14	gtneii 11188	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 ≠ 1
16	12, 15	eqnetri 3011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 1
17		basendx 17018	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) = 1
18	16, 17	neeqtrri 3014	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
19	11, 18	setsnid 17007	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
20	8, 19	eqtr4di 2794	. . . . 5 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
21	20	3expib 1121	. . . 4 ⊢ (¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
22	6, 21	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
23		reldmress 17040	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾s
24	23	ovprc1 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
25	2, 24	eqtrid 2788	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
26	25	fveq2d 6829	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘∅))
27	9	str0 16987	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
28	26, 27	eqtr4di 2794	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = ∅)
29		fvprc 6817	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
30	28, 29	eqtr4d 2779	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
31	30	adantr 481	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
32	22, 31	pm2.61ian 809	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
33	1, 32	eqtr4id 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4269  ⟨cop 4579   class class class wbr 5092  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  1c1 10973   < clt 11110  ℕcn 12074   sSet csts 16961  Slot cslot 16979  ndxcnx 16991  Basecbs 17009   ↾_s cress 17038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-ltxr 11115  df-nn 12075  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039

This theorem is referenced by: (None)